Niveau : supérieur, du facile au difficile. Durée estimée : 2 h 30. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Une série $\sum u_n$ converge quand la suite de ses sommes partielles $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n$ a une limite finie, appelée somme de la série. Exemple : pour $u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$, on a $S_n = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$, qui tend vers $2$ : la série converge, et sa somme vaut $2$.
Tout revient donc à la limite d'une suite. Pour la trouver, factorise par le terme dominant, encadre (théorème des gendarmes) ou sers-toi de la monotonie : une suite croissante et majorée converge, une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ (théorème de la limite monotone). Pour une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue, prouve d'abord la convergence : ensuite seulement, la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$.
Formules à retenir :
- Série géométrique : $\sum q^n$ converge si et seulement si $|q| < 1$, et alors $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$.
- Comparaison : si $0 \le u_n \le v_n$ pour tout $n$ et si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.
- Somme télescopique : $\sum_{k=0}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_n - a_0$, car les termes s'annulent deux à deux.
- Suite de Cauchy, dont les termes finissent par être aussi proches qu'on veut les uns des autres : $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall m, n \ge N,\ |u_m - u_n| < \varepsilon$.
Piège classique : si $\sum u_n$ converge, alors son terme général $u_n$ tend vers $0$. S'il ne tend pas vers $0$, la série diverge : on parle de divergence grossière, comme pour $\sum (-1)^n$. La réciproque est fausse : $\frac{1}{n} \to 0$, et pourtant la série harmonique $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n}$ diverge.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Soit $u_n = \frac{2n+1}{n+3}$ pour $n \in \mathbb{N}$. Calcule $u_0$, $u_1$ et $u_2$, puis montre que $(u_n)$ converge et donne sa limite.
Correction :
On factorise par le terme dominant, $n$. D'abord, $u_0 = \frac{1}{3}$, $u_1 = \frac{3}{4}$ et $u_2 = \frac{5}{5} = 1$.
Pour $n \ge 1$, $u_n = \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n}}$ : le numérateur tend vers $2$, le dénominateur vers $1$.
$(u_n)$ converge vers $2$. Ne conclus pas « $\frac{\infty}{\infty} = 1$ » : c'est une forme indéterminée.
Exercice 2 : On lâche une balle d'une hauteur de $2$ m. À chaque rebond, elle remonte aux $\frac{3}{4}$ de la hauteur de sa chute précédente, et elle rebondit sans fin (modèle idéal). On note $h_n$ la hauteur atteinte au $n$-ième rebond. Exprime $h_n$ en fonction de $n$, puis calcule la distance verticale totale parcourue, en mètres.
Correction :
La distance totale est la somme d'une série géométrique.
$h_1 = 2 \times \frac{3}{4}$, et chaque hauteur vaut $\frac{3}{4}$ de la précédente : $h_n = 2\left(\frac{3}{4}\right)^n$.
La balle tombe de $2$ m, puis monte et redescend $h_n$ à chaque rebond : $D = 2 + 2\sum_{n=1}^{+\infty} h_n = 2 + 4\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n$. Comme $\frac{3}{4} < 1$, $\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{3}{4}} - 1 = 3$.
$D = 2 + 4 \times 3 = 14$ m. Erreur à éviter : compter chaque rebond une seule fois, alors que la balle monte puis redescend.
Exercice 3 : Soit $w_n = \frac{\sin(n)}{n}$ pour $n \ge 1$. Encadre $w_n$ à l'aide de $-1 \le \sin(n) \le 1$, puis détermine sa limite.
Correction :
On encadre, puis on applique le théorème des gendarmes.
Comme $n > 0$, diviser par $n$ garde le sens des inégalités : $-\frac{1}{n} \le w_n \le \frac{1}{n}$, et les deux bornes tendent vers $0$.
$(w_n)$ converge vers $0$. Ne cherche pas la limite de $\sin(n)$ : elle n'existe pas.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soit $x_0 = 0$ et $x_{n+1} = \sqrt{x_n + 2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
a) Montre par récurrence que $0 \le x_n < 2$ pour tout $n$.
b) Montre par récurrence que $(x_n)$ est croissante.
c) Déduis-en que $(x_n)$ converge, et calcule sa limite.
Correction :
On montre que la suite est croissante et majorée, puis on cherche sa limite.
a) $x_0 = 0$ convient. Si $0 \le x_n < 2$, alors $2 \le x_n + 2 < 4$ et, la racine carrée étant croissante, $\sqrt{2} \le x_{n+1} < 2$.
b) $x_0 = 0 \le \sqrt{2} = x_1$. Si $x_n \le x_{n+1}$, alors $x_n + 2 \le x_{n+1} + 2$, d'où $x_{n+1} \le x_{n+2}$.
c) Croissante et majorée par $2$, la suite converge vers un réel $\ell$, positif comme les $x_n$. Par continuité de $x \mapsto \sqrt{x+2}$, $\ell = \sqrt{\ell + 2}$, donc $\ell^2 - \ell - 2 = (\ell - 2)(\ell + 1) = 0$, et on écarte $-1$.
$(x_n)$ converge vers $2$.
Exercice 5 : Soit $y_0 = 1$ et $y_{n+1} = \frac{y_n}{y_n + 1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
a) Justifie que $y_n > 0$, puis montre que $z_n = \frac{1}{y_n}$ définit une suite arithmétique.
b) Déduis-en $y_n$ en fonction de $n$, puis sa limite.
c) La série $\sum y_n$ converge-t-elle ?
Correction :
On passe par une suite auxiliaire plus simple.
a) $y_0 > 0$, et si $y_n > 0$, alors $y_{n+1} > 0$ comme quotient de deux nombres strictement positifs. Puis $z_{n+1} = \frac{y_n + 1}{y_n} = 1 + \frac{1}{y_n} = z_n + 1$ : raison $1$.
b) $z_0 = 1$, donc $z_n = n + 1$ et $y_n = \frac{1}{n+1}$, qui tend vers $0$.
c) $\sum_{n \ge 0} \frac{1}{n+1}$ est la série harmonique.
$y_n \to 0$, et pourtant $\sum y_n$ diverge. C'est le piège du rappel.
Exercice 6 : Soit $a_n = \frac{3^n - 1}{3^n + 1}$ pour $n \in \mathbb{N}$.
a) Vérifie que $a_n = 1 - \frac{2}{3^n + 1}$, puis déduis-en le sens de variation et la limite de $(a_n)$.
b) Montre que la série $\sum (1 - a_n)$ converge.
Correction :
On isole ce qui varie, puis on compare à une série géométrique.
a) $1 - \frac{2}{3^n + 1} = \frac{3^n + 1 - 2}{3^n + 1} = a_n$. Quand $n$ augmente, $3^n + 1$ augmente strictement, donc $\frac{2}{3^n + 1}$ diminue et $a_n$ augmente strictement. Comme $3^n \to +\infty$, $\frac{2}{3^n + 1} \to 0$.
b) $0 < 1 - a_n = \frac{2}{3^n + 1} \le 2\left(\frac{1}{3}\right)^n$, terme d'une série géométrique convergente car $\frac{1}{3} < 1$. On conclut par comparaison.
$(a_n)$ est strictement croissante, de limite $1$, et $\sum (1 - a_n)$ converge. La comparaison exige des termes positifs : vérifie-le toujours.
Exercice 7 : Soit $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ pour $n \ge 1$.
a) Montre que $(u_n)$ est croissante.
b) Montre que $\frac{1}{k^2} \le \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ pour tout $k \ge 2$.
c) Déduis-en que $u_n < 2$ pour tout $n$, puis la nature de la série $\sum \frac{1}{k^2}$.
Correction :
On majore par une somme télescopique, puis on applique la limite monotone.
a) $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)^2} > 0$.
b) $\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} = \frac{1}{k(k-1)}$ et $0 < k(k-1) \le k^2$, donc $\frac{1}{k^2} \le \frac{1}{k(k-1)}$.
c) $u_1 = 1$ et, pour $n \ge 2$, $u_n \le 1 + \sum_{k=2}^{n} \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) = 2 - \frac{1}{n} < 2$. Croissante et majorée, $(u_n)$ converge.
La série $\sum \frac{1}{k^2}$ converge, et sa somme vaut au plus $2$.
Exercices : niveau difficile
Les exercices 8 et 10 c) utilisent les suites de Cauchy, que le programme de MPSI et MP2I laisse de côté (« Le critère de Cauchy est hors programme », programme officiel publié en 2021) : fais-les si ton cours les traite.
Exercice 8 : Soit $(u_n)$ une suite réelle.
a) Montre que si $(u_n)$ converge vers $\ell$, elle est de Cauchy.
b) Montre que si $(u_n)$ est de Cauchy, elle est bornée.
Correction :
On revient aux définitions et on utilise l'inégalité triangulaire.
a) Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $N$ tel que $|u_n - \ell| < \frac{\varepsilon}{2}$ pour $n \ge N$. Pour $m, n \ge N$ : $|u_m - u_n| \le |u_m - \ell| + |\ell - u_n| < \varepsilon$.
b) Avec $\varepsilon = 1$, il existe $N$ tel que $|u_n - u_N| < 1$, donc $|u_n| < |u_N| + 1$, pour tout $n \ge N$. Les termes d'indice inférieur à $N$ sont en nombre fini, donc $|u_n| \le \max\left(|u_0|, \dots, |u_{N-1}|, |u_N| + 1\right)$ pour tout $n$.
Toute suite convergente est de Cauchy, et toute suite de Cauchy est bornée. Choisis $\frac{\varepsilon}{2}$ dès le départ : la somme finale fait alors $\varepsilon$.
Exercice 9 : Pour $n \ge 1$, soit $H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ et $S_n = H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$.
a) Montre que $S_n \ge \frac{1}{2}$, puis déduis-en que la série harmonique diverge.
b) Justifie que pour tout $k \ge 2$, $\int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x} \le \frac{1}{k} \le \int_{k-1}^{k} \frac{dx}{x}$.
c) Encadre $S_n$ grâce à b), puis détermine sa limite.
Correction :
On minore terme à terme, puis on compare la somme à une intégrale (méthode des rectangles).
a) $S_n$ compte $n$ termes, tous au moins égaux à $\frac{1}{2n}$, donc $S_n \ge \frac{1}{2}$. Si $(H_n)$ convergeait vers $\ell$, $(H_{2n})$ aussi, et $S_n$ tendrait vers $0$ : impossible. Croissante sans converger, $(H_n)$ tend vers $+\infty$.
b) $x \mapsto \frac{1}{x}$ est décroissante : $\frac{1}{x} \le \frac{1}{k}$ sur $[k\,;\,k+1]$ et $\frac{1}{x} \ge \frac{1}{k}$ sur $[k-1\,;\,k]$. On intègre sur ces intervalles de longueur $1$.
c) On somme pour $k$ de $n+1$ à $2n$ : $\int_{n+1}^{2n+1} \frac{dx}{x} \le S_n \le \int_{n}^{2n} \frac{dx}{x}$, soit $\ln\left(\frac{2n+1}{n+1}\right) \le S_n \le \ln 2$. La borne de gauche tend vers $\ln 2$, car $\frac{2n+1}{n+1} \to 2$ et $\ln$ est continue.
D'après le théorème des gendarmes, $S_n \to \ln 2 \approx 0{,}69$.
Exercice 10 : Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
a) Montre que $u_n \ge 1$ pour tout $n$ et que $(u_n)$ est strictement croissante.
b) Montre par l'absurde que $(u_n)$ ne converge pas, puis donne sa limite.
c) La suite $(u_n)$ est-elle de Cauchy ?
d) Exprime $\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{u_k}$ en fonction de $u_n$, puis donne la nature de la série $\sum \frac{1}{u_n}$.
Correction :
On étudie la monotonie, puis on raisonne par l'absurde.
a) $u_0 = 1$, et si $u_n \ge 1$, alors $u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n} > u_n \ge 1$. De plus, $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{u_n} > 0$.
b) Si $(u_n)$ convergeait vers $\ell$, on aurait $\ell \ge 1$ et, par continuité de $x \mapsto x + \frac{1}{x}$ en $\ell$, $\ell = \ell + \frac{1}{\ell}$ : impossible. Croissante sans converger, la suite n'est pas majorée et tend vers $+\infty$.
c) Non : une suite de Cauchy est bornée (exercice 8), et $(u_n)$ ne l'est pas.
d) Comme $\frac{1}{u_k} = u_{k+1} - u_k$, la somme est télescopique : $\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{u_k} = u_n - 1$, qui tend vers $+\infty$.
$(u_n)$ tend vers $+\infty$ sans être de Cauchy, et $\sum \frac{1}{u_n}$ diverge alors que $\frac{1}{u_n} \to 0$.
Bilan et conseils
Devant une série, regarde d'abord le terme général : s'il ne tend pas vers $0$, la série diverge ; s'il tend vers $0$, rien n'est joué. Pour des termes positifs, compare à une série géométrique (exercice 6) ou majore par une somme télescopique (exercice 7). Et une suite non bornée n'est jamais de Cauchy (exercices 8 et 10).
Ce qu'il faut retenir : une série, c'est la suite de ses sommes partielles. Pour une suite récurrente, la convergence se prouve avant d'écrire $\ell = f(\ell)$.
Sources
Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I, ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021 : parties « Nombres réels et suites numériques » et « Procédés sommatoires discrets ».