Méthodes Numériques pour EDO : Euler et Runge-Kutta

Correction :

La méthode d'Euler explicite est la plus simple des méthodes numériques pour résoudre une EDO.

Étape 1 : Formule d'Euler explicite

La méthode d'Euler explicite pour une EDO de la forme $y'(t) = f(t, y(t))$, avec une condition initiale $y(t_0) = y_0$, est donnée par : $$ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n) $$ où $h$ est le pas de temps, $t_n = t_0 + n h$, et $y_n$ est l'approximation de $y(t_n)$.

Étape 2 : Identification des paramètres

Ici, $f(t, y) = y$ (la dérivée est égale à la fonction elle-même). La condition initiale est $y(0)=1$, donc $t_0 = 0$ et $y_0 = 1$. Le pas $h = 0.1$. Nous voulons approximer $y(0.2)$, ce qui correspond à $t_2$ car $t_2 = t_0 + 2h = 0 + 2 \times 0.1 = 0.2$. Nous aurons donc besoin de deux étapes.

Étape 3 : Première étape ($n=0$)

Calcul de $y_1$ (approximation de $y(t_1) = y(0.1)$) : $t_0 = 0, y_0 = 1$. $y_1 = y_0 + h \cdot f(t_0, y_0) = 1 + 0.1 \cdot y_0 = 1 + 0.1 \cdot 1 = 1.1$.

Étape 4 : Deuxième étape ($n=1$)

Calcul de $y_2$ (approximation de $y(t_2) = y(0.2)$) : $t_1 = 0.1, y_1 = 1.1$. $y_2 = y_1 + h \cdot f(t_1, y_1) = 1.1 + 0.1 \cdot y_1 = 1.1 + 0.1 \cdot 1.1 = 1.1 + 0.11 = 1.21$.

Étape 5 : Solution analytique

L'EDO $y' = y$ avec $y(0)=1$ a pour solution analytique $y(t) = e^t$. Donc, la solution exacte à $t=0.2$ est $y(0.2) = e^{0.2}$. $e^{0.2} \approx 1.2214$.

Étape 6 : Comparaison

L'approximation obtenue par Euler explicite est $1.21$, tandis que la valeur exacte est environ $1.2214$. L'erreur est d'environ $1.2214 - 1.21 = 0.0114$.

Correction :

La méthode d'Euler implicite diffère de la méthode explicite par la manière dont la fonction $f$ est évaluée.

Étape 1 : Formule d'Euler implicite

La méthode d'Euler implicite est donnée par : $$ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_{n+1}, y_{n+1}) $$ Elle est implicite car $y_{n+1}$ apparaît des deux côtés de l'équation. Pour la résoudre, il faut généralement inverser une équation ou utiliser une méthode itérative.

Étape 2 : Application à $y' = y$

Ici, $f(t, y) = y$. La formule devient : $y_{n+1} = y_n + h \cdot y_{n+1}$.

Étape 3 : Résolution de l'équation pour $y_{n+1}$

Réarrangeons l'équation pour isoler $y_{n+1}$ : $y_{n+1} - h y_{n+1} = y_n$ $y_{n+1} (1 - h) = y_n$ $y_{n+1} = \frac{y_n}{1 - h}$.

Étape 4 : Calcul des approximations

Paramètres : $y_0 = 1$, $h = 0.1$. Nous voulons $y_2$ (approximation de $y(0.2)$).

Première étape ($n=0$) : Calcul de $y_1$ (approximation de $y(0.1)$). $y_1 = \frac{y_0}{1 - h} = \frac{1}{1 - 0.1} = \frac{1}{0.9} = \frac{10}{9}$.

Deuxième étape ($n=1$) : Calcul de $y_2$ (approximation de $y(0.2)$). $y_2 = \frac{y_1}{1 - h} = \frac{10/9}{1 - 0.1} = \frac{10/9}{0.9} = \frac{10/9}{9/10} = \frac{10}{9} \cdot \frac{10}{9} = \frac{100}{81}$.

Étape 5 : Solution analytique et comparaison

La solution analytique est $y(t) = e^t$. $y(0.2) = e^{0.2} \approx 1.2214$. L'approximation obtenue par Euler implicite est $y_2 = 100/81 \approx 1.2346$. L'erreur est d'environ $1.2346 - 1.2214 = 0.0132$. L'erreur est comparable à celle d'Euler explicite pour ce problème simple.

Correction :

Cet exercice met en évidence l'importance du choix de la méthode et du pas de temps pour la précision et la stabilité.

Étape 1 : Solution analytique

L'EDO $y' = -10y$ avec $y(0)=1$ a pour solution $y(t) = e^{-10t}$. La valeur exacte à $t=0.1$ est $y(0.1) = e^{-10 \times 0.1} = e^{-1} \approx 0.36788$.

Étape 2 : Méthode d'Euler explicite

a) $f(t, y) = -10y$. $y_0 = 1$, $h = 0.1$. $y_1 = y_0 + h \cdot f(t_0, y_0) = 1 + 0.1 \cdot (-10 \cdot 1) = 1 + 0.1 \cdot (-10) = 1 - 1 = 0$. Approximation : $y(0.1) \approx 0$.

Étape 3 : Méthode d'Euler implicite

b) $y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_{n+1}, y_{n+1})$. $y_{n+1} = y_n + h (-10 y_{n+1})$ $y_{n+1} (1 + 10h) = y_n$ $y_{n+1} = \frac{y_n}{1 + 10h}$. Pour $h=0.1$: $y_1 = \frac{y_0}{1 + 10 \cdot 0.1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} = 0.5$. Approximation : $y(0.1) \approx 0.5$.

Étape 4 : Comparaison

c) Solutions :

• Analytique : $0.36788$
• Euler explicite : $0$
• Euler implicite : $0.5$

L'erreur avec Euler explicite est $|0 - 0.36788| \approx 0.36788$. L'erreur avec Euler implicite est $|0.5 - 0.36788| \approx 0.13212$. Dans ce cas, Euler implicite est plus précis. Ceci est dû à la nature de l'EDO. Pour $y' = \lambda y$ avec $\lambda < 0$, la solution décroît rapidement. Euler explicite avec un pas trop grand peut devenir instable, ce qui est le cas ici : le pas $h=0.1$ est trop grand par rapport à la "vitesse" de décroissance ($\lambda=-10$), car $1 + h\lambda = 1 + 0.1(-10) = 0$. La méthode explicite devient instable quand $1+h\lambda \le 0$. Euler implicite avec $1/(1-h\lambda) = 1/(1 - 0.1(-10)) = 1/2$, qui est stable et correspond mieux à la décroissance.

Correction :

La méthode de Runge-Kutta d'ordre 2 (Heun) est une amélioration de la méthode d'Euler qui utilise deux évaluations de la fonction $f$ pour obtenir une meilleure précision.

Étape 1 : Formule de Runge-Kutta d'ordre 2 (Heun)

Pour $y'(t) = f(t, y(t))$, avec $y(t_0) = y_0$, les formules sont : $k_1 = f(t_n, y_n)$ $k_2 = f(t_n + h, y_n + h k_1)$ $y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} (k_1 + k_2)$

Étape 2 : Identification des paramètres

$f(t, y) = y$. $y_0 = 1$, $t_0 = 0$, $h = 0.1$. Nous voulons $y_2$ (pour $t_2 = 0.2$).

Étape 3 : Première étape ($n=0$)

Calcul de $y_1$ (approximation de $y(0.1)$) : $k_1 = f(t_0, y_0) = f(0, 1) = 1$. $k_2 = f(t_0 + h, y_0 + h k_1) = f(0 + 0.1, 1 + 0.1 \cdot 1) = f(0.1, 1.1) = 1.1$. $y_1 = y_0 + \frac{h}{2} (k_1 + k_2) = 1 + \frac{0.1}{2} (1 + 1.1) = 1 + 0.05 \cdot (2.1) = 1 + 0.105 = 1.105$.

Étape 4 : Deuxième étape ($n=1$)

Calcul de $y_2$ (approximation de $y(0.2)$) : $t_1 = 0.1, y_1 = 1.105$. $k_1 = f(t_1, y_1) = f(0.1, 1.105) = 1.105$. $k_2 = f(t_1 + h, y_1 + h k_1) = f(0.1 + 0.1, 1.105 + 0.1 \cdot 1.105) = f(0.2, 1.105 + 0.1105) = f(0.2, 1.2155) = 1.2155$. $y_2 = y_1 + \frac{h}{2} (k_1 + k_2) = 1.105 + \frac{0.1}{2} (1.105 + 1.2155) = 1.105 + 0.05 \cdot (2.3205) = 1.105 + 0.116025 = 1.221025$.

Étape 5 : Comparaison avec la solution analytique

Solution exacte : $y(0.2) = e^{0.2} \approx 1.22140$. Approximation RK2 : $1.221025$. L'erreur est d'environ $1.22140 - 1.221025 = 0.000375$. C'est une amélioration significative par rapport à la méthode d'Euler explicite (erreur $\approx 0.0114$).

Correction :

La méthode RK4 est l'une des méthodes les plus utilisées en pratique en raison de sa bonne précision pour un coût de calcul raisonnable.

Étape 1 : Formule de Runge-Kutta d'ordre 4

Pour $y'(t) = f(t, y(t))$, avec $y(t_0) = y_0$, les formules sont : $k_1 = f(t_n, y_n)$ $k_2 = f(t_n + h/2, y_n + h k_1/2)$ $k_3 = f(t_n + h/2, y_n + h k_2/2)$ $k_4 = f(t_n + h, y_n + h k_3)$ $y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$

Étape 2 : Identification des paramètres

$f(t, y) = y$. $y_0 = 1$, $t_0 = 0$, $h = 0.1$. Nous voulons $y_2$ (pour $t_2 = 0.2$).

Étape 3 : Première étape ($n=0$)

Calcul de $y_1$ (approximation de $y(0.1)$) : $k_1 = f(0, 1) = 1$. $k_2 = f(0 + 0.1/2, 1 + 0.1 \cdot 1 / 2) = f(0.05, 1 + 0.05) = f(0.05, 1.05) = 1.05$. $k_3 = f(0 + 0.1/2, 1 + 0.1 \cdot 1.05 / 2) = f(0.05, 1 + 0.0525) = f(0.05, 1.0525) = 1.0525$. $k_4 = f(0 + 0.1, 1 + 0.1 \cdot 1.0525) = f(0.1, 1 + 0.10525) = f(0.1, 1.10525) = 1.10525$. $y_1 = y_0 + \frac{h}{6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$ $y_1 = 1 + \frac{0.1}{6} (1 + 2 \cdot 1.05 + 2 \cdot 1.0525 + 1.10525)$ $y_1 = 1 + \frac{0.1}{6} (1 + 2.1 + 2.105 + 1.10525)$ $y_1 = 1 + \frac{0.1}{6} (6.31025) = 1 + 0.105170833. \approx 1.10517$.

Étape 4 : Deuxième étape ($n=1$)

Calcul de $y_2$ (approximation de $y(0.2)$) : $t_1 = 0.1, y_1 \approx 1.10517$. $k_1 = f(0.1, 1.10517) = 1.10517$. $k_2 = f(0.1 + 0.05, 1.10517 + 0.1 \cdot 1.10517 / 2) = f(0.15, 1.10517 + 0.0552585) = f(0.15, 1.1604285) = 1.1604285$. $k_3 = f(0.15, 1.10517 + 0.1 \cdot 1.1604285 / 2) = f(0.15, 1.10517 + 0.0580214) = f(0.15, 1.1631914) = 1.1631914$. $k_4 = f(0.1 + 0.1, 1.10517 + 0.1 \cdot 1.1631914) = f(0.2, 1.10517 + 0.11631914) = f(0.2, 1.22148914) = 1.22148914$. $y_2 = y_1 + \frac{h}{6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$ $y_2 = 1.10517 + \frac{0.1}{6} (1.10517 + 2 \cdot 1.1604285 + 2 \cdot 1.1631914 + 1.22148914)$ $y_2 = 1.10517 + \frac{0.1}{6} (1.10517 + 2.320857 + 2.3263828 + 1.22148914)$ $y_2 = 1.10517 + \frac{0.1}{6} (6.97389894) \approx 1.10517 + 0.11623165 \approx 1.22140165$.

Étape 5 : Comparaison avec la solution analytique

Solution exacte : $y(0.2) = e^{0.2} \approx 1.22140275$. Approximation RK4 : $1.22140165$. L'erreur est d'environ $1.22140275 - 1.22140165 = 0.0000011$. RK4 donne une précision extrêmement élevée pour ce problème simple et ce pas de temps.

Correction :

Cet exercice explore la stabilité des méthodes d'Euler, notamment pour des problèmes avec des termes de décroissance rapide.

Étape 1 : Solution analytique

L'EDO $y' = -2y$ avec $y(0)=1$ a pour solution analytique $y(t) = e^{-2t}$. La valeur exacte à $t=1$ est $y(1) = e^{-2} \approx 0.1353$.

Étape 2 : Méthode d'Euler explicite

a) $f(t, y) = -2y$. $y_0 = 1$, $h = 0.5$. Nous voulons $y_2$ (pour $t_2 = 1$). $y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n) = y_n + 0.5 (-2y_n) = y_n - y_n = 0$. Première étape ($n=0$) : $y_1 = y_0 - y_0 = 0$. Deuxième étape ($n=1$) : $y_2 = y_1 - y_1 = 0$. Approximation : $y(1) \approx 0$.

Étape 3 : Méthode d'Euler implicite

b) $y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_{n+1}, y_{n+1})$. $y_{n+1} = y_n + 0.5 (-2 y_{n+1}) = y_n - y_{n+1}$. $2 y_{n+1} = y_n \implies y_{n+1} = \frac{y_n}{2}$. Première étape ($n=0$) : $y_1 = y_0/2 = 1/2 = 0.5$. Deuxième étape ($n=1$) : $y_2 = y_1/2 = 0.5/2 = 0.25$. Approximation : $y(1) \approx 0.25$.

Étape 4 : Comparaison

c) Solutions :

• Analytique : $0.1353$
• Euler explicite : $0$
• Euler implicite : $0.25$

L'erreur avec Euler explicite est $|0 - 0.1353| \approx 0.1353$. L'erreur avec Euler implicite est $|0.25 - 0.1353| \approx 0.1147$. Dans ce cas, Euler implicite est plus précis. L'énorme erreur d'Euler explicite (résultat nul alors que la solution exacte décroît vers 0) est due à l'instabilité. Le facteur d'amplification $1+h\lambda = 1 + 0.5(-2) = 1 - 1 = 0$. Cela rend la méthode complètement instable. Euler implicite a un facteur $1/(1-h\lambda) = 1/(1 - 0.5(-2)) = 1/(1+1) = 1/2$. Ce facteur est inférieur à 1, ce qui assure la stabilité et la décroissance correcte de l'approximation.

Correction :

Cet exercice applique la méthode RK2 à une EDO non linéaire, ce qui nécessite de résoudre une équation à chaque étape.

Étape 1 : Identification des paramètres

$f(t, y) = y^2$. $y_0 = 1$, $t_0 = 0$, $h = 0.1$. Nous voulons $y_1$ (approximation de $y(0.1)$).

Étape 2 : Calcul de $y_1$ avec RK2 (Heun)

$k_1 = f(t_0, y_0) = f(0, 1) = 1^2 = 1$. $k_2 = f(t_0 + h, y_0 + h k_1) = f(0 + 0.1, 1 + 0.1 \cdot 1) = f(0.1, 1.1) = (1.1)^2 = 1.21$. $y_1 = y_0 + \frac{h}{2} (k_1 + k_2) = 1 + \frac{0.1}{2} (1 + 1.21) = 1 + 0.05 \cdot (2.21) = 1 + 0.1105 = 1.1105$.

Étape 3 : Solution analytique et comparaison

Solution exacte : $y(t) = \frac{1}{1-t}$. $y(0.1) = \frac{1}{1 - 0.1} = \frac{1}{0.9} = \frac{10}{9} \approx 1.11111$. Approximation RK2 : $1.1105$. L'erreur est d'environ $1.11111 - 1.1105 = 0.00061$. La méthode RK2 donne une bonne approximation pour ce pas de temps.

Correction :

Cet exercice est conçu pour illustrer comment le choix de la méthode et du pas de temps est crucial, surtout pour les EDO rigides.

Étape 1 : Solution analytique

La solution exacte est $y(t) = e^{-t}$. À $t=0.02$, la valeur exacte est $y(0.02) = e^{-0.02} \approx 0.98019867$.

Étape 2 : Méthode d'Euler explicite

a) $f(t, y) = -100y + 100e^{-t}$. $y_0 = 1$, $t_0 = 0$, $h = 0.01$. $y_1 = y_0 + h \cdot f(t_0, y_0) = 1 + 0.01 \cdot (-100 \cdot 1 + 100 e^{-0}) = 1 + 0.01 \cdot (-100 + 100) = 1 + 0.01 \cdot 0 = 1$. $t_1 = 0.01$. $y_1 = 1$. $y_2 = y_1 + h \cdot f(t_1, y_1) = 1 + 0.01 \cdot (-100 \cdot 1 + 100 e^{-0.01})$. $y_2 = 1 + 0.01 \cdot (-100 + 100 \cdot 0.99005) \approx 1 + 0.01 \cdot (-100 + 99.005) = 1 + 0.01 \cdot (-0.995) = 1 - 0.00995 = 0.99005$. Approximation : $y(0.02) \approx 0.99005$.

Étape 3 : Méthode d'Euler implicite

b) $y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_{n+1}, y_{n+1})$. $y_{n+1} = y_n + h (-100 y_{n+1} + 100 e^{-t_{n+1}})$. $y_{n+1} (1 + 100h) = y_n + 100h e^{-t_{n+1}}$. Avec $h=0.01$, $1+100h = 1+1 = 2$. $2 y_{n+1} = y_n + e^{-t_{n+1}}$. $y_{n+1} = \frac{y_n + e^{-t_{n+1}}}{2}$.

Première étape ($n=0$) : $y_0=1, t_0=0, h=0.01$. $t_1 = 0.01$. $y_1 = \frac{y_0 + e^{-t_1}}{2} = \frac{1 + e^{-0.01}}{2} \approx \frac{1 + 0.99005}{2} = \frac{1.99005}{2} \approx 0.995025$.

Deuxième étape ($n=1$) : $y_1 \approx 0.995025, t_1=0.01, h=0.01$. $t_2 = 0.02$. $y_2 = \frac{y_1 + e^{-t_2}}{2} = \frac{0.995025 + e^{-0.02}}{2} \approx \frac{0.995025 + 0.98019867}{2} = \frac{1.97522367}{2} \approx 0.9876118$. Approximation : $y(0.02) \approx 0.9876118$.

Étape 4 : Comparaison et commentaire

c) Solutions :

• Analytique : $0.98019867$
• Euler explicite : $0.99005$
• Euler implicite : $0.9876118$

Erreur explicite : $|0.99005 - 0.98019867| \approx 0.00985$. Erreur implicite : $|0.9876118 - 0.98019867| \approx 0.00741$. Dans ce cas, même avec un petit pas $h=0.01$, la méthode d'Euler explicite montre déjà des signes d'imprécision. La raison est la rigidité de l'équation différentielle. Le terme $-100y$ fait que la solution décroît très rapidement pour ce terme, tandis que le terme $100e^{-t}$ la ramène vers $e^{-t}$. Il y a une phase transitoire très courte où la solution chute brutalement avant de suivre $e^{-t}$. Euler explicite peine à suivre cette chute rapide. Euler implicite, étant plus stable, gère mieux cette phase transitoire et donne un résultat plus précis, malgré le petit pas.