Niveau : supérieur, du facile au difficile. Durée estimée : 2 h 45 min. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Pour échanger limite et intégrale, tu vérifies deux hypothèses : $f_n \to f$ presque partout (p.p., c'est-à-dire sauf sur un ensemble de mesure nulle, comme un point), et $|f_n| \le g$ pour tout $n$, avec $g$ intégrable et indépendante de $n$. Le théorème de convergence dominée (TCD) donne alors $\int f_n \to \int f$. Exemple : $\frac{e^{-x}}{1+x/n}$ tend vers $e^{-x}$ et reste sous $e^{-x}$, intégrable sur $[0\,;\,+\infty[$, donc $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1+x/n}\,dx \to \int_0^{+\infty} e^{-x}\,dx = 1$.
La fonction $g$ s'appelle la fonction dominante. Tout le travail consiste à la trouver, ou à prouver qu'elle n'existe pas. Le meilleur candidat est $\sup_n |f_n(x)|$, calculé à $x$ fixé : c'est la plus petite fonction dominante possible, donc s'il n'est pas intégrable, aucune ne l'est.
Formules à retenir :
- TCD : si $f_n \to f$ p.p. et $|f_n| \le g$ p.p. pour tout $n$, avec $\int g\,d\mu < +\infty$, alors $f$ est intégrable et $\int f_n\,d\mu \to \int f\,d\mu$ (théorème 2.2.1 du cours de J.-F. Le Gall).
- Si $|f_n| \le g$ et $f_n \to f$ p.p., alors $|f| \le g$ : une limite non intégrable interdit toute domination.
- Si $\int f_n$ ne tend pas vers $\int f$, aucune fonction dominante n'existe.
- Une borne qui dépend de $n$ passe dans la fonction : $\int_0^n h_n = \int_0^{+\infty} h_n\,\mathbf{1}_{[0\,;\,n]}$.
Piège classique : la convergence simple ne suffit pas, et un majorant qui contient $n$ ne domine rien. Exemple : la fonction $n\,\mathbf{1}_{]0\,;\,1/n]}$, égale à $n$ sur $]0\,;\,1/n]$ et nulle ailleurs, tend vers 0 en tout point, mais son intégrale sur $[0\,;\,1]$ vaut 1 pour tout $n$.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Calcule $\lim\limits_{n\to+\infty} \int_0^1 \frac{dx}{1+x^n}$ en justifiant l'échange de la limite et de l'intégrale.
Correction :
Sur un intervalle borné, une constante peut servir de fonction dominante.
Pour $x \in [0\,;\,1[$, $x^n \to 0$ donc $\frac{1}{1+x^n} \to 1$ ; en $x = 1$, la valeur reste $\frac12$. La limite vaut donc 1 presque partout. De plus $0 \le \frac{1}{1+x^n} \le 1$, et la constante 1 est intégrable sur $[0\,;\,1]$.
Le TCD donne une limite égale à $\int_0^1 1\,dx = 1$.
Exercice 2 : Calcule $\lim\limits_{n\to+\infty} \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(nx)}{1+x^2}\,dx$ en justifiant.
Correction :
Sur $[0\,;\,+\infty[$, une constante n'est plus intégrable : il faut une fonction dominante qui décroît.
Pour $x > 0$, $\arctan(nx) \to \frac{\pi}{2}$, et tout est nul en $x = 0$ : l'intégrande tend vers $\frac{\pi/2}{1+x^2}$ presque partout. Comme $0 \le \arctan(nx) \le \frac{\pi}{2}$ pour $x \ge 0$, la fonction reste sous $\frac{\pi/2}{1+x^2}$, intégrable.
Le TCD donne $\frac{\pi}{2}\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{2}$, soit $\frac{\pi^2}{4}$.
Exercice 3 : Un laboratoire teste des composants dont la durée de vie $T$, en années, a pour densité $t \mapsto e^{-t}$ sur $[0\,;\,+\infty[$ (données fictives). L'essai s'arrête au bout de $n$ années : la durée observée est $\min(T, n)$, de moyenne $m_n = \int_0^{+\infty} \min(t, n)\,e^{-t}\,dt$. Montre avec le TCD que $m_n$ tend vers la durée de vie moyenne $\int_0^{+\infty} t\,e^{-t}\,dt$, puis calcule cette limite en années.
Correction :
Ici, la limite elle-même sert de fonction dominante.
Pour $t$ fixé, dès que $n \ge t$, on a $\min(t,n) = t$ : l'intégrande tend vers $t\,e^{-t}$ en tout point. Et $0 \le \min(t,n)\,e^{-t} \le t\,e^{-t}$, intégrable : par intégration par parties, $\int_0^{+\infty} t\,e^{-t}\,dt = \left[-t\,e^{-t}\right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-t}\,dt = 0 + 1$.
Le TCD donne $m_n \to 1$ an. Contrôle : le calcul direct donne $m_n = 1 - e^{-n}$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soit $f_n(x) = \frac{nx}{1+nx^2}$ sur $[0\,;\,1]$. Calcule $\int_0^1 f_n(x)\,dx$ et sa limite, puis explique pourquoi aucune fonction dominante n'existe.
Correction :
On calcule l'intégrale, puis on regarde la limite simple.
Avec $u = 1+nx^2$ et $du = 2nx\,dx$ : $\int_0^1 f_n(x)\,dx = \frac12\int_1^{1+n}\frac{du}{u} = \frac12\ln(1+n)$, qui tend vers $+\infty$.
Pour $x > 0$, $f_n(x) = \frac{x}{1/n + x^2} \to \frac{1}{x}$. Une domination $|f_n| \le g$ donnerait $\frac1x \le g(x)$ sur $]0\,;\,1]$, donc $g$ non intégrable : impossible. Résultat : $\int_0^1 f_n = \frac12\ln(1+n) \to +\infty$, et le TCD ne s'applique pas.
Erreur à éviter : la majoration $f_n(x) \le \frac1x$ ne contient pas $n$, mais $\frac1x$ n'est pas intégrable sur $]0\,;\,1]$.
Exercice 5 : Soit $f_n(x) = \frac{x^n}{n!}\,e^{-x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$. On rappelle que $\int_0^{+\infty} x^n e^{-x}\,dx = n!$. Montre que $f_n \to 0$ en tout point, calcule $\int_0^{+\infty} f_n(x)\,dx$, puis dis si le TCD s'applique.
Correction :
On compare la limite des intégrales à l'intégrale de la limite.
Pour $x$ fixé, $\frac{x^n}{n!}$ est le terme général de la série de $e^x$, qui converge : il tend vers 0, donc $f_n(x) \to 0$. Par ailleurs $\int_0^{+\infty} f_n = \frac{n!}{n!} = 1$ pour tout $n$.
Donc $\int f_n \to 1$ alors que $\int \lim f_n = 0$ : le TCD ne s'applique pas. Une fonction dominante donnerait 0, il n'en existe donc aucune. Le maximum de $f_n$ est atteint en $x = n$ : la masse part à l'infini.
Exercice 6 : On pose $I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt{n}\,e^{-nx^2}}{1+x^2}\,dx$ et on rappelle que $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2}\,dy = \sqrt{\pi}$. Avec le changement de variable $y = \sqrt{n}\,x$, calcule $\lim\limits_{n\to+\infty} I_n$.
Correction :
Quand la masse se concentre en un point, on change de variable avant d'appliquer le TCD.
Avec $x = y/\sqrt{n}$ et $dx = dy/\sqrt{n}$ : $I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-y^2}}{1+y^2/n}\,dy$. L'intégrande tend vers $e^{-y^2}$ et ne dépasse jamais $e^{-y^2}$, intégrable.
Le TCD donne $\lim I_n = \sqrt{\pi}$. Sans ce changement de variable, l'intégrande tend vers 0 presque partout alors que $I_n \to \sqrt{\pi}$ : aucune fonction dominante n'existe en $x$.
Exercice 7 : Calcule $\lim\limits_{n\to+\infty} \int_0^{+\infty} \frac{n\sin(x/n)}{x(1+x^2)}\,dx$, en utilisant $|\sin u| \le |u|$ pour tout réel $u$.
Correction :
La bonne fonction dominante vient de $|\sin u| \le |u|$, pas de $|\sin u| \le 1$.
Pour $x > 0$, $n\sin(x/n) = x \cdot \frac{\sin(x/n)}{x/n} \to x$, donc l'intégrande tend vers $\frac{1}{1+x^2}$. Et $|n\sin(x/n)| \le n \cdot \frac{x}{n} = x$ : l'intégrande reste sous $\frac{1}{1+x^2}$, intégrable.
Le TCD donne $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$, soit $\frac{\pi}{2}$. Erreur à éviter : avec $|\sin u| \le 1$, on obtient $\frac{n}{x(1+x^2)}$, qui contient $n$ et n'est pas intégrable en 0.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Calcule $\lim\limits_{n\to+\infty} \int_0^n \left(1-\frac{x}{n}\right)^n e^{x/2}\,dx$. Tu pourras utiliser $\ln(1-t) \le -t$ pour $t \in [0\,;\,1[$.
Correction :
La borne $n$ passe dans la fonction grâce à une indicatrice : $f_n(x) = \left(1-\frac{x}{n}\right)^n e^{x/2}\,\mathbf{1}_{[0\,;\,n]}(x)$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
Pour $x$ fixé et $n > x$, $\left(1-\frac{x}{n}\right)^n = e^{n\ln(1-x/n)} \to e^{-x}$, donc $f_n(x) \to e^{-x/2}$. Pour $0 \le x < n$, $n\ln(1-x/n) \le -x$, d'où $0 \le f_n(x) \le e^{-x}e^{x/2} = e^{-x/2}$ ; à partir de $x = n$, $f_n$ est nulle. La fonction $e^{-x/2}$ est intégrable.
Le TCD donne $\int_0^{+\infty} e^{-x/2}\,dx$, soit $2$.
Exercice 9 : Soit $a > 0$ un réel et $f_n(x) = n^a\,x\,e^{-nx}$ sur $[0\,;\,+\infty[$. Calcule $\int_0^{+\infty} f_n(x)\,dx$. Pour quelles valeurs de $a$ existe-t-il une fonction dominante intégrable ? Justifie dans les deux sens.
Correction :
On calcule l'intégrale, puis on majore $f_n(x)$ par son maximum en $n$.
Avec $u = nx$ : $\int_0^{+\infty} x\,e^{-nx}\,dx = \frac{1}{n^2}$, donc $\int_0^{+\infty} f_n = n^{a-2}$. Par croissances comparées, $f_n(x) \to 0$ pour tout $x$.
Si $a \ge 2$, $\int f_n$ vaut 1 ou tend vers $+\infty$, jamais vers $0 = \int \lim f_n$ : aucune domination.
Si $a < 2$ : pour $x > 0$, $\varphi(t) = t^a e^{-tx}$ a pour dérivée $t^{a-1}e^{-tx}(a - tx)$, donc son maximum, atteint en $t = a/x$, vaut $\left(\frac{a}{ex}\right)^a$. Ainsi $f_n(x) = x\,\varphi(n) \le \left(\frac{a}{e}\right)^a x^{1-a}$, intégrable sur $]0\,;\,2]$ car $1 - a > -1$. Pour $x \ge 2$, on a $a/x < 1$, donc $\varphi$ décroît sur $[1\,;\,+\infty[$ et $f_n(x) \le f_1(x) = x\,e^{-x}$, intégrable. La fonction égale à $\left(\frac{a}{e}\right)^a x^{1-a}$ sur $]0\,;\,2]$ et à $x\,e^{-x}$ au-delà domine donc tous les $f_n$.
Résultat : $\int_0^{+\infty} f_n = n^{a-2}$, et une fonction dominante existe si et seulement si $0 < a < 2$.
Exercice 10 : Pour $x \in [0\,;\,1]$, on pose $S_N(x) = \sum_{k=0}^{N} (-x)^k$. En appliquant le TCD à la suite $(S_N)$, montre que $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} = \ln 2$.
Correction :
On écrit chaque somme partielle de la série comme une intégrale, puis on passe à la limite.
Par linéarité, $\int_0^1 S_N(x)\,dx = \sum_{k=0}^{N} (-1)^k\int_0^1 x^k\,dx = \sum_{k=0}^{N} \frac{(-1)^k}{k+1}$. Comme somme géométrique, $S_N(x) = \frac{1-(-x)^{N+1}}{1+x}$ tend vers $\frac{1}{1+x}$ pour $x \in [0\,;\,1[$, donc presque partout. Et $|S_N(x)| \le \frac{1+x^{N+1}}{1+x} \le 2$, constante intégrable sur $[0\,;\,1]$.
Le TCD donne $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} = \int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \big[\ln(1+x)\big]_0^1$, soit $\ln 2$. Le théorème de convergence monotone ne marchait pas ici : $S_N(x)$ n'est pas croissante en $N$.
Bilan et conseils
Dans une copie, écris les deux hypothèses avant de conclure : la limite presque partout, puis la fonction dominante $g$ avec la preuve que $\int g < +\infty$. Relis ensuite ton $g$ : il ne doit pas contenir $n$.
Ce qu'il faut retenir : la fonction dominante se trouve dans une inégalité classique ($|\sin u| \le |u|$, $\ln(1-t) \le -t$) ou dans le maximum de $f_n(x)$ en $n$. Quand la masse se concentre en un point, change de variable ; quand $\int f_n$ ne tend pas vers $\int \lim f_n$, aucune domination n'existe.
Sources
Jean-François Le Gall, Intégration, Probabilités et Processus Aléatoires, polycopié du département de mathématiques de l'École normale supérieure de Paris, septembre 2006, théorème 2.2.1 (convergence dominée), p. 25.