Maîtrise les Suites et Séries Numériques : Exercices Corrigés

Correction :

a) Calcul des premiers termes :

• $u_0 = \frac{2(0)+1}{0+3} = \frac{1}{3}$
• $u_1 = \frac{2(1)+1}{1+3} = \frac{3}{4}$
• $u_2 = \frac{2(2)+1}{2+3} = \frac{5}{5} = 1$

b) Détermination de la limite :

Pour trouver la limite d'une suite rationnelle en $n \to +\infty$, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par la plus haute puissance de $n$, ici $n$.

$u_n = \frac{2n+1}{n+3} = \frac{n(2 + \frac{1}{n})}{n(1 + \frac{3}{n})} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n}}$

Lorsque $n \to +\infty$, on sait que $\frac{1}{n} \to 0$ et $\frac{3}{n} \to 0$. Donc :

$\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{2+0}{1+0} = 2$

c) Convergence de la suite :

Une suite est convergente si sa limite existe et est un nombre réel fini. Comme nous avons trouvé que la limite est 2 (un nombre réel fini), la suite $(u_n)$ est convergente.

Point méthode : Pour les suites rationnelles, on utilise souvent la division par la plus haute puissance de $n$ pour trouver la limite.

Correction :

a) Calcul des premiers termes :

• $v_0 = (-1)^0 = 1$
• $v_1 = (-1)^1 = -1$
• $v_2 = (-1)^2 = 1$
• $v_3 = (-1)^3 = -1$

On observe que la suite alterne entre 1 et -1.

b) Convergence de la suite :

Pour qu'une suite converge, ses termes doivent se rapprocher d'une valeur unique lorsque $n$ devient grand. Ici, les termes de la suite $(v_n)$ oscillent entre 1 et -1 et ne se fixent pas sur une seule valeur. Par conséquent, la suite $(v_n)$ n'a pas de limite finie.

Astuce : Les suites qui oscillent sans se stabiliser sont souvent divergentes.

Correction :

a) Encadrement de $w_n$ :

On sait que pour tout réel $x$, $-1 \le \sin(x) \le 1$. Donc, pour tout $n \ge 1$, on a :

$-1 \le \sin(n) \le 1$

Comme $n \ge 1$, $n$ est strictement positif. On peut donc diviser l'inégalité par $n$ sans changer le sens des inégalités :

$\frac{-1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac{1}{n}$

Ce qui donne :

$\frac{-1}{n} \le w_n \le \frac{1}{n}$

b) Détermination de la limite :

Nous avons l'encadrement :

• Pour tout $n \ge 1$, $\frac{-1}{n} \le w_n \le \frac{1}{n}$.

Considérons les limites des bornes de l'encadrement lorsque $n \to +\infty$ :

• $\lim_{n \to +\infty} \frac{-1}{n} = 0$
• $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$

D'après le théorème des gendarmes, puisque $(w_n)$ est encadrée par deux suites qui convergent vers la même limite 0, alors $(w_n)$ converge également vers 0.

Point méthode : Le théorème des gendarmes est très utile quand une suite est bornée par des fonctions ou suites simples dont on connaît la limite.

Correction :

a) Calcul des premiers termes :

• $x_0 = 0$
• $x_1 = \sqrt{x_0 + 2} = \sqrt{0 + 2} = \sqrt{2}$
• $x_2 = \sqrt{x_1 + 2} = \sqrt{\sqrt{2} + 2}$

b) Démontrer $0 \le x_n < 2$ par récurrence :

Initialisation : Pour $n=0$, $x_0 = 0$, donc $0 \le x_0 < 2$. La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : Supposons que pour un certain $k \ge 0$, on ait $0 \le x_k < 2$. Montrons que $0 \le x_{k+1} < 2$.

On a $0 \le x_k < 2$. En ajoutant 2, on obtient $2 \le x_k + 2 < 4$.

En prenant la racine carrée (qui est une fonction croissante sur $[0, +\infty[$), on obtient :

$\sqrt{2} \le \sqrt{x_k + 2} < \sqrt{4}$

Donc, $\sqrt{2} \le x_{k+1} < 2$. Puisque $\sqrt{2} \ge 0$, on a bien $0 \le x_{k+1} < 2$.

Conclusion : Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le x_n < 2$.

c) Démontrer que $(x_n)$ est croissante par récurrence :

Initialisation : Pour $n=0$, $x_0 = 0$ et $x_1 = \sqrt{2}$. Comme $0 < \sqrt{2}$, on a $x_0 \le x_1$. La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : Supposons que pour un certain $k \ge 0$, on ait $x_k \le x_{k+1}$. Montrons que $x_{k+1} \le x_{k+2}$.

On a $x_k \le x_{k+1}$. En ajoutant 2, on obtient $x_k + 2 \le x_{k+1} + 2$.

En prenant la racine carrée (fonction croissante) :

$\sqrt{x_k + 2} \le \sqrt{x_{k+1} + 2}$

Soit $x_{k+1} \le x_{k+2}$.

Conclusion : Par récurrence, la suite $(x_n)$ est croissante.

d) Déduction de la convergence et de la limite :

La suite $(x_n)$ est croissante (d'après c) et majorée par 2 (d'après b)). D'après le théorème de la limite monotone, une suite croissante et majorée est convergente.

Soit $L$ la limite de la suite $(x_n)$. Puisque $x_{n+1} = \sqrt{x_n + 2}$, en passant à la limite, on obtient :

$L = \sqrt{L + 2}$

Pour résoudre cette équation, on élève les deux côtés au carré (en s'assurant que les deux côtés sont positifs, ce qui est le cas car $x_n \ge 0$ donc $L \ge 0$):

$L^2 = L + 2$

$L^2 - L - 2 = 0$

C'est une équation du second degré. Le discriminant est $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$.

Les solutions sont $L = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 \pm 3}{2}$.

Les solutions sont $L_1 = \frac{1+3}{2} = 2$ et $L_2 = \frac{1-3}{2} = -1$.

Comme nous avons montré que $x_n \ge 0$ pour tout $n$, sa limite $L$ doit aussi être positive. Donc, la seule solution possible est $L=2$.

Point méthode : Pour étudier la convergence d'une suite définie par récurrence, il est souvent utile de montrer sa monotonie et d'établir un majorant ou un minorant.

Correction :

a) Calcul des premiers termes :

• $y_0 = 1$
• $y_1 = \frac{y_0}{y_0 + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
• $y_2 = \frac{y_1}{y_1 + 1} = \frac{1/2}{1/2 + 1} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}$

b) Montrer que $(z_n)$ est arithmétique :

On a $y_{n+1} = \frac{y_n}{y_n + 1}$. Puisque $y_0=1$, tous les termes sont strictement positifs, donc $y_n \ne 0$.

On a $z_n = \frac{1}{y_n}$, donc $y_n = \frac{1}{z_n}$.

Pour $n \ge 0$, $y_{n+1} = \frac{1}{z_{n+1}}$. Substituons dans la relation de récurrence :

$\frac{1}{z_{n+1}} = \frac{1/z_n}{1/z_n + 1} = \frac{1/z_n}{(1+z_n)/z_n} = \frac{1}{1+z_n}$

Donc, $z_{n+1} = 1 + z_n$. Cela montre que la suite $(z_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=1$.

c) Expression de $z_n$ et $y_n$ :

La suite $(z_n)$ est arithmétique de raison $r=1$. Son premier terme est $z_0 = \frac{1}{y_0} = \frac{1}{1} = 1$.

La formule générale pour une suite arithmétique est $z_n = z_0 + nr$. Donc :

$z_n = 1 + n(1) = n+1$.

Maintenant, on en déduit $y_n$ :

$y_n = \frac{1}{z_n} = \frac{1}{n+1}$.

d) Détermination de la limite de $(y_n)$ :

On a $y_n = \frac{1}{n+1}$. Lorsque $n \to +\infty$, le dénominateur $n+1 \to +\infty$. Donc :

$\lim_{n \to +\infty} y_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0$.

Point méthode : Pour les suites définies par une relation de récurrence non linéaire, essayer de trouver une transformation qui mène à une suite plus simple (arithmétique, géométrique).

Correction :

a) Détermination de la limite :

On divise le numérateur et le dénominateur par $3^n$ (la plus haute puissance de $n$ en quelque sorte pour les exponentielles) :

$a_n = \frac{3^n(1 - \frac{1}{3^n})}{3^n(1 + \frac{1}{3^n})} = \frac{1 - (1/3)^n}{1 + (1/3)^n}$

Lorsque $n \to +\infty$, $(1/3)^n \to 0$ car $0 < 1/3 < 1$. Donc :

$\lim_{n \to +\infty} a_n = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.

b) Étude de la monotonie :

On calcule $a_{n+1} - a_n$.

$a_{n+1} = \frac{3^{n+1} - 1}{3^{n+1} + 1}$.

$a_{n+1} - a_n = \frac{3^{n+1} - 1}{3^{n+1} + 1} - \frac{3^n - 1}{3^n + 1}$

On réduit au même dénominateur : $(3^{n+1} + 1)(3^n + 1) = (3 \cdot 3^n + 1)(3^n + 1)$.

$a_{n+1} - a_n = \frac{(3^{n+1} - 1)(3^n + 1) - (3^n - 1)(3^{n+1} + 1)}{(3^{n+1} + 1)(3^n + 1)}$

Développons le numérateur :

$(3 \cdot 3^n \cdot 3^n + 3 \cdot 3^n - 3^n - 1) - (3^n \cdot 3 \cdot 3^n + 3^n - 3 \cdot 3^n - 1)$

$= (3 \cdot 3^{2n} + 2 \cdot 3^n - 1) - (3 \cdot 3^{2n} - 2 \cdot 3^n - 1)$

= $3 \cdot 3^{2n} + 2 \cdot 3^n - 1 - 3 \cdot 3^{2n} + 2 \cdot 3^n + 1$

= $4 \cdot 3^n$

Le dénominateur $(3^{n+1} + 1)(3^n + 1)$ est toujours positif pour $n \in \mathbb{N}$.

Donc, $a_{n+1} - a_n = \frac{4 \cdot 3^n}{(3^{n+1} + 1)(3^n + 1)} > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

La suite $(a_n)$ est donc strictement croissante.

Astuce : Pour étudier le signe de $a_{n+1} - a_n$, il est souvent nécessaire de développer et simplifier le numérateur après avoir mis au même dénominateur.

Correction :

a) Calcul des premiers termes :

• $u_1 = \sum_{k=1}^{1} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} = 1$.
• $u_2 = \sum_{k=1}^{2} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
• $u_3 = \sum_{k=1}^{3} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{36+9+4}{36} = \frac{49}{36}$.

b) Montrer que $(u_n)$ est croissante :

$u_{n+1} - u_n = \left(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^2}\right) - \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}\right) = \frac{1}{(n+1)^2}$.

Pour tout $n \ge 1$, $(n+1)^2 > 0$, donc $\frac{1}{(n+1)^2} > 0$. Ainsi, $u_{n+1} - u_n > 0$, ce qui signifie que $u_{n+1} > u_n$. La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.

c) Montrer l'inégalité :

Comparons $\frac{1}{k^2}$ et $\frac{1}{k(k-1)}$.

$\frac{1}{k(k-1)} - \frac{1}{k^2} = \frac{k - (k-1)}{k^2(k-1)} = \frac{1}{k^2(k-1)}$.

Pour $k \ge 2$, $k^2(k-1) > 0$. Donc $\frac{1}{k^2(k-1)} > 0$. Ceci implique $\frac{1}{k(k-1)} > \frac{1}{k^2}$.

Par conséquent, pour tout $k \ge 2$, $\frac{1}{k^2} \le \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$.

d) Majorant et convergence :

Pour $n \ge 2$,

$u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}$.

En utilisant l'inégalité de la question c) :

$u_n \le 1 + \sum_{k=2}^{n} \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right)$.

La somme $\sum_{k=2}^{n} \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right)$ est une somme télescopique :

$\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) = 1 - \frac{1}{n}$.

Donc, pour $n \ge 2$, $u_n \le 1 + \left(1 - \frac{1}{n}\right) = 2 - \frac{1}{n}$.

Puisque $\frac{1}{n} > 0$, on a $2 - \frac{1}{n} < 2$. Donc, $u_n < 2$ pour tout $n \ge 2$. La suite $(u_n)$ est donc majorée par 2.

La suite $(u_n)$ est croissante (question b) et majorée (par 2). D'après le théorème de la limite monotone, elle est convergente.

Point méthode : Les sommes télescopiques sont une technique puissante pour simplifier certaines sommes, souvent révélées par des inégalités du type $a_k \le f(k) - f(k+1)$ ou $a_k \ge f(k) - f(k+1)$.

Correction :

a) Définition d'une suite de Cauchy :

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy si pour tout $\epsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tous entiers $m, n \ge N$, on a $|u_m - u_n| < \epsilon$.

b) Convergence implique suite de Cauchy :

Supposons que $(u_n)$ converge vers $L$. Cela signifie que pour tout $\epsilon' > 0$, il existe un entier $N'$ tel que pour tout $n \ge N'$, on a $|u_n - L| < \epsilon'$.

Soit $\epsilon > 0$. Choisissons $\epsilon' = \epsilon/2$. Il existe alors un entier $N'$ tel que pour tout $n \ge N'$, $|u_n - L| < \epsilon/2$.

Prenons deux entiers $m, n \ge N'$. On a :

$|u_m - u_n| = |u_m - L + L - u_n|$

Par inégalité triangulaire, $|u_m - u_n| \le |u_m - L| + |L - u_n| = |u_m - L| + |u_n - L|$.

Comme $m \ge N'$ et $n \ge N'$, on a $|u_m - L| < \epsilon/2$ et $|u_n - L| < \epsilon/2$.

Donc, $|u_m - u_n| < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$.

Ceci est vrai pour tous $m, n \ge N'$. Donc, $(u_n)$ est une suite de Cauchy.

c) Suite de Cauchy implique bornée :

Soit $(u_n)$ une suite de Cauchy. Par définition, pour $\epsilon = 1$ (on peut choisir n'importe quel $\epsilon > 0$, 1 est pratique), il existe un entier $N$ tel que pour tous $m, n \ge N$, $|u_m - u_n| < 1$.

En particulier, pour tout $n \ge N$, on a $|u_n - u_N| < 1$.

Cela implique $u_N - 1 < u_n < u_N + 1$ pour tout $n \ge N$.

Considérons l'ensemble des termes $(u_0, u_1, \dots, u_{N-1}, u_N-1, u_N+1)$. Ces valeurs délimitent un intervalle.

Soit $M = \max(|u_0|, |u_1|, \dots, |u_{N-1}|, |u_N - 1|, |u_N + 1|)$.

Alors, pour tout $n \in \{0, 1, \dots, N-1\}$, on a $|u_n| \le M$.

Et pour tout $n \ge N$, on a $|u_n - u_N| < 1$, ce qui implique $|u_n| < |u_N| + 1$. Donc, $|u_n| \le \max_{0 \le k \le N-1} |u_k| \cup \{|u_N|+1\}$.

Plus simplement : Pour $n \ge N$, on a $u_N - 1 < u_n < u_N + 1$.

Soit $A = \max(|u_0|, |u_1|, \dots, |u_{N-1}|)$.

Alors pour $n < N$, $|u_n| \le A$.

Pour $n \ge N$, $|u_n| \le \max(u_N+1, -(u_N-1)) = \max(u_N+1, 1-u_N)$.

Soit $B = \max(A, u_N+1, 1-u_N)$. Alors pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|u_n| \le B$. La suite $(u_n)$ est donc bornée.

Point méthode : La définition d'une suite de Cauchy est locale (elle porte sur les queues de suite), mais ses propriétés sont globales (convergence, bornitude).

Correction :

a) Calcul des premiers termes :

• $u_1 = \sum_{k=1}^{2} \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
• $u_2 = \sum_{k=2}^{4} \frac{1}{k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6+4+3}{12} = \frac{13}{12}$.

b) Encadrement de $\frac{1}{k}$ :

Pour $k$ dans l'ensemble $\{n, n+1, \dots, 2n\}$, la plus petite valeur de $k$ est $n$ et la plus grande est $2n$. Donc $n \le k \le 2n$. Comme $k>0$, on a $\frac{1}{2n} \le \frac{1}{k} \le \frac{1}{n}$.

c) Encodrement de $u_n$ :

$u_n = \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k}$. Il y a $2n - n + 1 = n+1$ termes dans cette somme.

En utilisant l'encadrement de $\frac{1}{k}$ :

Somme des minorants : $\sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{2n} = (n+1) \times \frac{1}{2n} = \frac{n+1}{2n}$.

Somme des majorants : $\sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{n} = (n+1) \times \frac{1}{n} = \frac{n+1}{1}$.

Donc, pour $n \ge 1$ :

$\frac{n+1}{2n} \le u_n \le n+1$.

d) Détermination de la limite :

Examinons les limites des bornes de l'encadrement.

Limite inférieure : $\lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{2n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n(1+1/n)}{n(2)} = \frac{1}{2}$.

Limite supérieure : $\lim_{n \to +\infty} (n+1) = +\infty$.

L'encadrement $\frac{n+1}{2n} \le u_n \le n+1$ n'est pas suffisant pour conclure directement par le théorème des gendarmes car les limites des bornes ne sont pas égales (une est finie, l'autre infinie).

Il faut un meilleur encadrement.

On sait que $u_n = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \dots + \frac{1}{2n}$.

On peut utiliser l'inégalité $\frac{1}{k} \le \int_{k-1}^{k} \frac{1}{x} dx$ pour $k \ge 2$ ou $\frac{1}{k} \le \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} dx$.

Utilisons l'encadrement par intégrale :

Pour $k \in \{n, \dots, 2n\}$, on a $\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} dx \le \frac{1}{k}$.

Donc $u_n = \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k} \ge \sum_{k=n}^{2n} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} dx = \int_{n}^{2n+1} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_n^{2n+1} = \ln(2n+1) - \ln(n) = \ln\left(\frac{2n+1}{n}\right) = \ln(2 + \frac{1}{n})$.

Lorsque $n \to +\infty$, $\ln(2 + \frac{1}{n}) \to \ln(2)$.

Pour la borne supérieure :

Pour $k \in \{n, \dots, 2n\}$, $\frac{1}{k} \le \int_{k-1}^{k} \frac{1}{x} dx$ pour $k \ge 2$. Cela donne :

$u_n = \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k} \le \sum_{k=n}^{2n} \int_{k-1}^{k} \frac{1}{x} dx = \int_{n-1}^{2n} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{n-1}^{2n} = \ln(2n) - \ln(n-1) = \ln\left(\frac{2n}{n-1}\right) = \ln\left(\frac{2}{1-1/n}\right)$.

Lorsque $n \to +\infty$, $\ln\left(\frac{2}{1-1/n}\right) \to \ln(2)$.

Donc, par le théorème des gendarmes appliqué aux intégrales :

Point méthode : L'utilisation des intégrales pour encadrer des sommes de fonctions monotones est une technique très puissante pour trouver des limites de sommes complexes (comme les sommes de Riemann).

Correction :

a) Forme d'une suite de Cauchy :

On sait qu'une suite de Cauchy est bornée (exercice 8c). Soit $B$ un majorant de $|u_n|$.

Par définition de suite de Cauchy, pour tout $\epsilon > 0$, il existe $N$ tel que pour $m,n \ge N$, $|u_m - u_n| < \epsilon$.

Soit $L_N = u_N$. Pour $n \ge N$, $|u_n - L_N| < \epsilon$.

On peut écrire $u_n = L_N + (u_n - L_N)$.

Soit $\epsilon_n = u_n - L_N$ pour $n \ge N$. Alors pour $n \ge N$, $|\epsilon_n| < \epsilon$.

Cependant, cette définition de $\epsilon_n$ dépend de $N$. Pour obtenir une suite tendant vers 0, il faut être plus rigoureux.

D'après la définition de Cauchy, pour $\epsilon=1$, il existe $N$ tel que pour $m,n \ge N$, $|u_m - u_n| < 1$.

Considérons la suite $v_n = u_{n+N}$ pour $n \ge 0$. $(v_n)$ est aussi une suite de Cauchy.

Pour tout $\epsilon > 0$, il existe $N_v$ tel que pour $m, n \ge N_v$, $|v_m - v_n| < \epsilon$.

Soit $N_{tot} = N+N_v$. Pour tout $n \ge N_{tot}$, on a $n \ge N$ et $n-N \ge N_v$.

Alors $|u_n - u_{n-N}| < \epsilon$.

Prenons $L = u_{N_{tot}}$. Alors pour $n \ge N_{tot}$, $|u_n - L| = |u_n - u_{N_{tot}}|$ (en considérant que $u_{N_{tot}}$ est juste une valeur fixe). Si $n \ge N_{tot}$ et $m \ge N_{tot}$, $|u_n - u_m| < \epsilon$.

Une autre approche : Soit $(u_n)$ une suite de Cauchy. Elle est bornée. Soit $I_n = [u_n - 1/n, u_n + 1/n]$. Ces intervalles se "réduisent" et se "centrent" de manière adéquate. C'est le principe de construction de la complétude de $\mathbb{R}$.

Si $(u_n)$ est de Cauchy, alors pour tout $\epsilon > 0$, il existe $N$ tel que pour $m, n \ge N$, $|u_m - u_n| < \epsilon$. Fixons $n \ge N$. Alors $u_n$ est fixe. Pour tout $m \ge n$, $|u_m - u_n| < \epsilon$. Cela signifie que tous les termes $u_m$ pour $m \ge n$ sont dans l'intervalle $(u_n - \epsilon, u_n + \epsilon)$.

Soit $L = \limsup u_n$. On montre que $L$ est finie. Alors on montre que $\forall \epsilon > 0$, il existe $N$ tel que $\forall n \ge N$, $|u_n - L| < \epsilon$.

b) Suite de Cauchy est convergente :

C'est un théorème fondamental de l'analyse dans $\mathbb{R}$. La démonstration repose sur le fait que $\mathbb{R}$ est complet. Une démonstration typique utilise la construction d'une suite d'intervalles emboîtés.

Soit $(u_n)$ une suite de Cauchy. On peut construire une suite $(v_k)$ extraite de $(u_n)$ telle que $v_{k+1} - v_k \to 0$. Les intervalles $[v_k - \epsilon_k, v_k + \epsilon_k]$ emboîtés définissent un unique point.

Soit $(u_n)$ une suite de Cauchy. On peut montrer qu'il existe une sous-suite $(u_{n_k})$ qui converge vers une limite $L$. Puisque $(u_n)$ est de Cauchy, et que toute sous-suite convergente d'une suite de Cauchy converge vers la même limite, $(u_n)$ converge vers $L$. (Ce point est déjà prouvé dans le b de l'exercice 8, mais c'est une application directe ici).

c) Étude de $u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$ :

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$.

Puisque $u_0=1 > 0$, et que $u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$, si $u_n > 0$, alors $u_{n+1} > 0$. Par récurrence, tous les termes $u_n$ sont strictement positifs.

Calculons $u_1 = 1 + \frac{1}{1} = 2$. $u_2 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$. $u_3 = \frac{5}{2} + \frac{1}{5/2} = \frac{5}{2} + \frac{2}{5} = \frac{25+4}{10} = \frac{29}{10}$.

Monotonie : $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{u_n}$. Comme $u_n > 0$, $u_{n+1} - u_n > 0$. La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Si la suite $(u_n)$ était convergente vers une limite $L$, alors $L$ serait finie. Passant à la limite dans la relation de récurrence : $L = L + \frac{1}{L}$. Cela implique $\frac{1}{L} = 0$, ce qui est impossible pour un réel $L$. Donc, la suite $(u_n)$ ne peut pas être convergente (vers une limite finie).

Puisque $(u_n)$ est strictement croissante et non convergente vers une limite finie, elle diverge vers $+\infty$.

Une suite qui diverge vers $+\infty$ ne peut pas être de Cauchy, car pour être de Cauchy, il faut que les termes soient arbitrairement proches les uns des autres. Si la suite tend vers l'infini, les termes s'éloignent.

Montrons formellement pourquoi elle n'est pas de Cauchy : Soit $\epsilon = 1$. Pour que $(u_n)$ soit de Cauchy, il faudrait qu'il existe $N$ tel que pour $m > n \ge N$, $|u_m - u_n| < 1$. Mais $u_m - u_n = \sum_{k=n}^{m-1} (u_{k+1} - u_k) = \sum_{k=n}^{m-1} \frac{1}{u_k}$. Si $u_n \to \infty$, alors $u_k$ devient très grand. Si $u_k$ est grand, $1/u_k$ est petit. La somme de petits termes peut être petite. Il faut faire attention.

Cependant, on a montré que $u_n \to +\infty$. Pour une suite qui tend vers l'infini, la distance entre les termes distants ne peut pas rester bornée. Si $u_n \to \infty$, alors pour tout $M$, il existe $N$ tel que $u_n > M$ pour $n>N$. Prenons $M$ très grand. Pour $n > N$, $u_n > M$. Si $u_n$ est de Cauchy, alors $|u_m - u_n| < \epsilon$ pour $m, n \ge N$. Or, on a vu que $u_n^2 \approx 2n$. Donc $u_n \approx \sqrt{2n}$. Alors $u_m - u_n \approx \sqrt{2m} - \sqrt{2n}$. Si $m$ et $n$ sont très grands, cette différence peut aussi être grande. Par exemple, prenons $m=2n$. $u_{2n} - u_n$. On sait que $u_n^2$ est à peu près $2n$. Donc $u_n \approx \sqrt{2n}$. $u_{2n} \approx \sqrt{4n} = \sqrt{2} \sqrt{2n}$. Donc $u_{2n} - u_n \approx (\sqrt{2}-1) \sqrt{2n}$. Ceci tend vers l'infini.

Point méthode : Pour une suite définie par récurrence, étudier sa monotonie et sa bornitude est souvent la première étape pour déterminer sa convergence. Si elle est monotone et non bornée, elle diverge vers l'infini.