Niveau : difficile. Durée estimée : 1 h 45. 8 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Pour trouver la réduite de Jordan de $A$, traite chaque valeur propre $\lambda$ à part : il y a $\dim\operatorname{Ker}(A-\lambda I_n)$ blocs $J_k(\lambda)$, le plus grand a pour taille la multiplicité de $\lambda$ dans le polynôme minimal $\mu_A$, et leurs tailles s'additionnent jusqu'à sa multiplicité dans $\chi_A=\det(XI_n-A)$. Exemple : si $\chi_A=(X-5)^4$, $\operatorname{rg}(A-5I_4)=2$ et $\mu_A=(X-5)^2$, il y a $4-2=2$ blocs de taille au plus 2 qui totalisent 4, donc $A$ est semblable à $\operatorname{diag}\big(J_2(5),J_2(5)\big)$. Cette réduite existe dès que $\chi_A$ est scindé (produit de facteurs de degré 1, toujours vrai sur $\mathbb C$), et elle est unique à l'ordre des blocs près.
La réduite de Frobenius, elle, existe sur tout corps : $A$ est semblable à une unique matrice $\operatorname{diag}\big(C(P_1),\dots,C(P_r)\big)$ de matrices compagnons. Ses invariants de similitude $P_1\mid P_2\mid\dots\mid P_r$ sont unitaires et non constants, avec $P_r=\mu_A$ et $P_1\cdots P_r=\chi_A$ (certains cours les rangent dans l'ordre inverse, avec $P_1=\mu_A$). Deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont les mêmes invariants. Depuis Jordan, écris les diviseurs élémentaires, un $(X-\lambda)^k$ par bloc $J_k(\lambda)$ : $P_r$ est le produit des plus grandes puissances de chaque valeur propre, $P_{r-1}$ celui des suivantes, et ainsi de suite. Exemple : les blocs $J_2(1)$, $J_1(1)$ et $J_1(2)$ donnent $P_2=(X-1)^2(X-2)$ et $P_1=X-1$.
Formules à retenir :
- Bloc de Jordan : $J_k(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda\end{pmatrix}\in\mathcal M_k(\mathbb K)$, de polynôme minimal $(X-\lambda)^k$.
- Nombre de blocs de taille au moins $j$ pour $\lambda$ : $\operatorname{rg}(A-\lambda I_n)^{j-1}-\operatorname{rg}(A-\lambda I_n)^{j}$.
- Matrice compagnon de $P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0$ : $C(P)=\begin{pmatrix}0 & & & -a_0\\ 1 & \ddots & & -a_1\\ & \ddots & 0 & \vdots\\ & & 1 & -a_{n-1}\end{pmatrix}$, avec $\chi_{C(P)}=\mu_{C(P)}=P$ (certains cours prennent sa transposée).
- Si $N^k=0$ : $e^{t(\lambda I_n+N)}=e^{\lambda t}\left(I_n+tN+\dots+\dfrac{t^{k-1}}{(k-1)!}N^{k-1}\right)$.
Piège classique : même polynôme caractéristique et même polynôme minimal ne prouvent pas que deux matrices sont semblables. Ces deux polynômes suffisent en taille 3 ou moins, plus dès la taille 4 : ce qui tranche, ce sont les blocs de Jordan ou les invariants de similitude.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Une matrice $A\in\mathcal M_6(\mathbb C)$ est semblable à $\operatorname{diag}\big(J_3(2),J_1(2),J_2(-1)\big)$. Donne $\chi_A$, $\mu_A$, $\dim\operatorname{Ker}(A-2I_6)$ et $\dim\operatorname{Ker}(A+I_6)$, puis dis si $A$ est diagonalisable.
Correction :
Ces quantités ne changent pas par similitude : on les lit directement sur les blocs.
Les tailles s'additionnent dans $\chi_A$, le plus grand bloc donne l'exposant dans $\mu_A$, et chaque bloc apporte une dimension au noyau : $\chi_A=(X-2)^4(X+1)^2$, $\mu_A=(X-2)^3(X+1)^2$, $\dim\operatorname{Ker}(A-2I_6)=2$ et $\dim\operatorname{Ker}(A+I_6)=1$.
$\mu_A$ a une racine multiple, donc $A$ n'est pas diagonalisable.
Exercice 2 : Soit $A=\begin{pmatrix}3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$. Calcule $\chi_A$, justifie que $A$ n'est pas diagonalisable, puis trouve une matrice $P$ inversible telle que $P^{-1}AP=J_2(2)$.
Correction :
On cherche une base $(v_1,v_2)$ avec $Av_1=2v_1$ et $Av_2=v_1+2v_2$, c'est-à-dire $v_1=Nv_2$ où $N=A-2I_2$.
$\chi_A=(X-3)(X-1)+1=(X-2)^2$. Si $A$ était diagonalisable, elle serait semblable à $2I_2$, donc égale à $2I_2$ : ce n'est pas le cas.
$N=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}$ vérifie $N^2=0$. On prend $v_2=e_1\notin\operatorname{Ker}N$, puis $v_1=Ne_1$, d'où $P=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$. Vérification : $AP=PJ_2(2)=\begin{pmatrix}2 & 3\\ -2 & -1\end{pmatrix}$. Place bien $Nv_2$ dans la première colonne.
Exercices : niveau moyen
Exercice 3 : Soit $A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\ -1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$. Montre que $\chi_A=(X-1)^3$, puis détermine la réduite de Jordan $J$ de $A$ et une matrice $P$ inversible telle que $P^{-1}AP=J$.
Correction :
Le noyau de $A-I_3$ compte les blocs, puis on construit la base bloc par bloc.
En développant selon la dernière ligne, $\chi_A=(X-1)\big(X(X-2)+1\big)=(X-1)^3$.
$A-I_3=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ est de rang 1, donc son noyau est de dimension 2 : deux blocs, de tailles 2 et 1, et $\mu_A=(X-1)^2$.
On prend $v_2=e_1\notin\operatorname{Ker}(A-I_3)$ et $v_1=(A-I_3)e_1=\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 0\end{pmatrix}$. Le vecteur $v_3=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$ est dans le noyau, le plan $-x+y+z=0$, sans être colinéaire à $v_1$.
$J=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ et $P=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$, de déterminant 1. Ne prends pas $v_3$ au hasard : il doit être dans le noyau.
Exercice 4 : Soit $N\in\mathcal M_5(\mathbb R)$ nilpotente, avec $\operatorname{rg}N=3$, $\operatorname{rg}N^2=1$ et $N^3=0$. Détermine sa réduite de Jordan et son polynôme minimal.
Correction :
On applique la formule du nombre de blocs avec $\lambda=0$, en prenant $\operatorname{rg}N^0=\operatorname{rg}I_5=5$.
Blocs de taille au moins 1 : $5-3=2$. Au moins 2 : $3-1=2$. Au moins 3 : $1-0=1$. Il y a donc un bloc de taille 3 et un bloc de taille 2, et $3+2=5$ tombe juste.
$N$ est semblable à $\operatorname{diag}\big(J_3(0),J_2(0)\big)$, et $\mu_N=X^3$.
Exercice 5 : Soit $A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$. Montre qu'elles ont le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal. Sont-elles semblables ?
Correction :
On cherche une quantité conservée par similitude qui les sépare : le rang.
Triangulaires strictes, elles ont $\chi_A=\chi_B=X^4$. Non nulles avec $A^2=B^2=0$, elles ont $\mu_A=\mu_B=X^2$.
Mais $\operatorname{rg}A=2$ et $\operatorname{rg}B=1$, donc $A$ et $B$ ne sont pas semblables. En blocs de Jordan, $A$ a deux blocs de taille 2, et $B$ un bloc de taille 2 et deux de taille 1.
Exercices : niveau difficile
Exercice 6 : Un amortisseur (valeurs fictives) : sa position $y(t)$, en cm, vérifie $y''+4y'+4y=0$ pour $t\ge 0$ en secondes, avec $y(0)=3$ cm et $y'(0)=0$ cm/s. On pose $Y=\begin{pmatrix}y\\ y'\end{pmatrix}$.
a) Écris le système $Y'=AY$ et montre que $A=-2I_2+N$ avec $N^2=0$.
b) Calcule $e^{tA}$, puis $y(t)$.
Correction :
Avec une seule valeur propre, on écrit $A=\lambda I_2+N$ : les deux termes commutent, donc $e^{tA}=e^{\lambda t}e^{tN}$.
a) $A=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -4 & -4\end{pmatrix}$ et $\chi_A=X^2+4X+4=(X+2)^2$. La matrice $N=A+2I_2=\begin{pmatrix}2 & 1\\ -4 & -2\end{pmatrix}$ vérifie $N^2=0$, donc $A$ est semblable à $J_2(-2)$.
b) $e^{tA}=e^{-2t}(I_2+tN)$ et $Y(t)=e^{tA}Y(0)$, avec $Y(0)=\begin{pmatrix}3\\ 0\end{pmatrix}$ et $NY(0)=\begin{pmatrix}6\\ -12\end{pmatrix}$, donc $Y(t)=e^{-2t}\begin{pmatrix}3+6t\\ -12t\end{pmatrix}$.
$y(t)=(3+6t)e^{-2t}$ cm, et on retrouve bien $y(0)=3$ et $y'(0)=0$. L'égalité $e^{B+C}=e^Be^C$ n'est vraie que si $B$ et $C$ commutent.
Exercice 7 : Soit $A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$, diagonale par blocs $C(X^3)$ et $C(X-1)$.
a) Donne sa réduite de Jordan.
b) Détermine ses invariants de similitude et sa réduite de Frobenius $F$.
c) Explique pourquoi $A$ n'est pas déjà sa propre réduite de Frobenius.
Correction :
On regroupe les diviseurs élémentaires en polynômes qui se divisent.
a) $C(X^3)$ est nilpotente de taille 3 et de rang 2 : un seul bloc. $A$ est semblable à $\operatorname{diag}\big(J_3(0),J_1(1)\big)$.
b) Les diviseurs élémentaires $X^3$ et $X-1$ sont les plus grandes puissances de leurs valeurs propres : ils forment un seul invariant, $P_1=X^3(X-1)=X^4-X^3$, égal à $\chi_A$ et à $\mu_A$. Avec $a_3=-1$ et $a_2=a_1=a_0=0$, $F=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$.
c) Dans une réduite de Frobenius, le polynôme de chaque bloc compagnon divise celui du suivant. Or ni $X^3$ ni $X-1$ ne divise l'autre. Ne confonds pas diviseurs élémentaires et invariants de similitude.
Exercice 8 : Soit $A\in\mathcal M_4(\mathbb R)$ telle que $A^2=-I_4$.
a) Montre que $A$ n'a aucune valeur propre réelle, donc aucune réduite de Jordan dans $\mathcal M_4(\mathbb R)$.
b) Détermine ses invariants de similitude.
c) Déduis-en que $A$ est semblable à $\operatorname{diag}(R,R)$, où $R=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$.
Correction :
Sur $\mathbb R$, Jordan ne s'applique pas, Frobenius si : tout se lit sur $\mu_A$.
a) Si $Av=\lambda v$ avec $v\neq 0$ et $\lambda$ réel, alors $-v=A^2v=\lambda^2v$, donc $\lambda^2=-1$ : impossible. Or une réduite de Jordan réelle, triangulaire, porterait des valeurs propres réelles sur sa diagonale.
b) $\mu_A$ divise $X^2+1$, irréductible sur $\mathbb R$, donc $\mu_A=X^2+1$. Chaque $P_i$ divise $\mu_A$ sans être constant, donc vaut $X^2+1$, et leurs degrés totalisent 4 : $P_1=P_2=X^2+1$, d'où $\chi_A=(X^2+1)^2$.
c) $C(X^2+1)=R$, donc $A$ est semblable à $\operatorname{diag}(R,R)$. La matrice $C\big((X^2+1)^2\big)$ a le même polynôme caractéristique, mais son polynôme minimal vaut $(X^2+1)^2$ : son carré n'est pas $-I_4$.
Bilan et conseils
Pour Jordan, pars de $\chi_A$ puis des rangs des $(A-\lambda I_n)^j$ : ils donnent les blocs sans calculer un seul vecteur. Ne construis $P$ que si l'énoncé le demande, en partant, pour le plus grand bloc, de taille $k$, d'un vecteur hors de $\operatorname{Ker}(A-\lambda I_n)^{k-1}$.
Pour Frobenius, pense divisibilité, et sers-t'en dès que $\chi_A$ n'est pas scindé, sur $\mathbb R$ ou $\mathbb Q$. Le programme de l'agrégation externe de mathématiques, session 2027, cite les endomorphismes nilpotents, les sous-espaces caractéristiques, la décomposition de Dunford, l'exponentielle des matrices et les systèmes différentiels linéaires à coefficients constants, mais ni la réduction de Jordan ni celle de Frobenius.
Ce qu'il faut retenir : le nombre de blocs pour $\lambda$ est $\dim\operatorname{Ker}(A-\lambda I_n)$, le plus grand bloc donne l'exposant dans $\mu_A$, les invariants de Frobenius se divisent jusqu'à $P_r=\mu_A$, et $\chi_A$ et $\mu_A$ ne suffisent pas à prouver une similitude.
Sources
Concours externe de l'agrégation du second degré, section mathématiques : programme de la session 2027, parties 1.2 et 9.2 (devenirenseignant.gouv.fr).