Maîtriser la Continuité Uniforme et la Complétude : Exercices Corrigés

Correction :

Pour montrer que $f(x) = x^2$ est uniformément continue sur $[0, 1]$, nous devons montrer que pour tout $\epsilon > 0$, il existe un $\delta > 0$ tel que pour tous $x, y \in [0, 1]$, si $|x - y| < \delta$, alors $|f(x) - f(y)| < \epsilon$.

On a $|f(x) - f(y)| = |x^2 - y^2| = |(x - y)(x + y)| = |x - y| |x + y|$.

Puisque $x, y \in [0, 1]$, on a $0 \le x \le 1$ et $0 \le y \le 1$, donc $0 \le x + y \le 2$. Ainsi, $|x + y| \le 2$.

Donc, $|f(x) - f(y)| \le |x - y| \cdot 2$.

Si nous choisissons $\delta = \frac{\epsilon}{2}$, alors pour $|x - y| < \delta$, nous avons $|f(x) - f(y)| < \delta \cdot 2 = \frac{\epsilon}{2} \cdot 2 = \epsilon$.

Ainsi, $f$ est uniformément continue sur $[0, 1]$.

Barème indicatif : 4 points

Correction :

Pour montrer que $g(x) = x^2$ n'est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$, nous devons montrer qu'il existe un $\epsilon > 0$ tel que pour tout $\delta > 0$, il existe des $x, y \in \mathbb{R}$ avec $|x - y| < \delta$ mais $|g(x) - g(y)| \ge \epsilon$.

Choisissons $\epsilon = 1$.

Soit $\delta > 0$ quelconque. Nous devons trouver $x, y$ tels que $|x - y| < \delta$ et $|x^2 - y^2| \ge 1$.

Considérons la suite $y_n = n$ et $x_n = n + \frac{1}{n}$ pour $n \in \mathbb{N}$ grand. Alors $|x_n - y_n| = \frac{1}{n}$. Pour $n$ suffisamment grand, $\frac{1}{n} < \delta$.

Calculons $|g(x_n) - g(y_n)| = |(n + \frac{1}{n})^2 - n^2| = |n^2 + 2n\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} - n^2| = |2 + \frac{1}{n^2}| = 2 + \frac{1}{n^2}$.

Pour $n$ suffisamment grand, $2 + \frac{1}{n^2} \ge 2$. Donc $|g(x_n) - g(y_n)| \ge 1 = \epsilon$.

Comme nous avons trouvé un $\epsilon > 0$ et pour tout $\delta > 0$, des points $x, y$ tels que $|x - y| < \delta$ mais $|g(x) - g(y)| \ge \epsilon$, $g$ n'est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$.

Barème indicatif : 4 points

Correction :

Soit $f : E \to \mathbb{R}$ une fonction continue sur un espace métrique compact $(E, d)$. Nous voulons montrer que $f$ est uniformément continue.

Pour tout $x \in E$, considérons la fonction $g_x : E \to \mathbb{R}$ définie par $g_x(y) = d(x, y)$. Comme $d$ est continue, $g_x$ est continue.

Pour un $\epsilon > 0$ donné, et pour chaque $x \in E$, il existe $\delta_x > 0$ tel que si $y \in E$ et $d(x, y) < \delta_x$, alors $|f(x) - f(y)| < \epsilon$.

Considérons l'ensemble des boules ouvertes $B(x, \delta_x/2)$ pour tout $x \in E$. Ces boules forment un recouvrement ouvert de $E$. Comme $E$ est compact, il existe un sous-recouvrement fini, disons $B(x_1, \delta_{x_1}/2), \dots, B(x_n, \delta_{x_n}/2)$.

Posons $\delta = \min(\delta_{x_1}/2, \dots, \delta_{x_n}/2)$.

Soient maintenant $u, v \in E$ tels que $d(u, v) < \delta$. Il existe un $i \in \{1, \dots, n\}$ tel que $u \in B(x_i, \delta_{x_i}/2)$. Cela signifie que $d(u, x_i) < \delta_{x_i}/2$.

Alors, $d(v, x_i) \le d(v, u) + d(u, x_i) < \delta + \delta_{x_i}/2 < \delta_{x_i}/2 + \delta_{x_i}/2 = \delta_{x_i}$.

Puisque $d(u, x_i) < \delta_{x_i}/2 < \delta_{x_i}$ et $d(v, x_i) < \delta_{x_i}$, par la définition de $\delta_{x_i}$, nous avons $|f(u) - f(x_i)| < \epsilon$ et $|f(v) - f(x_i)| < \epsilon$.

Par l'inégalité triangulaire, $|f(u) - f(v)| \le |f(u) - f(x_i)| + |f(x_i) - f(v)| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon$.

Si on choisit $\epsilon$ dans la définition initiale de $\delta_x$ comme $\epsilon/2$, alors on obtiendrait $|f(u)-f(v)| < \epsilon$. L'argument utilisant le recouvrement ouvert est une preuve standard pour la continuité uniforme sur un compact.

Plus rigoureusement, on utilise la compacité pour montrer que pour tout $\epsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que si $d(x,y) < \delta$, alors $|f(x)-f(y)| < \epsilon$. On peut montrer que pour tout $x \in E$, il existe $\delta_x > 0$ tel que pour tout $y \in B(x, \delta_x)$, on a $|f(x)-f(y)| < \epsilon$. Le recouvrement ouvert $\{B(x, \delta_x/2)\}_{x \in E}$ admet un sous-recouvrement fini. Soit $\delta = \min \{ \delta_{x_i}/2 \}$. Si $u, v$ sont tels que $d(u,v) < \delta$, on peut montrer qu'ils sont dans une même boule $B(x_i, \delta_{x_i})$, ce qui implique $|f(u)-f(v)| < 2\epsilon$. En ajustant le choix initial de $\delta_x$ (par exemple, en prenant $\delta_x$ tel que pour $y \in B(x, \delta_x)$, $|f(x)-f(y)| < \epsilon/2$), on obtient $|f(u)-f(v)| < \epsilon$.

Barème indicatif : 5 points

Correction :

Soit $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite convergente dans un espace métrique $(E, d)$. Supposons que $x_n \to L$ quand $n \to \infty$. Cela signifie que pour tout $\epsilon' > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n \ge N$, on a $d(x_n, L) < \epsilon'$.

Nous voulons montrer que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy. Pour ce faire, prenons un $\epsilon > 0$ quelconque.

Comme $x_n \to L$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n \ge N$, on a $d(x_n, L) < \frac{\epsilon}{2}$.

Maintenant, considérons deux indices $n, m \ge N$. Nous avons alors $d(x_n, L) < \frac{\epsilon}{2}$ et $d(x_m, L) < \frac{\epsilon}{2}$.

Par l'inégalité triangulaire, nous avons :

$d(x_n, x_m) \le d(x_n, L) + d(L, x_m) = d(x_n, L) + d(x_m, L)$.

En substituant les inégalités :

$d(x_n, x_m) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$.

Donc, pour tout $\epsilon > 0$, il existe un $N$ tel que pour tous $n, m \ge N$, $d(x_n, x_m) < \epsilon$. Ceci est la définition d'une suite de Cauchy.

Barème indicatif : 4 points

Correction :

Considérons l'espace métrique $(E, d) = (\mathbb{Q}, |\cdot|)$, c'est-à-dire l'ensemble des nombres rationnels muni de la distance usuelle induite par la valeur absolue. Cet espace n'est pas complet.

Considérons la suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de nombres rationnels qui converge vers $\sqrt{2}$ dans $\mathbb{R}$. Par exemple, prenons la suite des décimales de $\sqrt{2}$ :

$x_1 = 1$

$x_2 = 1.4$

$x_3 = 1.41$

$x_4 = 1.414$

.

Cette suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de nombres rationnels.

Dans $\mathbb{R}$, cette suite converge vers $\sqrt{2}$. D'après l'exercice 4, $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donc une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$.

Comme la distance est la même sur $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ (pour les éléments dans $\mathbb{Q}$), $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est aussi une suite de Cauchy dans $(\mathbb{Q}, |\cdot|)$.

Cependant, $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel ($\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$). Donc, la suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ne converge pas dans $(\mathbb{Q}, |\cdot|)$.

Cet exemple montre qu'une suite de Cauchy dans un espace métrique non complet ne converge pas nécessairement dans cet espace.

Barème indicatif : 5 points

Correction :

Soit $(E, d)$ un espace métrique complet et $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy dans $E$. Par définition, un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy dans cet espace converge.

L'énoncé de l'exercice est la définition même de la complétude. Donc, par définition, si $(E, d)$ est complet et $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy dans $E$, alors $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge nécessairement dans $E$. Il n'y a pas de démonstration à faire ici, c'est une application directe de la définition.

Barème indicatif : 4 points

Correction :

L'espace $[0, 1]$ muni de la distance usuelle est un espace métrique complet.

La fonction $f: [0, 1] \to [0, 1]$ satisfait $|f(x) - f(y)| \le \frac{1}{2} |x - y|$ pour tous $x, y \in [0, 1]$. Le coefficient $\frac{1}{2}$ est strictement inférieur à 1. Cela signifie que $f$ est une contraction sur $[0, 1]$.

Nous allons utiliser le théorème du point fixe de Banach (ou théorème de contraction).

Existence :

Considérons une suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $x_0 \in [0, 1]$ et $x_{n+1} = f(x_n)$ pour tout $n \ge 0$.

Montrons que cette suite est de Cauchy.

Pour tout $n \ge 1$, $|x_{n+1} - x_n| = |f(x_n) - f(x_{n-1})| \le \frac{1}{2} |x_n - x_{n-1}|$.

En itérant, on obtient $|x_{n+1} - x_n| \le \left(\frac{1}{2}\right)^n |x_1 - x_0|$.

Soient $n, m \in \mathbb{N}$ avec $m > n \ge 0$. Alors :

$|x_m - x_n| \le |x_m - x_{m-1}| + |x_{m-1} - x_{m-2}| + \dots + |x_{n+1} - x_n|$

$|x_m - x_n| \le \left(\frac{1}{2}\right)^{m-1} |x_1 - x_0| + \left(\frac{1}{2}\right)^{m-2} |x_1 - x_0| + \dots + \left(\frac{1}{2}\right)^n |x_1 - x_0|$

$|x_m - x_n| \le |x_1 - x_0| \left[ \left(\frac{1}{2}\right)^{m-1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{m-2} + \dots + \left(\frac{1}{2}\right)^n \right]$

$|x_m - x_n| \le |x_1 - x_0| \left(\frac{1}{2}\right)^n \left[ 1 + \frac{1}{2} + \dots + \left(\frac{1}{2}\right)^{m-n-1} \right]$

La somme géométrique dans le crochet vaut $\frac{1 - (1/2)^{m-n}}{1 - 1/2} = 2(1 - (1/2)^{m-n}) < 2$.

Donc, $|x_m - x_n| \le |x_1 - x_0| \left(\frac{1}{2}\right)^n \cdot 2 = 2|x_1 - x_0| \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

Lorsque $n \to \infty$, $\left(\frac{1}{2}\right)^n \to 0$. Donc, pour tout $\epsilon > 0$, on peut trouver $N$ tel que pour $n \ge N$, $2|x_1 - x_0| \left(\frac{1}{2}\right)^n < \epsilon$.

Ainsi, $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy dans $[0, 1]$.

Puisque $[0, 1]$ est complet, il existe un unique $c \in [0, 1]$ tel que $x_n \to c$.

Montrons maintenant que $c$ est un point fixe de $f$, c'est-à-dire $f(c) = c$.

On a $x_{n+1} = f(x_n)$. Comme $f$ est uniformément continue (car c'est une contraction), on peut passer à la limite :

$f(c) = f(\lim_{n \to \infty} x_n) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = c$.

Donc, $c$ est un point fixe de $f$.

Unicité :

Supposons qu'il existe deux points fixes distincts, $c_1$ et $c_2$, tels que $f(c_1) = c_1$ et $f(c_2) = c_2$, avec $c_1 \ne c_2$.

Alors $|c_1 - c_2| = |f(c_1) - f(c_2)| \le \frac{1}{2} |c_1 - c_2|$.

Ceci implique $|c_1 - c_2| - \frac{1}{2} |c_1 - c_2| \le 0$, soit $\frac{1}{2} |c_1 - c_2| \le 0$.

Comme $|c_1 - c_2| > 0$ (car $c_1 \ne c_2$), cette inégalité est impossible.

Par conséquent, il ne peut y avoir qu'un seul point fixe.

Barème indicatif : 6 points

Correction :

Pour montrer que $(\mathbb{R}^2, d_2)$ est complet, nous devons montrer que toute suite de Cauchy $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans $\mathbb{R}^2$ converge dans $\mathbb{R}^2$.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}^2$, où $u_n = (x_n, y_n)$.

La condition de Cauchy s'écrit : pour tout $\epsilon > 0$, il existe $N$ tel que pour $n, m \ge N$, $d_2(u_n, u_m) < \epsilon$.

Cela signifie que $\sqrt{(x_n - x_m)^2 + (y_n - y_m)^2} < \epsilon$ pour $n, m \ge N$.

En élevant au carré, on obtient $(x_n - x_m)^2 + (y_n - y_m)^2 < \epsilon^2$ pour $n, m \ge N$.

Puisque les termes sont positifs, on a :

$(x_n - x_m)^2 \le (x_n - x_m)^2 + (y_n - y_m)^2 < \epsilon^2$, ce qui implique $|x_n - x_m| < \epsilon$.

De même, $(y_n - y_m)^2 \le (x_n - x_m)^2 + (y_n - y_m)^2 < \epsilon^2$, ce qui implique $|y_n - y_m| < \epsilon$.

Cela montre que la suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$ (muni de la distance usuelle), et que la suite $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$.

Comme $\mathbb{R}$ est complet, $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite $x \in \mathbb{R}$, et $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite $y \in \mathbb{R}$.

Nous devons maintenant montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $u = (x, y)$ dans $\mathbb{R}^2$.

On a $d_2(u_n, u) = \sqrt{(x_n - x)^2 + (y_n - y)^2}$.

Puisque $x_n \to x$ et $y_n \to y$, on a $(x_n - x)^2 \to 0$ et $(y_n - y)^2 \to 0$.

Par conséquent, $(x_n - x)^2 + (y_n - y)^2 \to 0$.

Donc, $\sqrt{(x_n - x)^2 + (y_n - y)^2} \to 0$, c'est-à-dire $d_2(u_n, u) \to 0$.

Ainsi, la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $u = (x, y)$ dans $\mathbb{R}^2$.

Cela prouve que $(\mathbb{R}^2, d_2)$ est complet.

Barème indicatif : 6 points

Correction :

Pour montrer que $(C([0, 1]), \| \cdot \|_\infty)$ est un espace de Banach, nous devons prouver que cet espace est complet. Nous allons utiliser la même stratégie que pour $\mathbb{R}^n$ : montrer qu'une suite de Cauchy dans $C([0, 1])$ converge vers une fonction dans $C([0, 1])$.

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy dans $C([0, 1])$ pour la norme $\| \cdot \|_\infty$. Cela signifie que pour tout $\epsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tous $n, m \ge N$, on a $\|f_n - f_m\|_\infty < \epsilon$.

La norme $\|f_n - f_m\|_\infty = \sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - f_m(x)|$. Donc, pour $n, m \ge N$, on a $|f_n(x) - f_m(x)| < \epsilon$ pour tout $x \in [0, 1]$.

Fixons un $x \in [0, 1]$. La suite de nombres réels $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$, car pour tout $n, m \ge N$, $|f_n(x) - f_m(x)| < \epsilon$.

Puisque $\mathbb{R}$ est complet, $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite que nous noterons $f(x)$. Cette limite dépend de $x$, donc on définit une fonction $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ par $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$.

Il reste à montrer que cette fonction $f$ est continue sur $[0, 1]$ et que $\|f_n - f\|_\infty \to 0$ quand $n \to \infty$.

Continuité de $f$ :

Soit $\epsilon > 0$. Il existe $N$ tel que pour $n \ge N$, $\|f_n - f\|_\infty < \epsilon/2$. En particulier, pour tout $x \in [0, 1]$, $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon/2$.

Prenons un $x_0 \in [0, 1]$. Comme $f_N$ est continue, il existe $\delta > 0$ tel que si $x \in [0, 1]$ et $|x - x_0| < \delta$, alors $|f_N(x) - f_N(x_0)| < \epsilon/2$.

Alors, pour $|x - x_0| < \delta$, on a :

$|f(x) - f(x_0)| \le |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x) - f_N(x_0)| + |f_N(x_0) - f(x_0)|$.

En utilisant les inégalités établies :

$|f(x) - f(x_0)| < \epsilon/2 + \epsilon/2 + \epsilon/2 = 3\epsilon/2$.

Si nous avions pris $N$ tel que $\|f_n - f\|_\infty < \epsilon/3$ et $|f_N(x) - f_N(x_0)| < \epsilon/3$, alors $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$. Cela montre que $f$ est continue.

Convergence dans $C([0, 1])$ :

Pour $n \ge N$, nous avons $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon/2$ pour tout $x \in [0, 1]$.

Donc, $\|f_n - f\|_\infty = \sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - f(x)| \le \epsilon/2 < \epsilon$.

Cela montre que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $f$ dans l'espace $C([0, 1])$ pour la norme $\| \cdot \|_\infty$.

Puisque toute suite de Cauchy dans $C([0, 1])$ pour la norme de la convergence uniforme converge dans $C([0, 1])$, l'espace est complet.

Barème indicatif : 7 points

Correction :

Pour montrer que $(\ell^1(\mathbb{N}), \| \cdot \|_1)$ est un espace de Banach, nous devons montrer qu'il est complet. Utilisons la stratégie habituelle : toute suite de Cauchy dans $\ell^1(\mathbb{N})$ converge dans $\ell^1(\mathbb{N})$.

Soit $(x^{(k)})_{k \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy dans $\ell^1(\mathbb{N})$, où $x^{(k)} = (x_1^{(k)}, x_2^{(k)}, \dots)$. Cela signifie que pour tout $\epsilon > 0$, il existe $K$ tel que pour tous $k, l_k \ge K$, on a $\|x^{(k)} - x^{(l)}\|_1 < \epsilon$.

La norme $\|x^{(k)} - x^{(l)}\|_1 = \sum_{n=1}^{\infty} |x_n^{(k)} - x_n^{(l)}|$. Donc, pour $k, l \ge K$, $\sum_{n=1}^{\infty} |x_n^{(k)} - x_n^{(l)}| < \epsilon$.

Pour chaque entier $n \ge 1$, la suite de nombres réels $(x_n^{(k)})_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$. En effet, pour $k, l \ge K$, on a $|x_n^{(k)} - x_n^{(l)}| \le \sum_{i=1}^{\infty} |x_i^{(k)} - x_i^{(l)}| < \epsilon$.

Comme $\mathbb{R}$ est complet, pour chaque $n$, la suite $(x_n^{(k)})_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite $x_n \in \mathbb{R}$.

Définissons une suite $x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où $x_n = \lim_{k \to \infty} x_n^{(k)}$.

Il reste à montrer que $x \in \ell^1(\mathbb{N})$ (c'est-à-dire que $\sum_{n=1}^{\infty} |x_n| < \infty$) et que $\|x^{(k)} - x\|_1 \to 0$ quand $k \to \infty$.

Convergence de la somme :

Soit $M$ un entier fixé. Pour $k, l \ge K$, on a :

$\sum_{n=1}^{M} |x_n^{(k)} - x_n^{(l)}| \le \sum_{n=1}^{\infty} |x_n^{(k)} - x_n^{(l)}| < \epsilon$.

Passons à la limite $l \to \infty$ pour un $k \ge K$ fixé. Puisque $x_n^{(l)} \to x_n$, on obtient :

$\sum_{n=1}^{M} |x_n^{(k)} - x_n| \le \epsilon$ pour tout $M \ge 1$ et tout $k \ge K$.

Maintenant, faisons tendre $M \to \infty$. On obtient :

$\sum_{n=1}^{\infty} |x_n^{(k)} - x_n| \le \epsilon$ pour tout $k \ge K$.

Cela signifie que $\|x^{(k)} - x\|_1 \le \epsilon$ pour tout $k \ge K$.

Cela montre que la suite $(x^{(k)})_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers $x$ dans $\ell^1(\mathbb{N})$.

De plus, comme $\sum_{n=1}^{\infty} |x_n^{(k)} - x_n| \le \epsilon$, on a :

$|\sum_{n=1}^{\infty} |x_n^{(k)}| - \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|| = |\sum_{n=1}^{\infty} (|x_n^{(k)}| - |x_n|)|$

Il faut être plus rigoureux. Pour $k \ge K$, $\|x^{(k)} - x\|_1 \le \epsilon$. Comme $x^{(k)} \in \ell^1$, on sait que $\|x^{(k)}\|_1 < \infty$. Donc, $\|x\|_1 = \|x - x^{(k)} + x^{(k)}\|_1 \le \|x - x^{(k)}\|_1 + \|x^{(k)}\|_1 \le \epsilon + \|x^{(k)}\|_1$. Donc $\|x\|_1$ est fini, et $x \in \ell^1(\mathbb{N})$.

Ainsi, $(\ell^1(\mathbb{N}), \| \cdot \|_1)$ est complet.

Barème indicatif : 7 points