Niveau : supérieur, du facile au difficile. Durée estimée : 1 h 30. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Pour reconnaître une conique ou une quadrique, tu supprimes d'abord les termes croisés ($xy$, $yz$, $zx$), puis les termes du premier degré. Les termes croisés partent par une rotation du repère. La partie quadratique s'écrit avec une matrice symétrique $S$, et le théorème spectral (toute matrice symétrique réelle se diagonalise dans une base orthonormée) donne un repère où elle devient $\lambda_1 X^2 + \lambda_2 Y^2 + \lambda_3 Z^2$ (sans $Z$ pour une conique), les $\lambda_i$ étant les valeurs propres de $S$. Les termes du premier degré partent quand tu complètes les carrés, ce qui revient à déplacer l'origine.
Exemple : $x^2 - 2y^2 + 4x = 0$ n'a pas de terme croisé. On complète le carré : $(x+2)^2 - 2y^2 = 4$, soit $\frac{(x+2)^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1$. C'est une hyperbole de centre $(-2, 0)$.
Formules à retenir :
- Hyperbole $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ : sommets $(\pm a, 0)$, foyers $(\pm c, 0)$ avec $c^2 = a^2 + b^2$, asymptotes $y = \pm \frac{b}{a}x$, excentricité $e = \frac{c}{a}$.
- Parabole $y^2 = 2px$, de paramètre $p > 0$ (la distance du foyer à la directrice) : sommet $O$, foyer $\left(\frac{p}{2}, 0\right)$, directrice $x = -\frac{p}{2}$.
- Conique $ax^2 + 2bxy + cy^2 + \dots = 0$ : $S = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$, le coefficient de $xy$ se coupe en deux. Genre (la famille de la courbe) : ellipse si $\det S > 0$, hyperbole si $\det S < 0$, parabole si $\det S = 0$. Si ton cours écrit $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + \dots$, le même critère porte sur $B^2 - 4AC$, de signe contraire.
- Quadriques, avec $\alpha, \beta, \gamma > 0$ : ellipsoïde $\alpha x^2 + \beta y^2 + \gamma z^2 = 1$ ; hyperboloïde à une nappe $\alpha x^2 + \beta y^2 - \gamma z^2 = 1$ ; hyperboloïde à deux nappes $\alpha x^2 + \beta y^2 - \gamma z^2 = -1$ ; cône $\alpha x^2 + \beta y^2 - \gamma z^2 = 0$ ; paraboloïde elliptique $z = \alpha x^2 + \beta y^2$ ; paraboloïde hyperbolique $z = \alpha x^2 - \beta y^2$. La liste complète, cas dégénérés compris, est dans le dictionnaire Bibmath.
- Plan tangent en $M_0$ à la surface $F(x, y, z) = 0$, quand $\nabla F(M_0) \neq \vec{0}$ : $\nabla F(M_0) \cdot \overrightarrow{M_0M} = 0$.
Piège classique : le signe de $\det S$ ne donne que le genre. Une équation de genre ellipse peut ne décrire qu'un point ou rien, une de genre hyperbole deux droites sécantes ($x^2 - y^2 = 0$), une de genre parabole deux droites parallèles, une droite ou rien. Ces courbes sont dites dégénérées. Réduis jusqu'au bout avant de nommer la courbe.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Dans un repère orthonormé, l'hyperbole $\mathcal{H}$ a pour équation $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$. Donne ses sommets, ses foyers, ses asymptotes et son excentricité.
Correction :
On lit $a = 3$ et $b = 2$, puis on calcule $c$ : $c^2 = a^2 + b^2 = 13$, donc $c = \sqrt{13}$.
Sommets $(\pm 3, 0)$, foyers $(\pm \sqrt{13}, 0)$, asymptotes $y = \pm \frac{2}{3}x$, excentricité $e = \frac{\sqrt{13}}{3} \approx 1{,}20$.
Erreur à éviter : écrire $c^2 = a^2 - b^2$, qui est la relation de l'ellipse.
Exercice 2 : Détermine la nature de la quadrique d'équation $x^2 + y^2 + 2z^2 - 2x + 4y - 4z + 5 = 0$, son centre et ses demi-axes.
Correction :
Il n'y a aucun terme croisé : on complète les carrés.
$(x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 + 2(z-1)^2 - 2 + 5 = 0$, soit $(x-1)^2 + (y+2)^2 + 2(z-1)^2 = 2$. En divisant par $2$ : $\frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(y+2)^2}{2} + (z-1)^2 = 1$.
Ellipsoïde de centre $(1, -2, 1)$, de demi-axes $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$ et $1$. Deux demi-axes sont égaux : c'est un ellipsoïde de révolution, d'axe parallèle à $(Oz)$.
Exercice 3 : Donne la nature des trois surfaces d'équations $x^2 - 2y^2 + z^2 = 10$, $x^2 - 2y^2 + z^2 = -10$ et $x^2 - 2y^2 + z^2 = 0$.
Correction :
La partie quadratique est la même, avec les signes $+$, $-$, $+$ : seul le second membre décide.
Pour $10$, on divise : $\frac{x^2}{10} + \frac{z^2}{10} - \frac{y^2}{5} = 1$, c'est un hyperboloïde à une nappe d'axe $(Oy)$. Pour $-10$, on obtient $\frac{x^2}{10} + \frac{z^2}{10} - \frac{y^2}{5} = -1$, un hyperboloïde à deux nappes. Pour $0$, c'est un cône de sommet $O$.
Pour ne pas confondre une et deux nappes, coupe par le plan $y = 0$ : la première surface donne le cercle $x^2 + z^2 = 10$, la deuxième l'équation $x^2 + z^2 = -10$, sans solution : ses deux nappes restent de part et d'autre de ce plan.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Une antenne a la forme d'un paraboloïde de révolution : sa coupe par un plan qui contient l'axe est une parabole. Son bord est un cercle de 60 cm de diamètre, et sa profondeur, du sommet au plan du bord, vaut 9 cm (données fictives). Calcule à quelle distance du sommet il faut placer le récepteur, au foyer.
Correction :
Dans un plan de coupe, place le sommet en $O$ et l'axe sur $(Ox)$ : la parabole s'écrit $y^2 = 2px$, en centimètres.
Le bord passe par le point $(9, 30)$, donc $30^2 = 2p \times 9$, soit $900 = 18p$ et $p = 50$. Le foyer est en $\left(\frac{p}{2}, 0\right) = (25, 0)$.
Le récepteur se place à 25 cm du sommet. Après réflexion, tous les rayons arrivés parallèlement à l'axe passent par ce point : c'est la raison de cette forme (Bibmath, article « Parabole »).
Erreur à éviter : prendre le diamètre $60$ au lieu du rayon $30$.
Exercice 5 : La surface $\Sigma$ est paramétrée par $x = 2\cos u$, $y = 3\sin u \cos v$, $z = 3\sin u \sin v$, avec $u \in [0\,;\,\pi]$ et $v \in [0\,;\,2\pi]$. Trouve une équation cartésienne de $\Sigma$ et donne sa nature.
Correction :
On élimine les paramètres avec $\cos^2 u + \sin^2 u = 1$. D'une part $y^2 + z^2 = 9\sin^2 u$, d'autre part $\frac{x^2}{4} = \cos^2 u$, donc $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2 + z^2}{9} = 1$.
Réciproquement, un point de cette surface s'obtient avec $u = \arccos \frac{x}{2}$, puis $v$ tel que $(y, z) = 3\sin u\,(\cos v, \sin v)$, ce qui est possible car $y^2 + z^2 = 9\sin^2 u$.
$\Sigma$ est l'ellipsoïde $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{9} = 1$, de révolution autour de $(Ox)$, de demi-axes $2$, $3$ et $3$.
Erreur à éviter : s'arrêter à l'inclusion. Sans la réciproque, tu sais seulement que $\Sigma$ est contenue dans l'ellipsoïde.
Exercice 6 : Soit l'ellipsoïde $\mathcal{E}$ d'équation $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + z^2 = 1$ et le point $P\left(1, \frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$. Vérifie que $P$ appartient à $\mathcal{E}$, puis donne une équation du plan tangent à $\mathcal{E}$ en $P$.
Correction :
On vérifie l'appartenance, puis on utilise le gradient, qui est normal au plan tangent.
$\frac{1}{4} + \frac{9/2}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$, donc $P \in \mathcal{E}$.
Avec $F(x, y, z) = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + z^2 - 1$, on a $\nabla F = \left(\frac{x}{2}, \frac{2y}{9}, 2z\right)$, donc $\nabla F(P) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{3}, 1\right)$.
Le plan s'écrit $\frac{1}{2}(x - 1) + \frac{\sqrt{2}}{3}\left(y - \frac{3}{\sqrt{2}}\right) + \left(z - \frac{1}{2}\right) = 0$, qu'on multiplie par $6$.
Plan tangent : $3x + 2\sqrt{2}\,y + 6z = 12$.
Erreur à éviter : sauter la vérification. Si $P$ n'est pas sur la surface, le calcul donne quand même un plan, qui n'est tangent à rien.
Exercice 7 : Détermine la nature de la conique d'équation $x^2 - 4xy + 4y^2 - 1 = 0$.
Correction :
On lit le genre, puis on réduit jusqu'au bout.
$S = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ et $\det S = 4 - 4 = 0$ : genre parabole. Mais $x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$, donc l'équation s'écrit $(x - 2y)^2 = 1$, soit $x - 2y = 1$ ou $x - 2y = -1$.
C'est la réunion de deux droites parallèles, pas une parabole. Avec $+1$ à la place de $-1$ dans l'équation, l'ensemble serait vide.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Montre que l'équation $3x^2 + 4xy + y^2 - 5x + 2y - 1 = 0$ définit une hyperbole non dégénérée, et donne son centre.
Correction :
On lit le genre, puis on se place au centre pour voir si la courbe dégénère.
$S = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ (le terme $4xy$ donne $2$ hors de la diagonale), et $\det S = -1 < 0$ : genre hyperbole.
Le centre annule les deux dérivées partielles : $6x + 4y - 5 = 0$ et $4x + 2y + 2 = 0$. La seconde donne $y = -2x - 1$, puis la première $x = -\frac{9}{2}$, et $y = 8$.
Avec $x = -\frac{9}{2} + X$ et $y = 8 + Y$, les termes du premier degré disparaissent, et la constante devient la valeur du premier membre au centre : $\frac{243}{4} - 144 + 64 + \frac{45}{2} + 16 - 1 = \frac{73}{4}$. Les valeurs propres de $S$ sont $2 + \sqrt{5}$ et $2 - \sqrt{5}$, d'où, après rotation, $(2 + \sqrt{5})X'^2 + (2 - \sqrt{5})Y'^2 = -\frac{73}{4}$.
Coefficients de signes contraires et second membre non nul : c'est une hyperbole non dégénérée, de centre $\left(-\frac{9}{2}, 8\right)$. Avec un second membre nul, on aurait eu deux droites sécantes.
Exercice 9 : Réduis la conique d'équation $x^2 + 4xy + 4y^2 - 8x - 6y + 1 = 0$ : donne sa nature, son paramètre et son sommet.
Correction :
On tourne le repère selon les vecteurs propres de $S$, puis on complète le carré.
$S = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, $\det S = 0$ : genre parabole. Ses valeurs propres sont $5$ et $0$, de vecteurs propres unitaires $\vec{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2)$ et $\vec{v} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2, 1)$.
Dans le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$, $x = \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}}$ et $y = \frac{2X + Y}{\sqrt{5}}$. Alors $x + 2y = \sqrt{5}\,X$ et $-8x - 6y = -4\sqrt{5}\,X + 2\sqrt{5}\,Y$, d'où $5X^2 - 4\sqrt{5}\,X + 2\sqrt{5}\,Y + 1 = 0$.
On complète le carré : $5\left(X - \frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 - 4 + 2\sqrt{5}\,Y + 1 = 0$, soit $\left(X - \frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = -\frac{2}{\sqrt{5}}\left(Y - \frac{3}{2\sqrt{5}}\right)$. Le signe moins dit seulement que la parabole s'ouvre vers les $Y$ négatifs : $2p = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Parabole de paramètre $p = \frac{\sqrt{5}}{5}$, d'axe dirigé par $\vec{v}$, de sommet $\left(-\frac{1}{5}, \frac{11}{10}\right)$. Le sommet vient de $X = \frac{2}{\sqrt{5}}$ et $Y = \frac{3}{2\sqrt{5}}$, ramenés en $(x, y)$.
Exercice 10 : Détermine la nature de la quadrique d'équation $xy + yz + zx = 1$ et donnes-en une équation réduite.
Correction :
On diagonalise la matrice de la partie quadratique, en coupant chaque terme croisé en deux : $S = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}(J - I)$, où $J$ ne contient que des $1$.
$J(1, 1, 1)^\top = 3\,(1, 1, 1)^\top$, donc $S(1, 1, 1)^\top = \frac{3 - 1}{2}(1, 1, 1)^\top$ : valeur propre $1$. Pour $\vec{w}$ du plan $x + y + z = 0$, $J\vec{w} = \vec{0}$, donc $S\vec{w} = -\frac{1}{2}\vec{w}$ : valeur propre double $-\frac{1}{2}$. Contrôle : la trace vaut $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.
Dans une base orthonormée de vecteurs propres, de premier vecteur $\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ : $X^2 - \frac{Y^2}{2} - \frac{Z^2}{2} = 1$, soit $\frac{Y^2}{2} + \frac{Z^2}{2} - X^2 = -1$.
C'est un hyperboloïde à deux nappes, de révolution autour de la droite dirigée par $(1, 1, 1)$.
Erreur à éviter : avec des $1$ hors de la diagonale, tu trouverais $2X^2 - Y^2 - Z^2 = 1$. La nature ne change pas ici, mais l'équation réduite est fausse.
Bilan et conseils
Devant une équation du second degré, commence par la matrice symétrique et lis le genre. Réduis ensuite : rotation s'il y a des termes croisés, puis carrés complétés. Si tu bloques, reviens à l'exemple du rappel et refais-le sans regarder.
Ce qu'il faut retenir : le coefficient de $xy$ se coupe en deux dans la matrice ; le genre ne suffit pas, les cas dégénérés se voient en réduisant jusqu'au bout ; un point ou un paramétrage se vérifie toujours dans l'équation.