Maîtriser la Continuité Uniforme et la Complétude : Exercices Corrigés

Correction :

On majore $|f(x)-f(y)|$ par un multiple fixe de $|x-y|$. Pour $x,y\in[0\,;\,1]$, on a $0\le x+y\le2$, donc :

$$|x^2-y^2|=|x+y|\,|x-y|\le2\,|x-y|.$$

Si $|x-y|<\varepsilon/2$, alors $|x^2-y^2|<\varepsilon$, quels que soient $x$ et $y$. $\delta=\varepsilon/2$ convient : $f$ est uniformément continue sur $[0\,;\,1]$.

Correction :

On cherche deux suites qui se rapprochent sans que leurs images se rapprochent. Pour $n\ge1$, pose $x_n=n+\frac1n$ et $y_n=n$ : $|x_n-y_n|=\frac1n\to0$, pourtant

$$g(x_n)-g(y_n)=\left(n+\tfrac1n\right)^2-n^2=2+\tfrac{1}{n^2}\ge2.$$

Avec $\varepsilon_0=1$, aucun $\delta>0$ ne convient : dès que $n>1/\delta$, on a $|x_n-y_n|<\delta$ et $|g(x_n)-g(y_n)|\ge1$. $g$ n'est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$. En cause, le facteur $|x+y|$, qui n'est plus borné.

Correction :

On intercale la limite grâce à l'inégalité triangulaire. Soit $\varepsilon>0$ et $N$ tel que $d(x_n,\ell)<\varepsilon/2$ pour tout $n\ge N$. Pour $n,m\ge N$ :

$$d(x_n,x_m)\le d(x_n,\ell)+d(\ell,x_m)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$$

Toute suite convergente est de Cauchy. La réciproque est fausse en général : c'est l'exercice 4.

Correction :

On passe par $\mathbb{R}$, où la distance est la même. Chaque $x_n$ est un décimal, donc un rationnel, et $0\le\sqrt2-x_n<10^{-n}$ : $x_n\to\sqrt2$ dans $\mathbb{R}$. D'après l'exercice 3, $(x_n)$ est de Cauchy dans $\mathbb{R}$, donc dans $\mathbb{Q}$.

Si $(x_n)$ convergeait vers un rationnel $q$, elle convergerait vers $q$ dans $\mathbb{R}$, et l'unicité de la limite donnerait $q=\sqrt2$, qui est irrationnel.

$(x_n)$ est de Cauchy sans limite dans $\mathbb{Q}$ : $\mathbb{Q}$ n'est pas complet.

Correction :

a) On enchaîne les deux définitions. Soit $\varepsilon>0$ et $\delta$ donné par la continuité uniforme de $f$. Comme $(x_n)$ est de Cauchy, il existe $N$ tel que $d(x_n,x_m)<\delta$ pour $n,m\ge N$, donc $d(f(x_n),f(x_m))<\varepsilon$. $(f(x_n))$ est de Cauchy.

b) $(x_n)$ converge vers $0$ dans $\mathbb{R}$, donc elle est de Cauchy (exercice 3), dans $]0\,;\,1]$ comme dans $\mathbb{R}$. Mais $f(x_n)=n$ : deux termes consécutifs restent à distance $1$, donc $(f(x_n))$ n'est pas de Cauchy. D'après le a), $f$ est continue sur $]0\,;\,1]$ sans y être uniformément continue.

Correction :

On travaille coordonnée par coordonnée. Soit $u_n=(x_n,y_n)$ une suite de Cauchy de $\mathbb{R}^2$. Comme $|x_n-x_m|\le d_2(u_n,u_m)$ et $|y_n-y_m|\le d_2(u_n,u_m)$, les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont de Cauchy dans $\mathbb{R}$ : elles convergent vers des réels $x$ et $y$. Alors :

$$d_2\big(u_n,(x,y)\big)=\sqrt{(x_n-x)^2+(y_n-y)^2}\to0.$$

Toute suite de Cauchy de $\mathbb{R}^2$ converge : $(\mathbb{R}^2,d_2)$ est complet. Le même raisonnement vaut pour $\mathbb{R}^n$.

Correction :

a) On prouve que la suite est de Cauchy, puis on utilise la complétude. Par récurrence, $|x_{k+1}-x_k|\le\left(\frac12\right)^k|x_1-x_0|$. Pour $m>n$, l'inégalité triangulaire et la somme géométrique donnent :

$$|x_m-x_n|\le\sum_{k=n}^{m-1}\left(\tfrac12\right)^k|x_1-x_0|\le2\left(\tfrac12\right)^n|x_1-x_0|.$$

La suite est donc de Cauchy dans $[0\,;\,1]$, fermé de $\mathbb{R}$, donc complet : elle converge vers un $c\in[0\,;\,1]$. Comme $f$ est lipschitzienne, elle est continue, et $x_{n+1}=f(x_n)$ donne $c=f(c)$ à la limite. Si $f(c')=c'$, alors $|c-c'|\le\frac12|c-c'|$, d'où $c'=c$. $f$ a un unique point fixe (théorème du point fixe de Banach).

b) $g$ envoie $[0\,;\,1]$ dans $[0\,;\,\frac12]$, et $|g'(x)|=\frac12|\sin x|\le\frac12$ : par l'inégalité des accroissements finis, on est dans le cadre du a). En faisant tendre $m$ vers $+\infty$, avec $x_1=\frac12$ : $|c-x_n|\le\left(\frac12\right)^n$. Or $2^9=512<1000\le2^{10}=1024$. 10 itérations suffisent.

Correction :

On nie la définition, puis on extrait une sous-suite convergente. Si $f$ n'est pas uniformément continue, il existe $\varepsilon_0>0$ et, pour tout $n\ge1$, des points $x_n,y_n\in K$ tels que $\|x_n-y_n\|<\frac1n$ et $|f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0$.

Par compacité, une sous-suite $(x_{\varphi(n)})$ converge vers un $a\in K$. Comme $\|y_{\varphi(n)}-x_{\varphi(n)}\|<\frac1{\varphi(n)}\le\frac1n$, la suite $(y_{\varphi(n)})$ converge aussi vers $a$.

Par continuité de $f$ en $a$, $f(x_{\varphi(n)})-f(y_{\varphi(n)})\to f(a)-f(a)=0$, ce qui contredit $|f(x_{\varphi(n)})-f(y_{\varphi(n)})|\ge\varepsilon_0$. $f$ est uniformément continue sur $K$.

Correction :

On construit la limite point par point, on prouve la convergence uniforme, et seulement ensuite la continuité de la limite. Soit $(f_n)$ une suite de Cauchy de $E$, $\varepsilon>0$ et $N$ tel que $\|f_n-f_m\|_\infty<\varepsilon$ pour $n,m\ge N$.

Pour chaque $x$, $|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon$ : la suite réelle $(f_n(x))$ est de Cauchy, donc converge vers un réel noté $f(x)$. En faisant tendre $m$ vers $+\infty$, $|f_n(x)-f(x)|\le\varepsilon$ pour tout $x$, donc $\|f_n-f\|_\infty\le\varepsilon$ pour $n\ge N$.

Continuité de $f$ en $x_0$ : $f_N$ est continue, donc il existe $\delta>0$ tel que $|f_N(x)-f_N(x_0)|<\varepsilon$ dès que $|x-x_0|<\delta$. Pour ces $x$ :

$$|f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(x_0)|+|f_N(x_0)-f(x_0)|<3\varepsilon.$$

$f\in E$ et $\|f_n-f\|_\infty\to0$ : $E$ est un espace de Banach. L'erreur à éviter : se servir de la convergence uniforme avant de l'avoir démontrée.

Correction :

Même plan qu'à l'exercice 9, avec un passage à la limite dans une somme finie. Soit $(x^{(n)})$ une suite de Cauchy de $\ell^1$, $\varepsilon>0$ et $N$ tel que $\|x^{(n)}-x^{(m)}\|_1<\varepsilon$ pour $n,m\ge N$.

Pour chaque $k$, $|x^{(n)}_k-x^{(m)}_k|\le\|x^{(n)}-x^{(m)}\|_1$ : la suite réelle $(x^{(n)}_k)_n$ est de Cauchy, donc converge vers un réel $x_k$.

Pour tout entier $K$ et $n,m\ge N$, $\sum_{k=1}^{K}|x^{(n)}_k-x^{(m)}_k|<\varepsilon$. La somme est finie : on fait tendre $m$ vers $+\infty$ et on obtient $\sum_{k=1}^{K}|x^{(n)}_k-x_k|\le\varepsilon$. Les sommes partielles de cette série à termes positifs sont majorées, donc $x^{(n)}-x\in\ell^1$ et $\|x^{(n)}-x\|_1\le\varepsilon$ pour $n\ge N$.

Enfin, $x=x^{(N)}-(x^{(N)}-x)$ est dans $\ell^1$, qui est un espace vectoriel. $x\in\ell^1$ et $\|x^{(n)}-x\|_1\to0$ : $\ell^1$ est un espace de Banach. L'erreur à éviter : passer à la limite directement dans la somme infinie.