Niveau : supérieur, du facile au difficile. Durée estimée : 80 min. 10 exercices corrigés.
Rappel des notions clés
Pour calculer une transformée de Laplace, tu ne repasses presque jamais par l'intégrale : tu découpes la fonction en fonctions usuelles de l'encadré ci-dessous, puis tu appliques les règles. Par exemple, $\mathcal{L}\big(2e^{-t}+\cos(3t)\big)=\frac{2}{p+1}+\frac{p}{p^2+9}$. Pour inverser, tu fais le chemin à l'envers : tu décomposes $F(p)$ en éléments simples, c'est-à-dire en somme de fractions à dénominateur simple, puis tu lis les formules de droite à gauche. Un dénominateur du second degré sans racine réelle se met sous la forme $(p+a)^2+\omega^2$ : il donne un cosinus et un sinus amortis.
La transformée de $f$ est $F(p)=\int_0^{+\infty}f(t)\,e^{-pt}\,dt$, pour les réels $p$ où l'intégrale converge. Les fonctions sont causales, c'est-à-dire nulles pour $t<0$ : écrire $e^{at}$ sous-entend $e^{at}U(t)$, où $U$ est l'échelon unité ($U(t)=0$ si $t<0$, $U(t)=1$ si $t\geqslant 0$). En France, la variable se note souvent $p$ ; les ouvrages anglophones, comme la bibliothèque de fonctions du NIST, l'appellent $s$. Dans une équation différentielle, la règle de dérivation fait disparaître les dérivées : il reste une équation en $Y(p)$, conditions initiales comprises.
Formules à retenir :
- $\mathcal{L}(U)=\frac{1}{p}$ et $\mathcal{L}(t)=\frac{1}{p^2}$, pour $p>0$.
- $\mathcal{L}(e^{at})=\frac{1}{p-a}$, pour $p>a$.
- $\mathcal{L}\big(\cos(\omega t)\big)=\frac{p}{p^2+\omega^2}$ et $\mathcal{L}\big(\sin(\omega t)\big)=\frac{\omega}{p^2+\omega^2}$, pour $p>0$.
- Linéarité : $\mathcal{L}(\alpha f+\beta g)=\alpha F+\beta G$.
- Amortissement, pour tout réel $a$ : $\mathcal{L}\big(e^{-at}f(t)\big)=F(p+a)$.
- Retard, pour $\tau\geqslant 0$ : $\mathcal{L}\big(f(t-\tau)\,U(t-\tau)\big)=e^{-\tau p}F(p)$.
- Dérivation : $\mathcal{L}(f')=pF(p)-f(0^+)$ et $\mathcal{L}(f'')=p^2F(p)-p\,f(0^+)-f'(0^+)$, où $f(0^+)$ est la limite de $f$ en $0$ par la droite.
Piège classique : le retard ne s'applique que si toute la fonction est décalée, sous la forme $g(t-\tau)\,U(t-\tau)$. Pour $t\,U(t-2)$, écris d'abord $t=(t-2)+2$ : la réponse $\frac{e^{-2p}}{p^2}$ est fausse.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : À partir de la définition, calcule la transformée de Laplace de $f(t)=e^{at}$, où $a$ est un réel, et précise pour quels réels $p$ elle existe.
Correction :
Tu intègres de $0$ à $X$, puis tu fais tendre $X$ vers $+\infty$. Pour $p\neq a$ :
$$\int_0^X e^{-(p-a)t}\,dt=\frac{1-e^{-(p-a)X}}{p-a}.$$
Si $p>a$, $e^{-(p-a)X}$ tend vers $0$. Si $p\leqslant a$, la fonction intégrée reste supérieure ou égale à $1$ : l'intégrale diverge.
$\mathcal{L}(e^{at})=\frac{1}{p-a}$, pour $p>a$.
Exercice 2 : Soit $\omega>0$. Applique le résultat de l'exercice 1 à $e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$ pour calculer $\mathcal{L}\big(\cos(\omega t)\big)$ et $\mathcal{L}\big(\sin(\omega t)\big)$.
Correction :
Le calcul de l'exercice 1 reste valable pour $a=i\omega$ dès que $p>0$, car $\big|e^{-(p-i\omega)t}\big|=e^{-pt}$ tend vers $0$. Tu multiplies ensuite par la quantité conjuguée :
$$\mathcal{L}(e^{i\omega t})=\frac{1}{p-i\omega}=\frac{p+i\omega}{p^2+\omega^2}.$$
Par linéarité, c'est aussi $\mathcal{L}\big(\cos(\omega t)\big)+i\,\mathcal{L}\big(\sin(\omega t)\big)$, somme de deux transformées réelles : tu identifies partie réelle et partie imaginaire.
$\mathcal{L}\big(\cos(\omega t)\big)=\frac{p}{p^2+\omega^2}$ et $\mathcal{L}\big(\sin(\omega t)\big)=\frac{\omega}{p^2+\omega^2}$, pour $p>0$.
Si tu passes par $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$, garde le $i$ du dénominateur : sans lui, tu trouves un résultat imaginaire.
Exercice 3 : Calcule la transformée de Laplace de $f(t)=3e^{2t}-5\sin(4t)$ et précise pour quels réels $p$ elle existe.
Correction :
La linéarité permet de transformer chaque terme séparément : $\mathcal{L}(e^{2t})=\frac{1}{p-2}$ pour $p>2$, et $\mathcal{L}\big(\sin(4t)\big)=\frac{4}{p^2+16}$ pour $p>0$. Les deux conditions doivent tenir ensemble, donc $p>2$.
$F(p)=\frac{3}{p-2}-\frac{20}{p^2+16}$, pour $p>2$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Calcule la transformée de Laplace de $f(t)=e^{-3t}\cos(t)$ et précise pour quels réels $p$ elle existe.
Correction :
C'est l'amortissement avec $a=3$ : dans $\mathcal{L}\big(\cos(t)\big)=\frac{p}{p^2+1}$, tu remplaces chaque $p$ par $p+3$, et la condition $p>0$ devient $p+3>0$. Tu obtiens $\frac{p+3}{(p+3)^2+1}$, avec $(p+3)^2+1=p^2+6p+10$.
$F(p)=\frac{p+3}{p^2+6p+10}$, pour $p>-3$.
Le facteur $e^{-3t}$ mène à $p+3$, pas à $p-3$.
Exercice 5 : Trouve la fonction causale $f$ dont la transformée de Laplace est $F(p)=\frac{1}{p^2-4}$.
Correction :
Le dénominateur $(p-2)(p+2)$ a deux racines réelles : tu décomposes en éléments simples, $F(p)=\frac{A}{p-2}+\frac{B}{p+2}$.
Multiplie par $p-2$ et pose $p=2$ : $A=\frac{1}{4}$. Multiplie par $p+2$ et pose $p=-2$ : $B=-\frac{1}{4}$. Chaque fraction s'inverse grâce à $\mathcal{L}(e^{at})=\frac{1}{p-a}$.
$f(t)=\frac{1}{4}\big(e^{2t}-e^{-2t}\big)=\frac{1}{2}\operatorname{sh}(2t)$, pour $t\geqslant 0$ ($\operatorname{sh}$ est le sinus hyperbolique).
Exercice 6 : Trouve la fonction causale $f$ dont la transformée de Laplace est $F(p)=\frac{2p+3}{p^2+2p+5}$.
Correction :
Le discriminant du dénominateur vaut $4-20=-16$ : pas de racine réelle, donc tu passes à la forme canonique $p^2+2p+5=(p+1)^2+4$. Tu écris ensuite le numérateur avec $p+1$ : $2p+3=2(p+1)+1$.
$$F(p)=2\cdot\frac{p+1}{(p+1)^2+2^2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{(p+1)^2+2^2}.$$
Par amortissement avec $a=1$, tu reconnais les transformées de $e^{-t}\cos(2t)$ et de $e^{-t}\sin(2t)$.
$f(t)=e^{-t}\big(2\cos(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\big)$, pour $t\geqslant 0$.
Laisser $2p+3$ tel quel empêche de reconnaître les formules : le numérateur doit faire apparaître $p+1$, comme le dénominateur.
Exercice 7 : Un condensateur de capacité $C=500\,\mu\text{F}$, déchargé au départ, se charge à travers une résistance $R=1\,\text{k}\Omega$ sous une tension continue $E=6\,\text{V}$ branchée à l'instant $t=0$. Pour $t\geqslant 0$ ($t$ en secondes), la tension $v$ aux bornes du condensateur vérifie $RC\,v'(t)+v(t)=E$, avec $v(0)=0$. Détermine $v(t)$ à l'aide de la transformée de Laplace, puis la tension au bout de $1\,\text{s}$.
Correction :
Ici $RC=10^3\times 500\times 10^{-6}=0{,}5\,\text{s}$. Tu transformes l'équation (la tension $E$, constante pour $t\geqslant 0$, devient $\frac{6}{p}$), puis tu isoles $V(p)$ et tu décomposes :
$$0{,}5\,pV(p)+V(p)=\frac{6}{p}\quad\text{donc}\quad V(p)=\frac{12}{p(p+2)}=\frac{6}{p}-\frac{6}{p+2}.$$
$v(t)=6\big(1-e^{-2t}\big)\,\text{V}$, et $v(1)=6\big(1-e^{-2}\big)\approx 5{,}19\,\text{V}$.
Au bout de $1\,\text{s}$, soit deux fois $RC$, le condensateur a atteint environ $86\,\%$ de $E$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Le signal $f$ vaut $t$ pour $0\leqslant t<2$ et $0$ pour $t\geqslant 2$ : c'est une rampe coupée net à $t=2$. Écris $f$ à l'aide de l'échelon unité $U$, puis calcule sa transformée de Laplace.
Correction :
Tu écris $f(t)=t\,U(t)-t\,U(t-2)$, puis tu mets le terme retardé sous la forme $g(t-2)\,U(t-2)$ avant d'appliquer le retard :
$$t\,U(t-2)=(t-2)\,U(t-2)+2\,U(t-2).$$
Le retard donne $\frac{e^{-2p}}{p^2}$ pour le premier terme et $\frac{2e^{-2p}}{p}$ pour le second.
$F(p)=\frac{1}{p^2}-e^{-2p}\Big(\frac{1}{p^2}+\frac{2}{p}\Big)$.
Le terme $\frac{2e^{-2p}}{p}$ traduit la chute de hauteur $2$ en $t=2$ : c'est lui qui manque si tu écris directement $\frac{e^{-2p}}{p^2}$. Une intégration par parties de $\int_0^2 t\,e^{-pt}\,dt$ redonne le même résultat.
Exercice 9 : Résous l'équation $y''(t)-y(t)=e^{t}$ pour $t\geqslant 0$, avec $y(0)=0$ et $y'(0)=1$, à l'aide de la transformée de Laplace.
Correction :
Tu transformes l'équation avec la règle de dérivation, tu isoles $Y(p)$, puis tu décomposes :
$$p^2Y(p)-1-Y(p)=\frac{1}{p-1}\quad\text{donc}\quad(p^2-1)\,Y(p)=\frac{p}{p-1}\quad\text{et}\quad Y(p)=\frac{p}{(p-1)^2(p+1)}.$$
Tu cherches $Y(p)=\frac{A}{p-1}+\frac{B}{(p-1)^2}+\frac{C}{p+1}$. Multiplie par $(p-1)^2$ et pose $p=1$ : $B=\frac{1}{2}$. Multiplie par $p+1$ et pose $p=-1$ : $C=-\frac{1}{4}$. La limite de $p\,Y(p)$ en $+\infty$ donne $0=A+C$, donc $A=\frac{1}{4}$. Enfin, $\frac{1}{(p-1)^2}$ est la transformée de $t\,e^{t}$ (amortissement appliqué à $\mathcal{L}(t)=\frac{1}{p^2}$).
$y(t)=\frac{1}{4}e^{t}+\frac{1}{2}t\,e^{t}-\frac{1}{4}e^{-t}$, pour $t\geqslant 0$.
Contrôle : $y(0)=0$, $y'(0)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1$, et $y''(t)=\frac{5}{4}e^{t}+\frac{1}{2}t\,e^{t}-\frac{1}{4}e^{-t}$ donne bien $y''-y=e^{t}$.
Exercice 10 : Résous, à l'aide de la transformée de Laplace, le système $x'(t)=y(t)$ et $y'(t)=-x(t)$ pour $t\geqslant 0$, avec $x(0)=1$ et $y(0)=1$.
Correction :
Tu transformes les deux équations, tu résous le système obtenu en $X(p)$ et $Y(p)$, puis tu inverses. La transformation donne $pX(p)-1=Y(p)$ et $pY(p)-1=-X(p)$.
En reportant la première dans la seconde : $p\big(pX(p)-1\big)-1=-X(p)$, soit $(p^2+1)X(p)=p+1$. Puis $Y(p)=pX(p)-1=\frac{p-1}{p^2+1}$.
$$X(p)=\frac{p}{p^2+1}+\frac{1}{p^2+1},\qquad Y(p)=\frac{p}{p^2+1}-\frac{1}{p^2+1}.$$
$x(t)=\cos(t)+\sin(t)$ et $y(t)=\cos(t)-\sin(t)$, pour $t\geqslant 0$.
Contrôle : $x'(t)=-\sin(t)+\cos(t)=y(t)$ et $y'(t)=-\sin(t)-\cos(t)=-x(t)$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : pour calculer, découpe la fonction en fonctions usuelles et applique linéarité, amortissement ou retard. Pour inverser, décompose en éléments simples et mets chaque dénominateur sans racine réelle sous la forme $(p+a)^2+\omega^2$. Dans une équation différentielle, les conditions initiales entrent dès la transformation de $y'$ et de $y''$.
Ne confonds pas les deux décalages : un facteur $e^{-at}$ devant $f(t)$ remplace $p$ par $p+a$ (amortissement), alors qu'un retard de $\tau$ sur le temps multiplie la transformée par $e^{-\tau p}$.
Termine toujours par un contrôle : ta solution doit redonner les conditions initiales et vérifier l'équation. Deux lignes suffisent, et une erreur de signe dans la décomposition se repère avant de rendre ta copie.
Sources
Définition et règles d'amortissement, de retard et de dérivation : NIST, Digital Library of Mathematical Functions, § 1.14(iii) « Laplace Transform ».