Niveau : supérieur, du facile au difficile. Durée estimée : 2 h. 8 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Pour écrire la série de Fourier d'un signal $f$ de période $T$, calcule sur une période sa valeur moyenne $a_0$, puis les coefficients $a_n$ et $b_n$. Avant toute intégrale, regarde la parité : elle annule la moitié des coefficients. Exemple : le signal $3 + 2\sin t - \cos(3t)$, de période $2\pi$, a pour coefficients $a_0 = 3$, $b_1 = 2$, $a_3 = -1$, tous les autres étant nuls, car une somme finie de sinus et de cosinus est sa propre série de Fourier.
Pour une fonction définie par morceaux, découpe chaque intégrale selon les morceaux. Le terme $a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)$ est l'harmonique de rang $n$ ; son amplitude vaut $\sqrt{a_n^2 + b_n^2}$. « De classe $C^1$ par morceaux » veut dire : dérivable à dérivée continue sur chaque morceau d'une période, avec, pour la fonction et sa dérivée, des limites finies aux bords. Certains cours écrivent le terme constant $\frac{a_0}{2}$, avec $a_0 = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\,dt$ : la série est la même, mais ne mélange pas les deux écritures. Le module « Séries de Fourier » du programme de mathématiques des BTS demande ces calculs à la main pour un signal en créneau et un signal rampe, et relie la formule de Parseval à la valeur efficace (arrêté du 4 juin 2013, Bulletin officiel n° 27 du 4 juillet 2013).
Formules à retenir :
- $\omega = \frac{2\pi}{T}$ et $S(t) = a_0 + \sum_{n\geq 1}\left(a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)\right)$.
- $a_0 = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,dt$, $a_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(n\omega t)\,dt$, $b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(n\omega t)\,dt$, sur n'importe quelle période.
- $f$ paire : $b_n = 0$ et $a_n = \frac{4}{T}\int_0^{T/2} f(t)\cos(n\omega t)\,dt$. $f$ impaire : $a_0 = a_n = 0$ et $b_n = \frac{4}{T}\int_0^{T/2} f(t)\sin(n\omega t)\,dt$.
- Dirichlet : si $f$ est de classe $C^1$ par morceaux, $S(t) = \frac{f(t^-) + f(t^+)}{2}$ pour tout $t$, donc $S(t) = f(t)$ là où $f$ est continue.
- Parseval : $\frac{1}{T}\int_0^T f(t)^2\,dt = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n\geq 1}\left(a_n^2 + b_n^2\right)$, carré de la valeur efficace.
- Pour tout entier $n$ : $\cos(n\pi) = (-1)^n$ et $\sin(n\pi) = 0$.
Piège classique : en un point de saut $t_0$, la série de Fourier ne vaut pas $f(t_0)$ mais la moyenne des limites à gauche et à droite, quelle que soit la valeur donnée à $f(t_0)$.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Le signal en créneau $f$, de période $2\pi$, vaut $-1$ sur $]-\pi\,;\,0[$, $1$ sur $]0\,;\,\pi[$, et $0$ en $0$ et en $\pi$. Justifie que $f$ est impaire, puis calcule ses coefficients de Fourier et écris sa série.
Correction :
Ici $\omega = 1$. Pour $t$ dans $]0\,;\,\pi[$, $f(-t) = -1 = -f(t)$, et $f$ est nulle en $0$ et en $\pm\pi$ : $f$ est impaire, donc $a_0 = a_n = 0$. Reste $b_n$ :
$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(nt)\,dt = \frac{2}{\pi}\left[-\frac{\cos(nt)}{n}\right]_0^{\pi} = \frac{2\left(1 - (-1)^n\right)}{n\pi}.$$
Donc $b_n = 0$ pour $n$ pair, $b_n = \frac{4}{n\pi}$ pour $n$ impair, et $S(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq 0}\frac{\sin\left((2k+1)t\right)}{2k+1}$.
Exercice 2 : Le signal $g$, de période $2\pi$, vaut $0$ sur $[-\pi\,;\,0[$ et $1$ sur $[0\,;\,\pi[$. a) Sans calculer d'intégrale, déduis sa série de Fourier de l'exercice 1. b) Calcule la valeur de cette série en $t = 0$ et compare-la à $g(0)$.
Correction :
a) Sauf aux points $k\pi$, $g = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}f$. Des valeurs isolées ne changent aucune intégrale, et les coefficients sont linéaires : $a_0 = \frac{1}{2}$, $a_n = 0$, $b_n = \frac{2}{n\pi}$ pour $n$ impair et $0$ pour $n$ pair, soit $S(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{k\geq 0}\frac{\sin\left((2k+1)t\right)}{2k+1}$.
b) Tous les sinus sont nuls en $0$ : $S(0) = \frac{1}{2}$, alors que $g(0) = 1$. C'est le théorème de Dirichlet en un point de saut : $\frac{g(0^-) + g(0^+)}{2} = \frac{0 + 1}{2}$. Écrire $S(0) = g(0)$ serait faux.
Exercice 3 : Le signal triangulaire $h$, de période $2\pi$, vaut $h(t) = \pi - |t|$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$. Calcule ses coefficients de Fourier et écris sa série de Fourier.
Correction :
$h$ est paire, donc $b_n = 0$. Sa valeur moyenne est l'aire du triangle divisée par la période : $a_0 = \frac{\pi^2}{2\pi} = \frac{\pi}{2}$. Pour $a_n$, intègre par parties :
$$a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}(\pi - t)\cos(nt)\,dt = \frac{2}{\pi}\left(\left[\frac{(\pi - t)\sin(nt)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\sin(nt)\,dt\right) = \frac{2\left(1 - (-1)^n\right)}{\pi n^2}.$$
Donc $a_0 = \frac{\pi}{2}$, $a_n = \frac{4}{\pi n^2}$ pour $n$ impair, $0$ pour $n$ pair, et $S(t) = \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq 0}\frac{\cos\left((2k+1)t\right)}{(2k+1)^2}$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : On admet le résultat de l'exercice 3 : la fonction $h$, de période $2\pi$, égale à $\pi - |t|$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$, a pour série de Fourier $S(t) = \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq 0}\frac{\cos\left((2k+1)t\right)}{(2k+1)^2}$. a) Justifie que $S(t) = h(t)$ pour tout réel $t$. b) Calcule $\sum_{k\geq 0}\frac{1}{(2k+1)^2}$. c) Déduis-en $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}$.
Correction :
a) $h$ est continue sur $\mathbb{R}$ (elle vaut $0$ en $\pm\pi$) et affine par morceaux, donc de classe $C^1$ par morceaux : par Dirichlet, $S(t) = h(t)$ partout.
b) En $t = 0$ : $\pi = \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq 0}\frac{1}{(2k+1)^2}$, d'où $\sum_{k\geq 0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$.
c) Sépare les rangs pairs et impairs, ce qui est permis pour une série convergente à termes positifs. Avec $\Sigma = \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}$, les rangs pairs donnent $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{4k^2} = \frac{\Sigma}{4}$, donc $\Sigma = \frac{\pi^2}{8} + \frac{\Sigma}{4}$ et $\Sigma = \frac{\pi^2}{6}$.
Exercice 5 : Le signal rampe $r$, de période $2\pi$, vaut $r(t) = t$ sur $]-\pi\,;\,\pi]$. a) Calcule ses coefficients de Fourier. b) En choisissant bien la valeur de $t$, calcule $\sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^k}{2k+1}$.
Correction :
a) Sauf aux points de saut $\pi + 2k\pi$, $r$ est impaire, donc $a_0 = a_n = 0$. Une intégration par parties donne :
$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}t\sin(nt)\,dt = \frac{2}{\pi}\left(\left[-\frac{t\cos(nt)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nt)\,dt\right) = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}.$$
Donc $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$.
b) Prends $t = \frac{\pi}{2}$, point de continuité. Les rangs pairs s'annulent et, pour $n = 2k+1$, $\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) = (-1)^k$ : $\frac{\pi}{2} = 2\sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^k}{2k+1}$, d'où $\sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}$.
Exercice 6 : On reprend le créneau $f$ de l'exercice 1, de série $\frac{4}{\pi}\sum_{k\geq 0}\frac{\sin\left((2k+1)t\right)}{2k+1}$, et le triangle $h$ de l'exercice 3, de série $\frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq 0}\frac{\cos\left((2k+1)t\right)}{(2k+1)^2}$. a) Montre que la série de $h$ converge normalement sur $\mathbb{R}$. b) Justifie que la série de $f$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}$.
Correction :
a) Une série de fonctions $\sum u_k$ converge normalement quand la série des maximums de $|u_k(t)|$ converge. Ici, pour tout $t$, $\left|\frac{4\cos\left((2k+1)t\right)}{\pi(2k+1)^2}\right| \leq \frac{4}{\pi(2k+1)^2}$, terme d'une série convergente (exercice 4) : la convergence est normale, donc uniforme, sur $\mathbb{R}$.
b) Les sommes partielles sont continues, et une limite uniforme de fonctions continues est continue. Or, par Dirichlet, la somme vaut $0$ en $0$ et $1$ sur $]0\,;\,\pi[$ : elle est discontinue en $0$. La convergence n'est donc pas uniforme sur $\mathbb{R}$. Retiens-le : un saut interdit la convergence uniforme.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : Après un redressement double alternance (le montage retourne les alternances négatives), une tension vaut $u(t) = 12\,|\sin(100\pi t)|$, en volts, avec $t$ en secondes. a) Donne sa période et sa fréquence. b) Calcule sa valeur moyenne $a_0$. c) Calcule $a_n$ pour $n \geq 1$, puis l'amplitude de la première harmonique. d) Avec la formule de Parseval, calcule la part du carré de la valeur efficace portée par $a_0$ et cette harmonique.
Correction :
a) $|\sin|$ est de période $\pi$, donc $T = \frac{\pi}{100\pi}$, soit $T = 0{,}01$ s et une fréquence de 100 Hz, avec $\omega = 200\pi$ rad/s. L'erreur à éviter : prendre $0{,}02$ s, la période de $\sin(100\pi t)$.
b) Pose $x = 100\pi t$ : une période correspond à $x$ de $0$ à $\pi$, et $a_0 = \frac{1}{T}\int_0^T u(t)\,dt = \frac{12}{\pi}\int_0^{\pi}\sin x\,dx = \frac{24}{\pi}$, soit $a_0 \approx 7{,}64$ V.
c) $u$ est paire, donc $b_n = 0$. Avec le même changement de variable, $n\omega t = 2nx$, et $2\sin x\cos(2nx) = \sin\left((2n+1)x\right) - \sin\left((2n-1)x\right)$ :
$$a_n = \frac{24}{\pi}\int_0^{\pi}\sin x\cos(2nx)\,dx = \frac{12}{\pi}\left(\frac{2}{2n+1} - \frac{2}{2n-1}\right) = -\frac{48}{\pi(4n^2 - 1)}.$$
La première harmonique, à 100 Hz, a pour amplitude $|a_1| = \frac{16}{\pi} \approx 5{,}09$ V.
d) Le carré de la valeur efficace vaut $\frac{1}{T}\int_0^T u(t)^2\,dt = \frac{12^2}{2} = 72\ \text{V}^2$. La valeur moyenne et la première harmonique en portent $a_0^2 + \frac{a_1^2}{2} = \frac{576}{\pi^2} + \frac{128}{\pi^2} = \frac{704}{\pi^2} \approx 71{,}3\ \text{V}^2$, soit plus de 99 %.
Exercice 8 : La fonction $q$, de période $2\pi$, vaut $q(t) = t^2$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$. a) Calcule ses coefficients de Fourier. b) Déduis-en $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$. c) Avec la formule de Parseval, calcule $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^4}$.
Correction :
a) $q$ est paire : $b_n = 0$ et $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}t^2\,dt = \frac{\pi^2}{3}$. Deux intégrations par parties, la seconde faite à l'exercice 5, donnent :
$$a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}t^2\cos(nt)\,dt = \frac{2}{\pi}\left(\left[\frac{t^2\sin(nt)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{2}{n}\int_0^{\pi}t\sin(nt)\,dt\right) = \frac{2}{\pi}\left(0 - \frac{2}{n}\cdot\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}\right).$$
Donc $a_0 = \frac{\pi^2}{3}$, $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$, $b_n = 0$.
b) $q$ est continue (elle vaut $\pi^2$ en $\pm\pi$) et de classe $C^1$ par morceaux, donc sa série converge vers $q$ partout. En $t = 0$ : $0 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n^2}$, d'où $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$.
c) $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^4\,dt = \frac{\pi^4}{5}$, et Parseval donne $\frac{\pi^4}{5} = \frac{\pi^4}{9} + \frac{1}{2}\sum_{n\geq 1}\frac{16}{n^4}$. Donc $8\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^4} = \frac{4\pi^4}{45}$ et $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$. L'erreur à éviter : oublier $a_0^2$ ou le facteur $\frac{1}{2}$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : regarde la parité avant d'intégrer, et contrôle $a_0$ sur le graphe : c'est la valeur moyenne. Pour une somme numérique, évalue la série en un point de continuité bien choisi, ou passe par Parseval quand la somme porte sur des carrés. En un point de saut, la série vaut la moyenne des deux limites.
Avant un contrôle, refais sans regarder les exercices 3, 5 et 8 : les intégrations par parties classiques du chapitre y sont. Pour vérifier un résultat, trace avec un logiciel la somme des premières harmoniques et compare-la au signal.
Sources
Programme de mathématiques des BTS, module « Séries de Fourier » (arrêté du 4 juin 2013) : Bulletin officiel n° 27 du 4 juillet 2013.