Maîtrise les Intégrales Doubles et Triples : Exercices Corrigés

Correction :

L'intégrale est une intégrale itérée sur un domaine rectangulaire. On peut choisir l'ordre d'intégration :

$$ \iint_D (x+y) \,dA = \int_0^1 \left(\int_0^2 (x+y) \,dy \right) \,dx $$

Calculons l'intégrale intérieure par rapport à $y$ :

$$ \int_0^2 (x+y) \,dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = (x(2) + \frac{2^2}{2}) - (x(0) + \frac{0^2}{2}) = 2x + 2 $$

Maintenant, calculons l'intégrale extérieure par rapport à $x$ :

$$ \int_0^1 (2x+2) \,dx = \left[ x^2 + 2x \right]_0^1 = (1^2 + 2(1)) - (0^2 + 2(0)) = 1 + 2 = 3 $$

Point méthode : Sur un domaine rectangulaire, l'intégrale double se ramène à une intégrale itérée simple. L'ordre d'intégration n'a pas d'importance.

Correction :

Le domaine $D$ est défini par $x \ge 0$, $y \ge 0$ et $x+y \le 1$. On peut le décrire comme suit : $0 \le x \le 1$ et $0 \le y \le 1-x$.

L'intégrale itérée est :

$$ \iint_D xy \,dA = \int_0^1 \left(\int_0^{1-x} xy \,dy \right) \,dx $$

Intégrale intérieure par rapport à $y$ :

$$ \int_0^{1-x} xy \,dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{1-x} = x \frac{(1-x)^2}{2} = \frac{x(1-2x+x^2)}{2} = \frac{x-2x^2+x^3}{2} $$

Intégrale extérieure par rapport à $x$ :

$$ \int_0^1 \frac{x-2x^2+x^3}{2} \,dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^4}{4} \right]_0^1 $$

$$ = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{6 - 8 + 3}{12} \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{12} \right) = \frac{1}{24} $$

Point méthode : Bien décrire le domaine d'intégration est crucial. Il faut le représenter graphiquement pour bien identifier les bornes des intégrales.

Correction :

Le domaine $D$ est un disque et la fonction à intégrer contient $x^2+y^2$. C'est un signe clair pour passer en coordonnées polaires.

En coordonnées polaires, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, donc $x^2+y^2 = r^2$. Le Jacobien de la transformation est $J = r$. L'élément d'aire $dA$ devient $r \,dr\,d\theta$.

Le disque $x^2+y^2 \le R^2$ s'écrit en polaires : $0 \le r \le R$ et $0 \le \theta \le 2\pi$.

L'intégrale devient :

$$ \iint_D e^{-(x^2+y^2)} \,dA = \int_0^{2\pi} \left(\int_0^R e^{-r^2} \cdot r \,dr \right) \,d\theta $$

Calculons l'intégrale intérieure par rapport à $r$. On peut utiliser un changement de variable simple : $u = -r^2$, $du = -2r\,dr$. Donc $r\,dr = -du/2$.

$$ \int_0^R e^{-r^2} r \,dr = \int_0^{-R^2} e^u (-\frac{1}{2} du) = -\frac{1}{2} [e^u]_0^{-R^2} = -\frac{1}{2} (e^{-R^2} - e^0) = \frac{1}{2} (1 - e^{-R^2}) $$

Maintenant, l'intégrale extérieure par rapport à $\theta$ :

$$ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} (1 - e^{-R^2}) \,d\theta = \frac{1}{2} (1 - e^{-R^2}) \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{1}{2} (1 - e^{-R^2}) [\theta]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} (1 - e^{-R^2}) (2\pi) $$

Astuce : Le Jacobien $r$ est essentiel lors du passage en coordonnées polaires. Il ne faut jamais l'oublier !

Correction :

Le volume $V$ d'un solide est donné par $V = \iiint_E dV$, où $E$ est la région du solide.

Le solide est délimité par $z = x^2+y^2$ (en bas) et $z=4$ (en haut). Le domaine de projection sur le plan $xy$ est donné par l'intersection des deux surfaces, c'est-à-dire $x^2+y^2 = 4$, qui est un cercle de rayon 2 centré à l'origine.

Il est judicieux de passer en coordonnées cylindriques. Dans ce système : $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z=z$. Le Jacobien est $r$. $x^2+y^2 = r^2$. L'élément de volume $dV$ devient $r\,dz\,dr\,d\theta$.

Les bornes sont :

• $z$ varie de $r^2$ à $4$.
• $r$ varie de $0$ à $2$ (rayon du cercle d'intersection).
• $\theta$ varie de $0$ à $2\pi$ (tour complet).

L'intégrale triple est donc :

$$ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_{r^2}^4 r \,dz\,dr\,d\theta $$

Calculons l'intégrale intérieure par rapport à $z$ :

$$ \int_{r^2}^4 r \,dz = r [z]_{r^2}^4 = r(4 - r^2) = 4r - r^3 $$

Calculons l'intégrale par rapport à $r$ :

$$ \int_0^2 (4r - r^3) \,dr = \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = (2(2^2) - \frac{2^4}{4}) - (0) = (8 - \frac{16}{4}) = 8 - 4 = 4 $$

Calculons l'intégrale par rapport à $\theta$ :

$$ \int_0^{2\pi} 4 \,d\theta = 4 [\theta]_0^{2\pi} = 4(2\pi) = 8\pi $$

Point méthode : Pour calculer un volume, une intégrale triple de $1$ sur le domaine est la méthode la plus directe. Le choix des coordonnées (cartésiennes, polaires, cylindriques, sphériques) est crucial et dépend de la géométrie du solide.

Correction :

La masse totale $M$ d'une plaque est donnée par $M = \iint_D \rho(x, y) \,dA$.

Il faut d'abord déterminer le domaine $D$. Les courbes $y = \sqrt{x}$ et $y = x^2$ s'intersectent lorsque $\sqrt{x} = x^2$. En élevant au carré ($x \ge 0$ car $\sqrt{x}$ est défini), on obtient $x = x^4$. Donc $x^4 - x = 0 \implies x(x^3 - 1) = 0$. Les solutions sont $x=0$ et $x=1$.

Pour $x \in [0, 1]$, on a $\sqrt{x} \ge x^2$. Donc le domaine $D$ est défini par $0 \le x \le 1$ et $x^2 \le y \le \sqrt{x}$.

La masse est donc :

$$ M = \int_0^1 \left(\int_{x^2}^{\sqrt{x}} (x+y) \,dy \right) \,dx $$

Intégrale intérieure par rapport à $y$ :

$$ \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (x+y) \,dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{x^2}^{\sqrt{x}} $$

$$ = (x\sqrt{x} + \frac{(\sqrt{x})^2}{2}) - (x(x^2) + \frac{(x^2)^2}{2}) = (x^{3/2} + \frac{x}{2}) - (x^3 + \frac{x^4}{2}) $$

Intégrale extérieure par rapport à $x$ :

$$ M = \int_0^1 \left(x^{3/2} + \frac{x}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2} \right) \,dx $$

$$ M = \left[ \frac{x^{5/2}}{5/2} + \frac{x^2}{4} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{10} \right]_0^1 = \left[ \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{x^2}{4} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{10} \right]_0^1 $$

$$ M = \frac{2}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{2}{5} - \frac{1}{10} = \frac{4-1}{10} = \frac{3}{10} $$

Point méthode : La densité $\rho(x,y)$ est une fonction scalaire. L'intégrale de cette fonction sur le domaine donne la masse totale.

Correction :

Le domaine $E$ est la moitié supérieure de la sphère unité. Les coordonnées sphériques sont plus adaptées.

En coordonnées sphériques : $x = \rho\sin\phi\cos\theta$, $y = \rho\sin\phi\sin\theta$, $z = \rho\cos\phi$. Le Jacobien est $\rho^2\sin\phi$. L'élément de volume $dV$ devient $\rho^2\sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta$.

Les bornes pour le domaine $E$ (moitié supérieure de la sphère unité) sont :

• $\rho$ varie de $0$ à $1$ (rayon de la sphère).
• $\phi$ varie de $0$ à $\pi/2$ (car $z \ge 0$, donc $\cos\phi \ge 0$).
• $\theta$ varie de $0$ à $2\pi$ (tour complet).

L'intégrale devient :

$$ \iiint_E z \,dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^1 (\rho\cos\phi) \cdot \rho^2\sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta $$

$$ = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^1 \rho^3 \cos\phi \sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta $$

Séparons les intégrales car les bornes sont constantes et la fonction est un produit de fonctions de chaque variable :

$$ \left(\int_0^{2\pi} d\theta \right) \left(\int_0^{\pi/2} \cos\phi \sin\phi \,d\phi \right) \left(\int_0^1 \rho^3 \,d\rho \right) $$

Calculons chaque partie :

• $\int_0^{2\pi} d\theta = [\theta]_0^{2\pi} = 2\pi$.
• Pour $\int_0^{\pi/2} \cos\phi \sin\phi \,d\phi$, posons $u = \sin\phi$, $du = \cos\phi\,d\phi$. Quand $\phi=0, u=0$. Quand $\phi=\pi/2, u=1$. L'intégrale devient $\int_0^1 u\,du = [\frac{u^2}{2}]_0^1 = 1/2$.
• $\int_0^1 \rho^3 \,d\rho = [\frac{\rho^4}{4}]_0^1 = 1/4$.

En multipliant les résultats :

$$ (2\pi) \times (\frac{1}{2}) \times (\frac{1}{4}) = \frac{\pi}{4} $$

Point méthode : Le Jacobien en coordonnées sphériques est $\rho^2\sin\phi$. Il est très important de ne pas le confondre avec le Jacobien des coordonnées polaires ($r$).

Correction :

Ce domaine est un parallélogramme, et les inégalités suggèrent un changement de variables.

Posons $u = x-y$ et $v = x+y$. Le domaine $D$ dans le plan $(u,v)$ est le rectangle $1 \le u \le 2$ et $1 \le v \le 3$. L'intégrale devient $\iint_{D'} u \,|J| \,du\,dv$.

Il faut trouver le Jacobien de la transformation inverse : $x$ et $y$ en fonction de $u$ et $v$.

Ajoutons les deux équations : $u+v = (x-y) + (x+y) = 2x \implies x = \frac{u+v}{2}$.

Soustrayons la première de la seconde : $v-u = (x+y) - (x-y) = 2y \implies y = \frac{v-u}{2}$.

Maintenant, calculons le Jacobien de la transformation de $(u,v)$ vers $(x,y)$ :

$$ J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{pmatrix} = (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $$

Le Jacobien de la transformation inverse (de $(x,y)$ vers $(u,v)$) est $1/J = 1/(1/2) = 2$. Donc $|J|=2$.

L'intégrale devient :

$$ \iint_{D'} u \cdot 2 \,du\,dv = 2 \int_1^3 \left(\int_1^2 u \,du \right) \,dv $$

Intégrale intérieure par rapport à $u$ :

$$ \int_1^2 u \,du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_1^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

Intégrale extérieure par rapport à $v$ :

$$ 2 \int_1^3 \frac{3}{2} \,dv = 2 \cdot \frac{3}{2} \int_1^3 dv = 3 [v]_1^3 = 3 (3-1) = 3 \times 2 = 6 $$

Point méthode : Si le domaine ou la fonction de l'intégrale suggèrent un changement de variables, il est souvent plus simple de passer par le Jacobien de la transformation inverse.

Correction :

La fonction $e^{-(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ dépend de la distance à l'origine au cube. Les coordonnées sphériques sont les plus appropriées.

En coordonnées sphériques : $x^2+y^2+z^2 = \rho^2$. La fonction devient $e^{-(\rho^2)^{3/2}} = e^{-\rho^3}$. Le Jacobien est $\rho^2\sin\phi$. L'élément de volume $dV$ devient $\rho^2\sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta$.

Le domaine d'intégration est $\mathbb{R}^3$, ce qui correspond en coordonnées sphériques à :

• $\rho$ varie de $0$ à $\infty$.
• $\phi$ varie de $0$ à $\pi$.
• $\theta$ varie de $0$ à $2\pi$.

L'intégrale devient :

$$ \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^{\infty} e^{-\rho^3} \cdot \rho^2\sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta $$

Séparons les intégrales :

$$ \left(\int_0^{2\pi} d\theta \right) \left(\int_0^{\pi} \sin\phi \,d\phi \right) \left(\int_0^{\infty} \rho^2 e^{-\rho^3} \,d\rho \right) $$

Calculons chaque partie :

• $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$.
• $\int_0^{\pi} \sin\phi \,d\phi = [-\cos\phi]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.
• Pour $\int_0^{\infty} \rho^2 e^{-\rho^3} \,d\rho$, posons $u = \rho^3$, $du = 3\rho^2\,d\rho$. Donc $\rho^2\,d\rho = du/3$. Quand $\rho \to \infty$, $u \to \infty$. Quand $\rho=0$, $u=0$. L'intégrale devient $\int_0^{\infty} e^{-u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_0^{\infty} e^{-u} du = \frac{1}{3} [-e^{-u}]_0^{\infty} = \frac{1}{3} (0 - (-1)) = \frac{1}{3}$.

En multipliant les résultats :

$$ (2\pi) \times (2) \times (\frac{1}{3}) = \frac{4\pi}{3} $$

Astuce : Les intégrales sur $\mathbb{R}^n$ impliquent souvent des intégrales impropres. Il faut maîtriser le calcul des limites et les changements de variables adaptés.

Correction :

Le domaine $D$ est un disque $x^2+y^2 \le 4$. La fonction $\sin(x^2+y^2)$ dépend de la distance à l'origine. Le passage en coordonnées polaires est donc très approprié.

En coordonnées polaires : $x^2+y^2 = r^2$. Le Jacobien est $r$. Le domaine devient $0 \le r \le 2$ et $0 \le \theta \le 2\pi$.

L'intégrale devient :

$$ \iint_D \sin(x^2+y^2) \,dA = \int_0^{2\pi} \left(\int_0^2 \sin(r^2) \cdot r \,dr \right) \,d\theta $$

Calculons l'intégrale intérieure par rapport à $r$. Posons $u = r^2$, $du = 2r\,dr$, donc $r\,dr = du/2$. Quand $r=0$, $u=0$. Quand $r=2$, $u=4$. L'intégrale devient :

$$ \int_0^4 \sin(u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_0^4 \sin(u) \,du = \frac{1}{2} [-\cos(u)]_0^4 = \frac{1}{2} (-\cos(4) - (-\cos(0))) $$

$$ = \frac{1}{2} (1 - \cos(4)) $$

Maintenant, calculons l'intégrale extérieure par rapport à $\theta$ :

$$ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} (1 - \cos(4)) \,d\theta = \frac{1}{2} (1 - \cos(4)) \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{1}{2} (1 - \cos(4)) [2\pi] $$

Astuce : L'utilisation de symétries (ici, la rotationnalité du domaine et de la fonction) simplifie grandement le calcul en permettant le passage en coordonnées polaires ou sphériques.

Correction :

Prenons l'axe de rotation comme l'axe des $z$. La distance perpendiculaire d'un point $(x,y,z)$ à l'axe des $z$ est $r_{\perp} = \sqrt{x^2+y^2}$.

Le moment d'inertie est $I = \iiint_V (x^2+y^2) \rho_0 \,dV$.

Le domaine $V$ est une sphère de rayon $R$. Les coordonnées sphériques sont idéales.

En coordonnées sphériques : $x^2+y^2 = (\rho\sin\phi\cos\theta)^2 + (\rho\sin\phi\sin\theta)^2 = \rho^2\sin^2\phi(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \rho^2\sin^2\phi$. Le Jacobien est $\rho^2\sin\phi$. L'élément de volume $dV$ est $\rho^2\sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta$.

Les bornes pour la sphère de rayon $R$ sont : $0 \le \rho \le R$, $0 \le \phi \le \pi$, $0 \le \theta \le 2\pi$.

L'intégrale devient :

$$ I = \rho_0 \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^R (\rho^2\sin^2\phi) \cdot (\rho^2\sin\phi) \,d\rho\,d\phi\,d\theta $$

$$ I = \rho_0 \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^R \rho^4 \sin^3\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta $$

Séparons les intégrales :

$$ I = \rho_0 \left(\int_0^{2\pi} d\theta \right) \left(\int_0^{\pi} \sin^3\phi \,d\phi \right) \left(\int_0^R \rho^4 \,d\rho \right) $$

Calculons chaque partie :

• $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$.
• $\int_0^R \rho^4 \,d\rho = [\frac{\rho^5}{5}]_0^R = \frac{R^5}{5}$.
• Pour $\int_0^{\pi} \sin^3\phi \,d\phi$, on utilise l'identité $\sin^3\phi = \sin\phi (1-\cos^2\phi)$. Posons $u = \cos\phi$, $du = -\sin\phi\,d\phi$. Quand $\phi=0, u=1$. Quand $\phi=\pi, u=-1$. L'intégrale devient :

$$ \int_1^{-1} (1-u^2) (-du) = \int_{-1}^1 (1-u^2) du = [u - \frac{u^3}{3}]_{-1}^1 = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{-1}{3}) = (\frac{2}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} $$

En multipliant les résultats :

$$ I = \rho_0 \cdot (2\pi) \cdot (\frac{4}{3}) \cdot (\frac{R^5}{5}) = \frac{8\pi}{15} \rho_0 R^5 $$

On sait que le moment d'inertie d'une sphère pleine est $I = \frac{2}{5} M R^2$, où $M$ est la masse totale. La masse totale est $M = \rho_0 \cdot \text{Volume} = \rho_0 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$. Donc $I = \frac{2}{5} (\frac{4}{3}\pi \rho_0 R^3) R^2 = \frac{8}{15}\pi \rho_0 R^5$. Cela correspond bien au résultat obtenu.

Point méthode : Pour les calculs de moments d'inertie, le choix du système de coordonnées est crucial. Les coordonnées sphériques sont souvent préférées pour les objets sphériques, et le choix de l'axe de rotation peut simplifier le calcul de $r_{\perp}^2$.