Maîtrise les Martingales : Convergence et Temps d'Arrêt

Correction :

Un processus stochastique $(X_t)_{t \ge 0}$ adapté à une filtration $(\mathcal{F}_t)_{t \ge 0}$ est dit martingale par rapport à cette filtration si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

1. Adaptabilité : Pour tout $t \ge 0$, $X_t$ est $\mathcal{F}_t$-mesurable.
2. Intégrabilité : Pour tout $t \ge 0$, $E[|X_t|] < \infty$.
3. Propriété de martingale : Pour tous $s, t$ tels que $0 \le s \le t$, on a $E[X_t | \mathcal{F}_s] = X_s$ presque sûrement.

Si $E[X_t | \mathcal{F}_s] \ge X_s$ p.s., le processus est une sous-martingale.

Si $E[X_t | \mathcal{F}_s] \le X_s$ p.s., le processus est une sur-martingale.

Correction :

Considérons le processus $(B_t)_{t \ge 0}$ et la filtration naturelle $(\mathcal{F}_t)$.

1. Adaptabilité : $B_t$ est la valeur du processus au temps $t$, qui est mesurable par rapport à $\sigma(B_s : s \le t) = \mathcal{F}_t$. Donc, le processus est adapté.

2. Intégrabilité : Nous savons que $B_t \sim \mathcal{N}(0, t)$. Donc $E[|B_t|]$ est fini (l'espérance d'une gaussienne est finie). Le processus est intégrable.

3. Propriété de martingale : Pour $0 \le s \le t$, nous avons $E[B_t | \mathcal{F}_s]$. Puisque $B_t = B_s + (B_t - B_s)$ et que $B_t - B_s$ est indépendant de $\mathcal{F}_s$ et a une espérance nulle ($E[B_t - B_s] = 0$), on a :

$E[B_t | \mathcal{F}_s] = E[B_s + (B_t - B_s) | \mathcal{F}_s]$

$E[B_t | \mathcal{F}_s] = E[B_s | \mathcal{F}_s] + E[B_t - B_s | \mathcal{F}_s]$

$E[B_t | \mathcal{F}_s] = B_s + E[B_t - B_s]$ (car $B_s$ est $\mathcal{F}_s$-mesurable)

$E[B_t | \mathcal{F}_s] = B_s + 0 = B_s$.

Ainsi, $E[B_t | \mathcal{F}_s] = B_s$. Cette égalité montre que $(B_t)$ est une martingale.

Comme l'égalité est stricte, $(B_t)$ n'est ni une sous-martingale ni une sur-martingale (au sens strict). Elle est les deux au sens large.

Correction :

1. Adaptabilité : $X_t = t$ est une fonction déterministe du temps. Elle est donc mesurable par rapport à n'importe quelle filtration, donc adaptée.

2. Intégrabilité : Pour tout $t \ge 0$, $E[|X_t|] = E[|t|] = t < \infty$. Le processus est intégrable.

3. Propriété de martingale : Pour $0 \le s \le t$, nous devons vérifier $E[X_t | \mathcal{F}_s] = X_s$.

$E[X_t | \mathcal{F}_s] = E[t | \mathcal{F}_s]$.

Comme $t$ est une constante déterministe, son espérance conditionnelle par rapport à n'importe quelle $\sigma$-algèbre est elle-même : $E[t | \mathcal{F}_s] = t$.

La condition de martingale devient $t = s$. Ceci n'est vrai que si $s=t$. Donc, la condition $E[X_t | \mathcal{F}_s] = X_s$ n'est pas satisfaite pour $s < t$.

En fait, $E[X_t | \mathcal{F}_s] = t \ge s = X_s$. Donc, $X_t = t$ est une sous-martingale.

Correction :

a) Condition pour être une martingale :

1. Adaptabilité : $S_n$ dépend des $X_1, \dots, X_n$, donc il est $\mathcal{F}_n$-mesurable.

2. Intégrabilité : $E[|S_n|]$ est fini. Par exemple, $E[S_n] = n(2p-1)$. $E[|S_n|]$ est borné.

3. Propriété de martingale : Pour $0 \le m \le n$, $E[S_n | \mathcal{F}_m] = S_m$.

$S_n = S_m + \sum_{i=m+1}^n X_i$.

$E[S_n | \mathcal{F}_m] = E[S_m + \sum_{i=m+1}^n X_i | \mathcal{F}_m]$

$E[S_n | \mathcal{F}_m] = S_m + E[\sum_{i=m+1}^n X_i | \mathcal{F}_m]$.

Comme les $X_i$ pour $i > m$ sont indépendants de $\mathcal{F}_m$, on a :

$E[\sum_{i=m+1}^n X_i | \mathcal{F}_m] = E[\sum_{i=m+1}^n X_i] = \sum_{i=m+1}^n E[X_i]$.

L'espérance d'un $X_i$ est $E[X_i] = 1 \cdot p + (-1) \cdot (1-p) = p - (1-p) = 2p - 1$.

Donc, $E[S_n | \mathcal{F}_m] = S_m + (n-m)(2p-1)$.

Pour que $(S_n)$ soit une martingale, il faut que $E[S_n | \mathcal{F}_m] = S_m$. Cela implique $(n-m)(2p-1) = 0$ pour tous $0 \le m \le n$. Si $n \ne m$, alors $2p-1 = 0$, ce qui signifie $p = 1/2$.

b) Cas $p=1/2$ :

Si $p=1/2$, alors $2p-1 = 0$. L'espérance de chaque $X_i$ est $E[X_i] = 0$.

Dans ce cas, $E[S_n | \mathcal{F}_m] = S_m + (n-m)(0) = S_m$. La condition est satisfaite.

Correction :

Ce résultat est le théorème de convergence des martingales bornées.

L'hypothèse $E[\sup_{n \ge 0} |X_n|] < \infty$ est appelée condition d'intégrabilité uniforme (ou simplement que la martingale est bornée dans $L^1$ en espérance de son sup).

La démonstration de ce théorème est non triviale et repose souvent sur des lemmes techniques comme le lemme de Doob pour les inégalités de martingales ou des arguments basés sur la mesure de Doob.

L'idée principale est de montrer que les trajectoires de la martingale "se stabilisent". Si la martingale ne convergeait pas, il existerait des "oscillations" infinies, ce qui contredirait la condition d'intégrabilité du supremum.

Plus précisément, on peut montrer que pour tout $\epsilon > 0$, l'ensemble $\{ \omega : \limsup_{n \to \infty} X_n(\omega) - \liminf_{n \to \infty} X_n(\omega) > \epsilon \}$ est de mesure nulle.

Soit $X_\infty = \lim_{n \to \infty} X_n$ lorsque cette limite existe. Par le théorème de convergence dominée (appliqué à $|X_n|$ et à la suite convergente), si la limite existe p.s., alors $E[|X_\infty|] \le E[\sup_n |X_n|] < \infty$.

Correction :

L'hypothèse $E[|X_n|] \le C$ pour tout $n$ signifie que la suite des espérances est bornée. Elle n'implique pas directement que $\sup_n E[|X_n|] < \infty$ est suffisante pour le théorème de convergence des martingales bornées, qui demande une borne sur l'espérance du supremum.

Cependant, il existe un théorème de convergence dans $L^1$ qui dit : si $(X_n)$ est une martingale telle que $X_n \to X_\infty$ p.s. et que $E[|X_n|]$ est uniformément bornée, alors $X_\infty$ est intégrable et $E[|X_n - X_\infty|] \to 0$.

La démonstration utilise des arguments similaires à celle du théorème de convergence des martingales bornées, mais en se concentrant sur la convergence dans $L^1$. L'idée est d'utiliser des inégalités de martingales et le lemme de Fatou ou le théorème de convergence dominée adapté.

Pour montrer $E[|X_\infty|] < \infty$ :

On peut utiliser le lemme de Fatou sur la suite $|X_n|$ : $E[|X_\infty|] = E[\liminf_{n \to \infty} |X_n|] \le \liminf_{n \to \infty} E[|X_n|] \le C$. Donc $X_\infty$ est intégrable.

Pour montrer la convergence dans $L^1$, on peut utiliser le fait que pour une martingale $(X_n)$ convergeant p.s. vers $X_\infty$ et avec $E[|X_n|]$ borné, on a $E[|X_n - X_\infty|] \to 0$. Cela découle de propriétés plus générales des martingales.

Correction :

Une variable aléatoire $T$ à valeurs dans $\mathbb{N} \cup \{\infty\}$ est dite temps d'arrêt par rapport à une filtration $(\mathcal{F}_n)_{n \ge 0}$ si, pour tout entier $n \ge 0$, l'événement $\{T \le n\}$ est $\mathcal{F}_n$-mesurable. Autrement dit, pour tout $n$, on doit pouvoir savoir si le temps d'arrêt s'est produit avant ou au temps $n$ en observant l'information disponible au temps $n$.

Une formulation équivalente est que pour tout entier $n \ge 0$, l'événement $\{T = n\}$ est $\mathcal{F}_n$-mesurable.

Correction :

Le théorème d'arrêt optionnel (ou théorème d'évasion) établit une relation entre l'espérance d'une martingale évaluée à un temps d'arrêt et son espérance initiale.

L'égalité que l'on veut montrer est $E[X_T] = E[X_0]$.

On peut écrire $X_T = X_0 + \sum_{n=0}^{T-1} (X_{n+1} - X_n)$.

En prenant l'espérance : $E[X_T] = E[X_0] + E[\sum_{n=0}^{T-1} (X_{n+1} - X_n)]$.

L'échange de l'espérance et de la somme arrêtée est justifié par les hypothèses, notamment l'intégrabilité de $T$ et la convergence de la martingale (ou des conditions de domination). Les hypothèses données sont suffisantes pour cet échange.

$E[\sum_{n=0}^{T-1} (X_{n+1} - X_n)] = E[\sum_{n=0}^\infty (X_{n+1} - X_n) \mathbb{1}_{\{T > n\}}]$.

Par linéarité de l'espérance :

$E[\sum_{n=0}^\infty (X_{n+1} - X_n) \mathbb{1}_{\{T > n\}}] = \sum_{n=0}^\infty E[(X_{n+1} - X_n) \mathbb{1}_{\{T > n\}}]$.

Pour chaque $n$, $E[(X_{n+1} - X_n) \mathbb{1}_{\{T > n\}}] = E[E[(X_{n+1} - X_n) \mathbb{1}_{\{T > n\}} | \mathcal{F}_n]]$.

Puisque $T$ est un temps d'arrêt, $\mathbb{1}_{\{T > n\}}$ est $\mathcal{F}_n$-mesurable.

$E[(X_{n+1} - X_n) \mathbb{1}_{\{T > n\}} | \mathcal{F}_n] = \mathbb{1}_{\{T > n\}} E[X_{n+1} - X_n | \mathcal{F}_n]$.

Comme $(X_n)$ est une martingale, $E[X_{n+1} - X_n | \mathcal{F}_n] = E[X_{n+1} | \mathcal{F}_n] - E[X_n | \mathcal{F}_n] = X_n - X_n = 0$.

Donc, $E[(X_{n+1} - X_n) \mathbb{1}_{\{T > n\}}] = E[\mathbb{1}_{\{T > n\}} \cdot 0] = 0$.

La somme $\sum_{n=0}^\infty 0 = 0$. Donc $E[X_T] = E[X_0]$.

Correction :

1. Adaptabilité : $M_t$ dépend de $B_t$, qui est adapté à la filtration naturelle. Donc $M_t$ est adapté.

2. Intégrabilité : $M_t = e^{\sigma B_t} e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t}$. Nous avons $E[|M_t|] = e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t} E[e^{\sigma B_t}]$. D'après l'exercice 5 du sujet sur le mouvement brownien, $E[e^{\sigma B_t}] = e^{\frac{1}{2}\sigma^2 t}$. Donc $E[|M_t|] = e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t} e^{\frac{1}{2}\sigma^2 t} = 1$. Le processus est intégrable.

3. Propriété de martingale : Pour $0 \le s \le t$, nous devons calculer $E[M_t | \mathcal{F}_s]$.

$M_t = e^{\sigma B_t - \frac{1}{2}\sigma^2 t}} = e^{\sigma (B_s + B_t - B_s) - \frac{1}{2}\sigma^2 t}}$

$M_t = e^{\sigma B_s} e^{\sigma (B_t - B_s)} e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t}}$.

$E[M_t | \mathcal{F}_s] = E[e^{\sigma B_s} e^{\sigma (B_t - B_s)} e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t} | \mathcal{F}_s]$.

Puisque $B_s$ est $\mathcal{F}_s$-mesurable, $e^{\sigma B_s}$ l'est aussi. De plus, $B_t - B_s$ est indépendant de $\mathcal{F}_s$.

$E[M_t | \mathcal{F}_s] = e^{\sigma B_s} e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t} E[e^{\sigma (B_t - B_s)} | \mathcal{F}_s]$.

$E[M_t | \mathcal{F}_s] = e^{\sigma B_s} e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t} E[e^{\sigma (B_t - B_s)}]$.

Comme $B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0, t-s)$, on a $E[e^{\sigma (B_t - B_s)}] = e^{\frac{1}{2}\sigma^2 (t-s)}$.

$E[M_t | \mathcal{F}_s] = e^{\sigma B_s} e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t} e^{\frac{1}{2}\sigma^2 (t-s)}$

$E[M_t | \mathcal{F}_s] = e^{\sigma B_s} e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t + \frac{1}{2}\sigma^2 t - \frac{1}{2}\sigma^2 s}$

$E[M_t | \mathcal{F}_s] = e^{\sigma B_s} e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 s} = M_s$.

Donc, $(M_t)$ est une martingale.

Correction :

Cette inégalité est une forme de l'inégalité de Doob.

Soit $A = \{\sup_{n \le T} X_n \ge a\}$. Pour $\omega \in A$, il existe un temps $n \le T(\omega)$ tel que $X_n(\omega) \ge a$.

Soit $N$ un entier tel que $T \le N$ p.s. (si $T$ est fini p.s., on peut toujours trouver un tel $N$ en considérant une limite). Considérons l'événement $A_N = \{\sup_{n \le N} X_n \ge a\}$.

Soit $n_0(\omega) = \min\{n \le T(\omega) : X_n(\omega) \ge a\}$. Si cet ensemble est vide, $\omega \notin A$. Si cet ensemble n'est pas vide, alors $n_0(\omega) \le T(\omega)$.

Par définition de sous-martingale, pour $m \le k$, $E[X_k | \mathcal{F}_m] \ge X_m$. Cela implique $X_k \ge X_m$ si on prend l'espérance conditionnelle sur $\mathcal{F}_m$ et que $X_m$ est constant.

Considérons l'événement $A = \{\sup_{n \le T} X_n \ge a\}$. Soit $n_0 = \min\{n \le T : X_n \ge a\}$. Si cet ensemble est vide, $\omega \notin A$. Si cet ensemble n'est pas vide, alors $n_0 \le T$.

Pour $\omega \in A$, il existe $n \le T(\omega)$ tel que $X_n(\omega) \ge a$. Si on prend $n_0(\omega)$ comme le plus petit de ces $n$, alors $X_{n_0(\omega)}(\omega) \ge a$. Comme $n_0(\omega) \le T(\omega)$, et que $(X_n)$ est une sous-martingale, on a $X_{T(\omega)} \ge X_{n_0(\omega)} \ge a$ (par l'application répétée de la propriété de sous-martingale $E[X_k|\mathcal{F}_m] \ge X_m$).

Donc, si $\omega \in A$, alors $X_{T(\omega)} \ge a$. Par conséquent, l'événement $A$ est inclus dans l'événement $\{X_T \ge a\}$.

Ainsi, $P(A) \le P(X_T \ge a)$.

Maintenant, on utilise la propriété de sous-martingale :

$E[X_T] = E[X_T \mathbb{1}_{\{X_T \ge a\}}] + E[X_T \mathbb{1}_{\{X_T < a\}}]$.

Puisque $X_T \ge a$ sur $\{X_T \ge a\}$, $E[X_T \mathbb{1}_{\{X_T \ge a\}}] \ge a P(X_T \ge a)$.

Et $X_T < a$ sur $\{X_T < a\}$, donc $E[X_T \mathbb{1}_{\{X_T < a\}}] \ge E[X_T \mathbb{1}_{\{X_T < a\}}] \ge E[0 \cdot \mathbb{1}_{\{X_T < a\}}] = 0$.

Donc, $E[X_T] \ge a P(X_T \ge a)$.

Ceci implique $P(X_T \ge a) \le \frac{E[X_T]}{a}$.

Puisque $A \subseteq \{X_T \ge a\}$, on a $P(A) \le P(X_T \ge a)$.

Finalement, $P(\sup_{n \le T} X_n \ge a) \le \frac{E[X_T]}{a}$.