Niveau : moyen. Durée estimée : 2 h. 10 exercices avec corrections détaillées, du rectangle au moment d'inertie.
Rappel des notions clés
Pour calculer une intégrale double, décris le domaine par des inégalités, puis intègre une variable à la fois, l'autre restant fixée. C'est le théorème de Fubini : pour une fonction continue sur un domaine borné, l'ordre d'intégration ne change pas le résultat (cours de François Dubois, Cnam, 2022). Exemple sur le triangle $T$ : $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le x$ :
$$\iint_T 2y\,dx\,dy = \int_0^1 \left( \int_0^x 2y\,dy \right) dx = \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$$
Une intégrale triple se calcule de la même façon, avec trois variables. Quand le domaine est un disque, une boule ou un solide de révolution, ou quand la fonction ne dépend que de la distance à l'origine, change de variables : $dx\,dy$ devient $|J|\,du\,dv$, où $J$, le jacobien, est le déterminant des dérivées partielles de $x$ et $y$ par rapport aux nouvelles variables $u$ et $v$.
Formules à retenir :
- Changement de variables : $\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint_\Delta f\big(x(u,v),y(u,v)\big)\,|J|\,du\,dv$, où $\Delta$ est le domaine décrit en $(u,v)$ et $J = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}$.
- Polaires : $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$.
- Cylindriques : les polaires, plus $z$ inchangé, et $dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz$.
- Sphériques : $x = r\sin\theta\cos\varphi$, $y = r\sin\theta\sin\varphi$, $z = r\cos\theta$, avec $0 \le \theta \le \pi$ et $0 \le \varphi \le 2\pi$, et $dx\,dy\,dz = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$.
- Aire ou volume : l'intégrale de $1$. Masse d'une plaque : $M = \iint_D \mu\,dx\,dy$, où $\mu$ est la masse surfacique (masse par unité d'aire).
- Solide homogène de volume $V$ : centre de gravité à la cote (la hauteur) $z_G = \frac{1}{V}\iiint_E z\,dx\,dy\,dz$ ; moment d'inertie par rapport à l'axe $Oz$, $I = \iiint_E \mu\,(x^2+y^2)\,dx\,dy\,dz$, où $\mu$ est la masse volumique.
Remarque : ici $\theta$ est l'angle mesuré depuis l'axe $Oz$ et $\varphi$ l'angle autour de $Oz$, comme en physique. En mathématiques, on échange souvent les deux lettres (Wikipédia, « Coordonnées sphériques »). Repère l'angle mesuré depuis $Oz$ : c'est son sinus qui entre dans le jacobien.
Piège classique : oublier le jacobien, ou prendre son inverse. En polaires, $dx\,dy$ vaut $r\,dr\,d\theta$, jamais $dr\,d\theta$. Et si tu poses $u$ et $v$ en fonction de $x$ et $y$, le déterminant de $(u,v)$ par rapport à $(x,y)$ vaut $\frac{1}{J}$, pas $J$ : exprime d'abord $x$ et $y$ en fonction de $u$ et $v$.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Soit $D$ le rectangle $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 2$. Calcule $I = \iint_D (x+y)\,dx\,dy$, puis vérifie le résultat en intégrant dans l'autre ordre.
Correction :
Sur un rectangle, toutes les bornes sont des constantes. En $y$ d'abord :
$$\int_0^2 (x+y)\,dy = 2x + 2, \qquad I = \int_0^1 (2x+2)\,dx = 1 + 2 = 3$$
En $x$ d'abord : $\int_0^1 (x+y)\,dx = \frac{1}{2} + y$, puis $\int_0^2 \left(\frac{1}{2} + y\right) dy = 1 + 2 = 3$.
Résultat : $I = 3$.
Exercice 2 : Soit $T$ le triangle limité par les deux axes et la droite $x + y = 1$. Calcule $\iint_T xy\,dx\,dy$.
Correction :
Dessine $T$ : pour $x$ fixé entre $0$ et $1$, $y$ va de $0$ à $1 - x$. La borne de $y$ dépend de $x$.
$$\int_0^{1-x} xy\,dy = \frac{x(1-x)^2}{2} = \frac{x - 2x^2 + x^3}{2}$$
$$\int_0^1 \frac{x - 2x^2 + x^3}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{24}$$
Résultat : $\frac{1}{24}$. Erreur à éviter : laisser $y$ aller de $0$ à $1$, ce qui revient à intégrer sur le carré (tu trouverais $\frac{1}{4}$).
Exercice 3 : Soit $R > 0$ et $D$ le disque $x^2 + y^2 \le R^2$. Calcule $I = \iint_D e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$, puis sa limite quand $R$ tend vers $+\infty$.
Correction :
Disque et fonction de $x^2 + y^2 = r^2$ : passe en polaires, avec $0 \le r \le R$, $0 \le \theta \le 2\pi$ et $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$.
$$I = \int_0^{2\pi} \int_0^R e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi \left[-\frac{e^{-r^2}}{2}\right]_0^R = \pi\left(1 - e^{-R^2}\right)$$
Résultat : $I = \pi\left(1 - e^{-R^2}\right)$, qui tend vers $\pi$. Le facteur $r$ du jacobien est ce qui donne une primitive : $r\,e^{-r^2}$ est la dérivée de $-\frac{1}{2}e^{-r^2}$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Dans un repère gradué en centimètres, l'intérieur d'une coupe a la forme du paraboloïde $z = x^2 + y^2$. On la remplit d'eau jusqu'à la hauteur $z = 4$. Calcule le volume d'eau en $\text{cm}^3$, puis donne une valeur approchée au dixième.
Correction :
L'eau occupe la région $x^2 + y^2 \le z \le 4$, un solide de révolution autour de $Oz$ : passe en cylindriques. La surface de l'eau est le cercle $r^2 = 4$, donc $0 \le r \le 2$, et pour chaque $r$, $z$ va de $r^2$ à $4$.
$$V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_{r^2}^4 r\,dz\,dr\,d\theta = 2\pi \int_0^2 \left(4r - r^3\right) dr = 2\pi\,(8 - 4)$$
Résultat : $V = 8\pi\ \text{cm}^3 \approx 25{,}1\ \text{cm}^3$. Erreur à éviter : faire aller $z$ de $0$ à $4$, ce qui donne le cylindre entier, $16\pi\ \text{cm}^3$.
Exercice 5 : Une plaque mince occupe le domaine $D$ compris entre les courbes $y = x^2$ et $y = \sqrt{x}$, les longueurs étant en mètres. Sa masse surfacique vaut $\mu(x,y) = x + y$, en $\text{kg/m}^2$. Calcule la masse de la plaque.
Correction :
Commence par les bornes. Les courbes se coupent quand $x^2 = \sqrt{x}$, soit $x^4 = x$, donc en $x = 0$ et $x = 1$. Pour savoir laquelle est au-dessus, teste une valeur : en $x = \frac{1}{4}$, $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$ et $x^2 = \frac{1}{16}$. Ainsi $D$ : $0 \le x \le 1$, $x^2 \le y \le \sqrt{x}$.
$$\int_{x^2}^{\sqrt{x}} (x+y)\,dy = x^{3/2} + \frac{x}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2}$$
$$M = \int_0^1 \left(x^{3/2} + \frac{x}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2}\right) dx = \frac{2}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$$
Résultat : $M = 0{,}3\ \text{kg}$.
Exercice 6 : On pose $I = \int_0^1 \left( \int_x^1 e^{y^2}\,dy \right) dx$. Explique pourquoi le calcul dans cet ordre bloque, puis calcule $I$ en échangeant l'ordre d'intégration.
Correction :
Dans cet ordre, il faudrait une primitive de $y \mapsto e^{y^2}$, et elle ne s'écrit pas avec les fonctions usuelles. Méthode : redessine le domaine, puis décris-le dans l'autre sens. Ici $0 \le x \le y \le 1$ : c'est le triangle de sommets $(0,0)$, $(0,1)$ et $(1,1)$. Pour $y$ fixé entre $0$ et $1$, $x$ va de $0$ à $y$.
$$I = \int_0^1 \left( \int_0^y e^{y^2}\,dx \right) dy = \int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = \left[\frac{e^{y^2}}{2}\right]_0^1$$
Résultat : $I = \frac{e - 1}{2} \approx 0{,}859$.
Exercice 7 : Soit $E$ la demi-boule homogène $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$, $z \ge 0$. Calcule $\iiint_E z\,dx\,dy\,dz$, puis la cote $z_G$ de son centre de gravité, sachant que son volume vaut $\frac{2\pi}{3}$.
Correction :
Une boule appelle les sphériques. La condition $z \ge 0$ donne $\cos\theta \ge 0$, donc $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ ; puis $0 \le r \le 1$ et $0 \le \varphi \le 2\pi$. Ici $z = r\cos\theta$, et avec le jacobien la fonction devient $r^3\cos\theta\sin\theta$. Bornes constantes et produit de fonctions d'une seule variable : l'intégrale se sépare.
$$\int_0^{2\pi} d\varphi \times \int_0^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta\,d\theta \times \int_0^1 r^3\,dr = 2\pi \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4}$$
Résultat : $\frac{\pi}{4}$, puis $z_G = \frac{\pi/4}{2\pi/3} = \frac{3}{8}$ : le centre de gravité est aux trois huitièmes du rayon. Erreur à éviter : limiter $\varphi$ à $[0\,;\,\pi]$, ce qui garde la moitié $y \ge 0$ ; c'est $\theta$ qui dit si un point est au-dessus du plan $z = 0$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Soit $D$ le parallélogramme défini par $1 \le x - y \le 2$ et $1 \le x + y \le 3$. Calcule $\iint_D (x - y)\,dx\,dy$ en posant $u = x - y$ et $v = x + y$.
Correction :
Exprime $x$ et $y$ en fonction des nouvelles variables : $x = \frac{u+v}{2}$ et $y = \frac{v-u}{2}$. Alors
$$J = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}, \qquad dx\,dy = \frac{1}{2}\,du\,dv$$
Le domaine devient le rectangle $1 \le u \le 2$, $1 \le v \le 3$ :
$$\iint_D (x-y)\,dx\,dy = \frac{1}{2} \int_1^3 \int_1^2 u\,du\,dv = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 2$$
Résultat : $\frac{3}{2}$. Si tu multiplies par le déterminant de $(u,v)$ par rapport à $(x,y)$, qui vaut $2$, tu trouves $6$, quatre fois trop. Contrôle : l'aire de $D$ vaut la moitié de celle du rectangle, soit $1$, et $u$ y vaut $\frac{3}{2}$ en moyenne.
Exercice 9 : Calcule $I = \iiint_{\mathbb{R}^3} e^{-(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dx\,dy\,dz$, intégrale sur l'espace tout entier.
Correction :
En sphériques, la fonction vaut $e^{-r^3}$. Comme elle est positive, tu peux intégrer variable par variable même sur un domaine non borné : si le résultat est fini, l'intégrale converge. On prend $r \ge 0$, $0 \le \theta \le \pi$, $0 \le \varphi \le 2\pi$.
$$I = \int_0^{2\pi} d\varphi \times \int_0^{\pi} \sin\theta\,d\theta \times \int_0^{+\infty} r^2 e^{-r^3}\,dr = 2\pi \times 2 \times \left[-\frac{e^{-r^3}}{3}\right]_0^{+\infty}$$
Résultat : $I = \frac{4\pi}{3}$, car le crochet vaut $\frac{1}{3}$. Erreur à éviter : faire aller $\theta$ jusqu'à $2\pi$ ; chaque point serait compté deux fois et, comme $\int_0^{2\pi} \sin\theta\,d\theta = 0$, tu trouverais $0$.
Exercice 10 : Une boule pleine homogène de centre $O$ a pour rayon $R$ (en m) et pour masse volumique $\mu$ (en $\text{kg/m}^3$). Calcule son moment d'inertie $I$ par rapport à l'axe $Oz$, puis exprime-le avec sa masse $M$.
Correction :
Le carré de la distance à l'axe vaut $x^2 + y^2 = r^2\sin^2\theta$. Avec le jacobien $r^2\sin\theta$ et les bornes de la boule entière ($0 \le r \le R$, $0 \le \theta \le \pi$, $0 \le \varphi \le 2\pi$) :
$$I = \mu \int_0^{2\pi} d\varphi \times \int_0^{\pi} \sin^3\theta\,d\theta \times \int_0^R r^4\,dr$$
Pour le facteur du milieu, écris $\sin^3\theta = (1 - \cos^2\theta)\sin\theta$ et pose $t = \cos\theta$ : il vaut $\int_{-1}^{1} (1 - t^2)\,dt = \frac{4}{3}$. Donc $I = \mu \times 2\pi \times \frac{4}{3} \times \frac{R^5}{5} = \frac{8\pi}{15}\,\mu R^5$.
Avec $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \mu$ : $I = \frac{2}{5} M R^2$, en $\text{kg}\cdot\text{m}^2$. Erreur à éviter : prendre $r^2$ pour le carré de la distance à l'axe ; $r$ est la distance au centre, et tu trouverais $\frac{3}{5} M R^2$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : dessine le domaine avant d'écrire la moindre borne, et n'écris jamais $dr\,d\theta$ sans son facteur $r$.
Pour choisir les coordonnées, regarde à la fois le domaine et la fonction :
| Domaine ou fonction | Coordonnées | Facteur |
|---|---|---|
| Disque, fonction de $x^2+y^2$ | Polaires | $r$ |
| Solide de révolution autour de $Oz$ | Cylindriques | $r$ |
| Boule, fonction de $x^2+y^2+z^2$ | Sphériques | $r^2\sin\theta$ |
| Bords parallèles deux à deux | $u$, $v$ affines en $x$, $y$ | $|J|$, constant |
Pour contrôler un résultat, compare-le à une valeur que tu connais : une aire ou une valeur moyenne, comme à l'exercice 8.
Sources
François Dubois, « Intégrale double », cours 11 d'Algèbre linéaire et géométrie, Cnam, mai 2022 : théorème de Fubini, changement de variables, coordonnées polaires.
Wikipédia, « Coordonnées sphériques » : notations des angles en physique et en mathématiques.