Niveau : moyen à difficile, analyse complexe de licence. Durée estimée : 1 h 45. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Pour montrer que $f$ est conforme en $z_0$, c'est-à-dire qu'elle conserve les angles orientés entre deux courbes qui se coupent en $z_0$, tu vérifies que $f$ est holomorphe autour de $z_0$ (dérivable au sens complexe) et que $f'(z_0) \neq 0$ (Houzel, Encyclopædia Universalis). Exemple : pour $f(z) = z^3$ en $z_0 = i$, $f'(i) = 3i^2 = -3 \neq 0$, donc $f$ est conforme en $i$. Près de $z_0$, $f$ agit comme une rotation d'angle $\arg f'(z_0)$ suivie d'une homothétie de rapport $|f'(z_0)|$.
Une transformation conforme de $U$ sur $V$ est une bijection holomorphe de $U$ sur $V$ ; sa dérivée ne s'annule pas et sa réciproque est holomorphe (de Marçay, université Paris-Saclay). Les homographies $h(z) = \frac{az+b}{cz+d}$, avec $ad - bc \neq 0$, envoient toute droite ou tout cercle sur une droite ou un cercle (Mortini, université de Lorraine). Pour l'image d'une région par une homographie, cherche l'image de son bord, puis teste un point intérieur. On note $\mathbb{H}$ le demi-plan $\operatorname{Im} z > 0$ et $\mathbb{D}$ le disque $|z| < 1$.
Formules à retenir :
- Cauchy-Riemann, pour $f = u + iv$ de classe $C^1$ : $f$ est holomorphe si et seulement si $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$.
- Homographie avec $c \neq 0$ : $h'(z) = \frac{ad - bc}{(cz+d)^2}$, et $h$ est une bijection de $\mathbb{C} \setminus \{-d/c\}$ sur $\mathbb{C} \setminus \{a/c\}$.
- Exponentielle : $e^{x+iy} = e^x e^{iy}$ a pour module $e^x$ et pour argument $y$.
- Logarithme principal : $\operatorname{Log} w = \ln|w| + i \operatorname{Arg} w$, holomorphe sur $\mathbb{C} \setminus \,]-\infty\,;\,0]$, où $\operatorname{Arg} w \in \,]-\pi\,;\,\pi[$.
- Les parties réelle et imaginaire d'une fonction holomorphe sont harmoniques : leur laplacien est nul.
Piège classique : holomorphe ne suffit pas. En un point où $f'(z_0) = 0$, $f$ n'est pas conforme, même si c'est un polynôme tout simple. Calcule toujours la dérivée au point.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Soit $f(x+iy) = x^2 - y^2 + x + i(2xy + y)$. Vérifie les conditions de Cauchy-Riemann, écris $f$ en fonction de $z = x + iy$, puis donne les points où $f$ est conforme.
Correction :
On pose $u = x^2 - y^2 + x$ et $v = 2xy + y$, de classe $C^1$. On a $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x + 1 = \frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y} = -2y = -\frac{\partial v}{\partial x}$ : $f$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$.
Comme $z^2 + z = x^2 - y^2 + 2ixy + x + iy$, on reconnaît $f(z) = z^2 + z$. Donc $f'(z) = 2z + 1$, qui ne s'annule qu'en $-\frac{1}{2}$.
$f$ est conforme en tout point de $\mathbb{C}$ sauf en $-\frac{1}{2}$.
Exercice 2 : Soit $f(z) = (1+i)z + 2$. Justifie que $f$ est conforme sur $\mathbb{C}$, donne l'angle de rotation et le rapport d'agrandissement qu'elle applique, puis dis si elle conserve les distances.
Correction :
Pour tout $z$, $f'(z) = 1 + i \neq 0$ : $f$ est conforme partout. Comme $1 + i = \sqrt{2}\, e^{i\pi/4}$, elle tourne les figures de $\frac{\pi}{4}$ et les agrandit d'un rapport $\sqrt{2}$. Les distances changent : $|f(1) - f(0)| = |1 + i| = \sqrt{2}$, alors que $|1 - 0| = 1$.
Angle $\frac{\pi}{4}$, rapport $\sqrt{2}$ : $f$ est conforme sans être une isométrie. Conforme veut dire « conserve les angles », pas les longueurs.
Exercice 3 : La conjugaison $f(z) = \bar{z}$ conserve les distances. Est-elle conforme ? Justifie avec Cauchy-Riemann, puis regarde ce que devient l'angle orienté de la direction $1$ vers la direction $i$.
Correction :
Ici $u = x$ et $v = -y$ : $\frac{\partial u}{\partial x} = 1$ mais $\frac{\partial v}{\partial y} = -1$. La première condition n'est vraie en aucun point, donc $f$ n'est holomorphe nulle part.
Les directions $1$ et $i$ deviennent $1$ et $-i$ : l'angle orienté passe de $\frac{\pi}{2}$ à $-\frac{\pi}{2}$. Sa mesure est gardée, son sens est inversé.
$\bar{z}$ n'est conforme en aucun point. Une isométrie n'est pas forcément conforme.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : La fonction $f(z) = z^2$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$. Calcule $f'(0)$, puis trouve l'image des demi-axes $[0\,;\,+\infty[$ et $\{iy : y \geq 0\}$. La fonction $f$ est-elle conforme en $0$ ?
Correction :
On a $f'(z) = 2z$, donc $f'(0) = 0$ : le critère ne s'applique pas. Pour $x \geq 0$, $f(x) = x^2 \geq 0$ : le demi-axe réel positif reste en place. Pour $y \geq 0$, $f(iy) = -y^2 \leq 0$ : le demi-axe imaginaire positif part sur le demi-axe réel négatif. L'angle $\frac{\pi}{2}$ entre les deux demi-droites devient un angle $\pi$.
$f$ n'est pas conforme en $0$ : elle y double les angles. De même, $z^n$ multiplie par $n$ les angles en $0$, puisque $(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$.
Exercice 5 : Soit $f(z) = \frac{1}{z}$ sur $\mathbb{C}^* = \mathbb{C} \setminus \{0\}$. Montre que $f$ est conforme sur $\mathbb{C}^*$, puis détermine l'image de la droite $\operatorname{Re} z = 1$.
Correction :
Sur $\mathbb{C}^*$, $f'(z) = -\frac{1}{z^2} \neq 0$ : $f$ est conforme en chaque point. Pose $w = \frac{1}{z}$ : alors $\left|w - \frac{1}{2}\right| = \frac{|2 - z|}{2|z|}$.
Or $z$ est sur la droite $\operatorname{Re} z = 1$ si et seulement s'il est à égale distance de $0$ et de $2$, soit $|2 - z| = |z|$, ce qui revient à $\left|w - \frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$. Le point $w = 0$ n'est jamais atteint.
L'image est le cercle de centre $\frac{1}{2}$ et de rayon $\frac{1}{2}$, privé de $0$. Une droite qui ne passe pas par $0$, où $f$ n'est pas définie, devient un cercle et non une droite.
Exercice 6 : Montre que $\exp$ est conforme en tout point de $\mathbb{C}$ sans être injective. Détermine ensuite l'image de la bande $S = \{z : 0 < \operatorname{Im} z < \pi\}$, puis celle du rectangle $R = \{x + iy : 0 < x < \ln 2,\ 0 < y < \pi\}$.
Correction :
La dérivée de $\exp$ est $\exp$, qui ne s'annule jamais : $\exp$ est conforme partout. Elle n'est pas injective, car $e^{z + 2i\pi} = e^z$.
Pour $z = x + iy$, $e^z$ a pour module $e^x$ et pour argument $y$. Sur $S$, le module décrit $]0\,;\,+\infty[$ et l'argument $]0\,;\,\pi[$, chaque couple une seule fois : on obtient chaque point de $\mathbb{H}$ une fois. Sur $R$, le module ne décrit que $]1\,;\,2[$.
$\exp$ envoie bijectivement $S$ sur $\mathbb{H}$, et $R$ sur le demi-anneau $\{w : 1 < |w| < 2,\ \operatorname{Im} w > 0\}$. En sens inverse, $\operatorname{Log}$ envoie ce demi-anneau sur $R$.
Exercice 7 : Soit $f(z) = \frac{z - i}{z + i}$. Montre que $f$ est conforme sur $\mathbb{C} \setminus \{-i\}$, puis qu'elle envoie $\mathbb{H}$ bijectivement sur $\mathbb{D}$. Calcule $f(i)$.
Correction :
Ici $a = 1$, $b = -i$, $c = 1$, $d = i$, donc $ad - bc = 2i$ et $f'(z) = \frac{2i}{(z + i)^2} \neq 0$ : $f$ est conforme sur $\mathbb{C} \setminus \{-i\}$.
L'axe réel est la médiatrice du segment qui joint $i$ et $-i$. Donc, pour $z \neq -i$ : $\operatorname{Im} z > 0 \iff |z - i| < |z + i| \iff |f(z)| < 1$. Comme $f$ est une bijection de $\mathbb{C} \setminus \{-i\}$ sur $\mathbb{C} \setminus \{1\}$ et que $1 \notin \mathbb{D}$, chaque point de $\mathbb{D}$ a un unique antécédent, et il est dans $\mathbb{H}$. Enfin, $f(i) = 0$.
$f$ est une transformation conforme de $\mathbb{H}$ sur $\mathbb{D}$, et $f(i) = 0$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Soient $a$ et $b$ deux complexes distincts et $f(z) = \frac{z - a}{z - b}$. Trouve une condition nécessaire et suffisante sur $a$ et $b$ pour que $f$ envoie $\mathbb{H}$ sur $\mathbb{D}$.
Correction :
Condition nécessaire. Comme $0 \in \mathbb{D}$, son unique antécédent $a$ est dans $\mathbb{H}$. Ensuite $f$, bijection continue de $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ dans lui-même, envoie le bord de $\mathbb{H}$ (l'axe réel et $\infty$) sur le bord de $\mathbb{D}$ (le cercle unité). Pour tout réel $x$, $|f(x)| = 1$, soit $|x - a| = |x - b|$ : l'axe réel est la médiatrice du segment qui joint $a$ et $b$, donc $b = \bar{a}$.
Condition suffisante. Si $b = \bar{a}$ avec $\operatorname{Im} a > 0$, alors $\operatorname{Im} z > 0 \iff |z - a| < |z - \bar{a}| \iff |f(z)| < 1$, et on conclut comme à l'exercice 7.
Il faut et il suffit que $b = \bar{a}$ et $\operatorname{Im} a > 0$. Avec $a = i$, on retrouve l'exercice 7.
Exercice 9 : Soient $S = \{z : 0 < \operatorname{Im} z < \pi\}$ et $g(z) = \frac{e^z - i}{e^z + i}$. Montre que $g$ est une transformation conforme de $S$ sur $\mathbb{D}$, calcule $g\left(\frac{i\pi}{2}\right)$, puis donne $g^{-1}$.
Correction :
On écrit $g = f \circ \exp$, où $f$ est l'homographie de l'exercice 7. D'après l'exercice 6, $\exp$ est une bijection holomorphe de $S$ sur $\mathbb{H}$, et d'après l'exercice 7, $f$ en est une de $\mathbb{H}$ sur $\mathbb{D}$ : la composée est une bijection holomorphe de $S$ sur $\mathbb{D}$. Comme $e^{i\pi/2} = i$, on a $g\left(\frac{i\pi}{2}\right) = \frac{i - i}{i + i} = 0$.
Pour la réciproque, on résout $w = \frac{\zeta - i}{\zeta + i}$ : $\zeta = i\,\frac{1 + w}{1 - w}$, qui est dans $\mathbb{H}$. Son argument est dans $]0\,;\,\pi[$, donc $z = \operatorname{Log} \zeta$ est dans $S$.
$g^{-1}(w) = \operatorname{Log}\left(i\,\frac{1 + w}{1 - w}\right)$ pour $w \in \mathbb{D}$, et $g\left(\frac{i\pi}{2}\right) = 0$. Retiens le réflexe : enchaîner des transformations connues plutôt que d'en chercher une d'un coup.
Exercice 10 : Une plaque métallique mince occupe le quart de plan $Q = \{x + iy : x > 0,\ y > 0\}$. Son bord sur l'axe des abscisses est maintenu à $0\,^{\circ}\mathrm{C}$, celui sur l'axe des ordonnées à $100\,^{\circ}\mathrm{C}$. On admet qu'en régime permanent, la température $T$ est l'unique fonction harmonique bornée sur $Q$ qui prend ces valeurs au bord. Sur $\mathbb{H}$, avec $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ et $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ sur $]-\infty\,;\,0[$, cette fonction est $\Theta(w) = \frac{100}{\pi} \operatorname{Arg} w$.
a) Montre que $z \mapsto z^2$ envoie $Q$ sur $\mathbb{H}$ et dis où va chaque bord.
b) Déduis-en $T(x, y)$.
c) Calcule la température au point $(\sqrt{3}\,;\,1)$.
Correction :
a) Pour $z = re^{i\theta}$ avec $r > 0$ et $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$, on a $z^2 = r^2 e^{2i\theta}$ avec $0 < 2\theta < \pi$ : $z \mapsto z^2$ est une bijection holomorphe de $Q$ sur $\mathbb{H}$, de dérivée $2z \neq 0$. Le bord $\theta = 0$ va sur $]0\,;\,+\infty[$ et le bord $\theta = \frac{\pi}{2}$ sur $]-\infty\,;\,0[$ : les températures imposées se correspondent.
b) On pose $T(z) = \Theta(z^2) = \frac{100}{\pi} \operatorname{Arg}(z^2) = \frac{200}{\pi} \operatorname{Arg} z$, car $2 \operatorname{Arg} z \in \,]0\,;\,\pi[$. C'est la partie imaginaire de $\frac{200}{\pi} \operatorname{Log} z$, holomorphe sur $Q$ : $T$ est harmonique, bornée, et vaut $0$ et $100$ sur les bords : c'est la température cherchée. Sur $Q$, $\operatorname{Arg} z = \arctan \frac{y}{x}$, d'où $T(x, y) = \frac{200}{\pi} \arctan \frac{y}{x}$.
c) En $(\sqrt{3}\,;\,1)$, $\arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$.
$T = \frac{200}{\pi} \times \frac{\pi}{6} = \frac{100}{3} \approx 33{,}3\,^{\circ}\mathrm{C}$.
Bilan et conseils
Avant un partiel, refais sans regarder les exercices 4 et 9 : le premier tend le piège de la dérivée nulle, le second oblige à enchaîner deux transformations.
Ce qu'il faut retenir : conforme en $z_0$, c'est holomorphe avec $f'(z_0) \neq 0$. Pour l'image d'une région par une homographie, prends l'image du bord, puis teste un point. Pour un domaine compliqué, enchaîne des transformations connues : $z^2$ ouvre le quart de plan en demi-plan, $\exp$ déplie la bande $S$ en demi-plan, $\frac{z - i}{z + i}$ referme le demi-plan en disque.
Sources
Christian Houzel, « Fonctions analytiques : représentation conforme », Encyclopædia Universalis.
François de Marçay, « Théorème de l'application conforme de Riemann », notes de cours, université Paris-Saclay.
Raymond Mortini, « Analyse complexe », cours de L3, université de Lorraine (Metz), 2015.