Niveau : première année du supérieur. Durée estimée : 2 h. 10 exercices avec corrections détaillées, du facile au difficile.
Rappel des notions clés
Pour trouver une base d'un sous-espace défini par des équations, exprime certaines coordonnées en fonction des autres, puis factorise par chaque paramètre libre. Exemple : dans $\mathbb{R}^3$, le plan d'équation $x + 2y - z = 0$ donne $z = x + 2y$, donc $(x, y, z) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 2)$. Ces deux vecteurs engendrent le plan et ne sont pas colinéaires : ils en forment une base, et sa dimension vaut 2.
Une famille est libre si sa seule combinaison linéaire nulle a tous ses coefficients nuls (sinon, elle est liée), et génératrice si tout vecteur de l'espace en est une combinaison linéaire. Une base est une famille libre et génératrice ; la dimension est le nombre de vecteurs d'une base, le même pour toutes. Pour $f$ linéaire, le noyau $\mathrm{Ker}\, f$ contient les vecteurs envoyés sur $0$, l'image $\mathrm{Im}\, f$ contient les $f(x)$, et le rang $\mathrm{rg}(f)$ est la dimension de l'image. La matrice d'un endomorphisme (application linéaire de $E$ dans $E$) dans une base $\mathcal{B}$ a pour colonnes les coordonnées dans $\mathcal{B}$ des images des vecteurs de $\mathcal{B}$.
Formules à retenir :
- En dimension $n$, une famille libre a au plus $n$ vecteurs, une famille génératrice au moins $n$, et $n$ vecteurs libres (ou générateurs) forment une base.
- $\dim \mathbb{R}^n = n$, $\dim \mathbb{R}_n[X] = n + 1$, $\dim \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) = np$.
- Si $F \subset G$, alors $\dim F \le \dim G$, avec égalité seulement si $F = G$.
- Formule de Grassmann : $\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)$.
- Théorème du rang, pour $f : E \to E'$ linéaire avec $E$ de dimension finie : $\dim E = \dim \mathrm{Ker}\, f + \mathrm{rg}(f)$.
- Changement de base d'un endomorphisme $f$ : si $P$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ (ses colonnes sont les vecteurs de $\mathcal{B}'$ écrits dans $\mathcal{B}$), alors $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = P \, \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) \, P^{-1}$.
Piège classique : trois vecteurs deux à deux non colinéaires peuvent former une famille liée. Ainsi, $(1, 1, 0)$, $(0, 1, 1)$ et $(1, 0, -1)$ ne sont jamais proportionnels deux à deux, et pourtant le troisième est la différence des deux premiers. Dès trois vecteurs, résous $\alpha_1 u_1 + \dots + \alpha_p u_p = 0$.
Toutes ces notions figurent au programme de première année des classes préparatoires MPSI et MP2I (programme officiel de mathématiques de 2021).
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Dans $\mathbb{R}^3$, on pose $u = (1, 2, 3)$ et $v = (2, 4, 6)$. Montre que la famille $(u, v)$ est liée. Décris ensuite $\mathrm{Vect}(u, v)$, l'ensemble des combinaisons linéaires de $u$ et $v$, et donne sa dimension.
Correction :
On cherche une combinaison nulle à coefficients non tous nuls. Ici $v = 2u$, donc $2u - v = 0$ : la famille est liée.
Toute combinaison $\alpha u + \beta v = (\alpha + 2\beta)u$ est un multiple de $u$, et $u \neq 0$.
$\mathrm{Vect}(u, v)$ est la droite dirigée par $u = (1, 2, 3)$ : sa dimension vaut 1.
Exercice 2 : Dans $\mathbb{R}^2$, la famille $((1, 0), (0, 1), (1, 1))$ est-elle génératrice ? Est-elle une base de $\mathbb{R}^2$ ? Justifie.
Correction :
Elle est génératrice, car tout $(x, y)$ s'écrit $x(1, 0) + y(0, 1) + 0(1, 1)$.
Elle n'est pas libre, car $(1, 0) + (0, 1) - (1, 1) = (0, 0)$. C'était prévisible : $\mathbb{R}^2$ est de dimension 2, donc une famille libre y a au plus 2 vecteurs.
Génératrice mais liée : ce n'est pas une base. Retire n'importe lequel des trois vecteurs et tu obtiens une base.
Exercice 3 : Soit $V = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y = 0 \text{ et } z - t = 0\}$. Montre que $V$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$, puis donne une base de $V$ et sa dimension.
Correction :
$V$ contient le vecteur nul. Si $a, b \in V$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, $\lambda a + b$ vérifie encore les deux équations, dont les membres de gauche sont linéaires : $V$ est un sous-espace vectoriel.
Les équations donnent $y = -x$ et $t = z$, donc $(x, y, z, t) = x(1, -1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 1)$. Ces deux vecteurs engendrent $V$, et ils sont libres : $(\alpha, -\alpha, \beta, \beta) = (0, 0, 0, 0)$ impose $\alpha = \beta = 0$.
Une base de $V$ est $((1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, 1))$, et $\dim V = 2$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Dans $\mathbb{R}_2[X]$, l'espace des polynômes de degré au plus 2, on pose $P_1 = X^2 + 1$, $P_2 = X - 1$ et $P_3 = 2X^2 - X$.
a) Montre que $(P_1, P_2, P_3)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$.
b) Calcule les coordonnées de $Q = X^2 + 2X + 3$ dans cette base.
Correction :
a) $\dim \mathbb{R}_2[X] = 3$ et la famille a 3 vecteurs : il suffit de prouver qu'elle est libre. On développe :
$$\alpha P_1 + \beta P_2 + \gamma P_3 = (\alpha + 2\gamma)X^2 + (\beta - \gamma)X + (\alpha - \beta).$$
Ce polynôme est nul si $\alpha + 2\gamma = 0$, $\beta = \gamma$ et $\alpha = \beta$, d'où $3\alpha = 0$, puis $\alpha = \beta = \gamma = 0$ : c'est une base.
b) On identifie les coefficients : $\alpha + 2\gamma = 1$, $\beta - \gamma = 2$ et $\alpha - \beta = 3$. Donc $\beta = \gamma + 2$, $\alpha = \gamma + 5$, puis $3\gamma + 5 = 1$ : $\gamma = -\frac{4}{3}$, $\beta = \frac{2}{3}$, $\alpha = \frac{11}{3}$.
Coordonnées de $Q$ : $\left(\frac{11}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\right)$, soit $Q = \frac{11}{3}P_1 + \frac{2}{3}P_2 - \frac{4}{3}P_3$. Contrôle sur le coefficient de $X^2$ : $\frac{11}{3} - \frac{8}{3} = 1$.
Exercice 5 : On note $\mathcal{S}_2(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, c'est-à-dire égales à leur transposée (lignes et colonnes échangées) : $M^\top = M$. Montre que c'est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, puis donne une base et sa dimension.
Correction :
La matrice nulle est symétrique, et pour $A$, $B$ symétriques et $\lambda$ réel, $(\lambda A + B)^\top = \lambda A^\top + B^\top = \lambda A + B$ : c'est un sous-espace vectoriel.
$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est symétrique si et seulement si $c = b$, et alors
$$M = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + d\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
Ces trois matrices engendrent donc $\mathcal{S}_2(\mathbb{R})$, et elles sont libres : la combinaison vaut $\begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$, nulle seulement si $a = b = d = 0$.
Ces trois matrices forment une base, et $\dim \mathcal{S}_2(\mathbb{R}) = 3$.
Exercice 6 : Dans un espace $E$ de dimension 4, $F$ est un sous-espace de dimension 2 et $G$ un sous-espace de dimension 3. Quelles valeurs peut prendre $\dim(F \cap G)$ ? Donne un exemple pour chacune.
Correction :
La formule de Grassmann donne $\dim(F + G) = 5 - \dim(F \cap G)$. Comme $F + G \subset E$, $\dim(F + G) \le 4$, donc $\dim(F \cap G) \ge 1$. Comme $F \cap G \subset F$, $\dim(F \cap G) \le 2$.
Les deux valeurs sont atteintes. Dans $\mathbb{R}^4$, de base canonique $(e_1, e_2, e_3, e_4)$, prends $G = \mathrm{Vect}(e_1, e_2, e_3)$. Avec $F = \mathrm{Vect}(e_1, e_4)$, $F \cap G = \mathrm{Vect}(e_1)$ ; avec $F = \mathrm{Vect}(e_1, e_2)$, $F \cap G = F$.
$\dim(F \cap G)$ vaut 1 ou 2, jamais 0.
Exercice 7 : Un épicier vend trois sachets de fruits secs (données fictives) : en centaines de grammes d'amandes, de noix et de noisettes, ils contiennent $a = (2, 1, 0)$, $b = (0, 1, 2)$ et $c = (1, 1, 1)$. Il affirme qu'aucun sachet ne se reconstitue avec les deux autres, car deux compositions ne sont jamais proportionnelles.
a) Vérifie que $a$, $b$ et $c$ sont deux à deux non colinéaires.
b) Montre pourtant que la famille $(a, b, c)$ est liée.
c) Donne la dimension de $\mathrm{Vect}(a, b, c)$.
Correction :
a) Aucun vecteur n'est nul. Un multiple de $a$ a une troisième coordonnée nulle, contrairement à $b$ et $c$ ; un multiple de $b$ a une première coordonnée nulle, contrairement à $c$.
b) $\alpha a + \beta b + \gamma c = 0$ donne $2\alpha + \gamma = 0$, $\alpha + \beta + \gamma = 0$ et $2\beta + \gamma = 0$. Les équations extrêmes donnent $\alpha = \beta = -\frac{\gamma}{2}$, et celle du milieu est alors vérifiée. Avec $\gamma = -2$ : $a + b - 2c = 0$.
c) $a$ et $b$ ne sont pas colinéaires, donc libres, et $c = \frac{1}{2}(a + b)$ appartient à $\mathrm{Vect}(a, b)$.
La famille est liée (un sachet C vaut un demi-sachet A plus un demi-sachet B), et $\dim \mathrm{Vect}(a, b, c) = 2$. L'épicier est tombé dans le piège du rappel.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Soit $E$ un espace de dimension $n \ge 1$ et $u_1, \dots, u_p$ des vecteurs de $E$ ; on pose $F = \mathrm{Vect}(u_1, \dots, u_p)$. Réponds par oui ou non, et justifie.
a) Si $p \lt n$, a-t-on forcément $F \neq E$ ?
b) Si $p \gt n$, la famille $(u_1, \dots, u_p)$ est-elle forcément liée ?
c) Si $p = n$, est-elle forcément une base de $E$ ?
Correction :
a) Oui. La famille engendre $F$, donc $\dim F \le p \lt n = \dim E$ : $F$ ne peut pas être égal à $E$.
b) Oui. En dimension $n$, une famille libre a au plus $n$ vecteurs.
c) Non. Si $u_1 = 0$, la famille est liée. Avec $n$ vecteurs, il reste à prouver qu'ils sont libres, ou générateurs : l'un des deux suffit.
Exercice 9 : Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ défini par $f(x, y, z) = (x - y, y - z, z - x)$, et $H$ le plan d'équation $x + y + z = 0$.
a) Écris la matrice $A$ de $f$ dans la base canonique.
b) Détermine $\mathrm{Ker}\, f$ et sa dimension.
c) Déduis-en $\mathrm{rg}(f)$, puis montre que $\mathrm{Im}\, f = H$.
Correction :
a) Les colonnes de $A$ sont $f(1, 0, 0) = (1, 0, -1)$, $f(0, 1, 0) = (-1, 1, 0)$ et $f(0, 0, 1) = (0, -1, 1)$ :
$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
b) $f(x, y, z) = (0, 0, 0)$ équivaut à $x = y = z$, donc $\mathrm{Ker}\, f = \mathrm{Vect}((1, 1, 1))$, de dimension 1.
c) Le théorème du rang donne $\mathrm{rg}(f) = 3 - 1 = 2$. Comme $(x - y) + (y - z) + (z - x) = 0$, $\mathrm{Im}\, f \subset H$. Or $\dim H = 2$ ($z = -x - y$, deux paramètres libres) : inclusion et dimensions égales donnent l'égalité.
$\mathrm{Ker}\, f = \mathrm{Vect}((1, 1, 1))$, $\mathrm{rg}(f) = 2$ et $\mathrm{Im}\, f = H$.
Exercice 10 : Dans $\mathbb{R}^2$, de base canonique $\mathcal{B}$, on pose $a = (1, 1)$, $b = (1, 2)$, $D = \mathrm{Vect}(a)$ et $D' = \mathrm{Vect}(b)$.
a) Montre que $\mathcal{B}' = (a, b)$ est une base de $\mathbb{R}^2$, puis que tout vecteur s'écrit de façon unique comme somme d'un vecteur de $D$ et d'un vecteur de $D'$ : on note $\mathbb{R}^2 = D \oplus D'$.
b) La projection $p$ sur $D$ parallèlement à $D'$ envoie $\alpha a + \beta b$ sur $\alpha a$. Écris sa matrice $A'$ dans $\mathcal{B}'$.
c) À l'aide de la matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$, calcule la matrice $A$ de $p$ dans $\mathcal{B}$, puis vérifie que $A^2 = A$ (c'est-à-dire $p \circ p = p$ : $p$ est un projecteur).
Correction :
a) $a$ et $b$ ne sont pas colinéaires : c'est une famille libre de 2 vecteurs en dimension 2, donc une base. Tout vecteur s'écrit alors de façon unique $\alpha a + \beta b$, avec $\alpha a \in D$ et $\beta b \in D'$.
b) $p(a) = a$ et $p(b) = 0$ ont pour coordonnées $(1, 0)$ et $(0, 0)$ dans $\mathcal{B}'$, d'où $A' = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
c) Les colonnes de $P$ sont $a$ et $b$ : $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, et $P^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ (vérifie que $PP^{-1} = I_2$). Alors
$$A = PA'P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}.$$
Chaque ligne de $A^2$ vaut $(4 - 2, -2 + 1) = (2, -1)$, donc $A^2 = A$.
$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$, soit $p(x, y) = (2x - y, 2x - y)$. Contrôle : $p(1, 1) = (1, 1)$ et $p(1, 2) = (0, 0)$. Le produit à l'envers, $P^{-1}A'P$, ne passe pas ce contrôle : c'est l'erreur à éviter.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : une base se trouve en paramétrant le sous-espace, puis en vérifiant la liberté. Pour prouver que deux sous-espaces sont égaux, une inclusion et l'égalité des dimensions suffisent.
Avant un contrôle, refais sans regarder les exercices 7 et 10. Ils tendent les deux pièges de la page : la liberté jugée deux à deux, et la matrice de passage prise à l'envers.
Sources
Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I (annexe 1, 2021).