Niveau : supérieur, du facile au difficile. Durée estimée : 2 h 30. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Pour résoudre une EDP linéaire (équation aux dérivées partielles : l'inconnue $u$ dépend de plusieurs variables), cherche d'abord des solutions séparées $u=X(x)\,T(t)$. Dans l'équation de la chaleur $u_t=\alpha^2u_{xx}$, où $u_t=\frac{\partial u}{\partial t}$ et $u_{xx}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$, on obtient $\frac{T'}{\alpha^2T}=\frac{X''}{X}$ : un membre ne dépend que de $t$, l'autre que de $x$, donc les deux valent une même constante $-\lambda$. Exemple : $u=\sin(x)\,e^{-t}$ vérifie $u_t=u_{xx}$ et s'annule en $x=0$ et en $x=\pi$.
Les conditions aux bords fixent les valeurs permises de $\lambda$ et les modes propres $X$. Dirichlet impose $u$ au bord, Neumann impose $u_x$ (un bord isolé a $u_x=0$), une condition périodique donne à $u$ et à $u_x$ les mêmes valeurs aux deux bouts. On additionne ensuite les modes, et la condition initiale fixe leurs coefficients par une série de Fourier (voir le cours de l'INSA Toulouse en Sources).
Formules à retenir :
- Chaleur $u_t=\alpha^2u_{xx}$, ondes $u_{tt}=c^2u_{xx}$, Laplace $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0$.
- Sur $[0\,;\,L]$, avec $k_n=\frac{n\pi}{L}$ : Dirichlet donne $\sin(k_nx)$ pour $n\ge1$, Neumann donne $\cos(k_nx)$ pour $n\ge0$. Périodique de période $2\pi$ : $1$, $\cos(nx)$ et $\sin(nx)$.
- Facteur en temps : $e^{-\alpha^2k_n^2t}$ pour la chaleur, $A_n\cos(ck_nt)+B_n\sin(ck_nt)$ pour les ondes.
- $b_n=\frac2L\int_0^Lf(x)\sin(k_nx)\,dx$, $a_0=\frac1L\int_0^Lf(x)\,dx$, $a_n=\frac2L\int_0^Lf(x)\cos(k_nx)\,dx$.
- Ondes sur $\mathbb{R}$ : $u=F(x-ct)+G(x+ct)$. Laplacien d'une fonction radiale en sphérique : $\Delta u=u_{rr}+\frac2r\,u_r$.
Piège classique : avec des bords isolés ou une condition périodique, $\lambda=0$ donne un mode constant. L'oublier fait perdre $a_0$, la moyenne de $f$, qui est justement la limite de la température quand $t\to+\infty$.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : On résout $u_t=\alpha^2u_{xx}$ pour $0<x<L$ et $t>0$, avec $u(0,t)=u(L,t)=0$ et $u(x,0)=f(x)$.
a) En cherchant $u=X(x)\,T(t)$ non nulle, montre que $X''=-\lambda X$ avec $X(0)=X(L)=0$, et que seul $\lambda>0$ convient.
b) Déduis-en $u$ sous forme de série, avec ses coefficients.
Correction :
On sépare, puis on tranche le signe de $\lambda$ avec les conditions aux bords : $\frac{T'}{\alpha^2T}=\frac{X''}{X}=-\lambda$.
Si $\lambda<0$, $X=Ae^{\mu x}+Be^{-\mu x}$ avec $\mu=\sqrt{-\lambda}$ : $X(0)=0$ donne $B=-A$, puis $X(L)=A\left(e^{\mu L}-e^{-\mu L}\right)=0$ donne $A=0$. Si $\lambda=0$, $X=Ax+B$ s'annule en $0$ et en $L$, donc $X=0$. Pour $\lambda=k^2>0$, $X(0)=0$ ne garde que $\sin(kx)$, et $\sin(kL)=0$ donne $k=\frac{n\pi}{L}$. Alors $T'=-\alpha^2k^2T$.
$u(x,t)=\sum_{n\ge1}b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\,e^{-\alpha^2n^2\pi^2t/L^2}$, avec $b_n=\frac2L\int_0^Lf(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx$.
Le signe de $\lambda$ se justifie par les conditions aux bords, jamais par un argument physique.
Exercice 2 : Une corde de guitare de longueur $L=0{,}65\ \text{m}$, fixée aux deux bouts, vérifie $u_{tt}=c^2u_{xx}$ avec $c=286\ \text{m/s}$ (données fictives). On la pince puis on la lâche sans vitesse : $u(x,0)=f(x)$ et $u_t(x,0)=0$.
a) Donne les modes propres et leurs fréquences $\nu_n$.
b) Calcule la fréquence du fondamental ($n=1$), puis écris $u$.
Correction :
Les bouts fixes donnent les mêmes modes $\sin\frac{n\pi x}{L}$ qu'à l'exercice 1 ; seul le facteur en temps change. $T''=-c^2k_n^2T$ donne la pulsation $\omega_n=ck_n=\frac{n\pi c}{L}$, donc $\nu_n=\frac{\omega_n}{2\pi}=\frac{nc}{2L}$.
$\nu_1=\frac{286}{2\times0{,}65}=220\ \text{Hz}$. Comme $u_t(x,0)=\sum_{n\ge1}B_n\,ck_n\sin(k_nx)=0$, tous les $B_n$ sont nuls.
$\nu_1=220\ \text{Hz}$ et $u(x,t)=\sum_{n\ge1}b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L}$, où $b_n$ sont les coefficients sinus de $f$.
Exercice 3 : Une barre de longueur $L=1\ \text{m}$ a ses bouts maintenus à $0\ ^\circ\text{C}$. Sa température suit l'exercice 1 avec $\alpha^2=10^{-4}\ \text{m}^2/\text{s}$ et $f(x)=20\sin(\pi x)+5\sin(3\pi x)$, en $^\circ\text{C}$ avec $x$ en mètres (données fictives).
a) Écris $u(x,t)$ sans calculer d'intégrale.
b) Le mode $n$ décroît comme $e^{-t/\tau_n}$. Calcule $\tau_1$ et $\tau_3$.
c) Montre que $|u(x,t)|\le25\,e^{-t/\tau_1}$. Que devient $\tau_1$ si l'on double $L$ ?
Correction :
$f$ est déjà une somme de modes : on lit $b_1=20$ et $b_3=5$, les autres coefficients sont nuls. Donc $u=20\sin(\pi x)\,e^{-t/\tau_1}+5\sin(3\pi x)\,e^{-t/\tau_3}$, avec $\tau_n=\frac{L^2}{\alpha^2n^2\pi^2}$.
$\tau_1=\frac{10^4}{\pi^2}\approx1013\ \text{s}$ (environ $17$ minutes) et $\tau_3=\frac{\tau_1}{9}\approx113\ \text{s}$. Comme $\tau_3<\tau_1$ et $|\sin|\le1$, on a $|u|\le(20+5)\,e^{-t/\tau_1}$ : toute la barre tend vers $0\ ^\circ\text{C}$ au rythme du mode le plus lent.
$\tau_1\approx1013\ \text{s}$, $\tau_3\approx113\ \text{s}$, et doubler $L$ multiplie $\tau_1$ par $4$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Une barre de longueur $L$ a ses deux bouts isolés : $u_t=\alpha^2u_{xx}$, $u_x(0,t)=u_x(L,t)=0$, et au départ $u(x,0)=\frac{20x}{L}$, en $^\circ\text{C}$.
a) Donne les modes propres.
b) Calcule les coefficients et écris $u(x,t)$.
c) Vers quelle température tend la barre ?
Correction :
Même séparation qu'à l'exercice 1, avec $X'(0)=X'(L)=0$. Pour $\lambda=0$, $X=Ax+B$ et $X'=A=0$ : la constante est un mode. Pour $\lambda=k^2>0$, $X'(0)=0$ ne garde que $\cos(kx)$, et $\sin(kL)=0$ donne $k=\frac{n\pi}{L}$. Le cas $\lambda<0$ ne donne que $X=0$.
$a_0=\frac1L\int_0^L\frac{20x}{L}\,dx=10$. Par parties, $\int_0^Lx\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx=\frac{L^2\left((-1)^n-1\right)}{n^2\pi^2}$, donc $a_n=\frac{40\left((-1)^n-1\right)}{n^2\pi^2}$ : $-\frac{80}{n^2\pi^2}$ pour $n$ impair, $0$ pour $n$ pair.
$u(x,t)=10-\frac{80}{\pi^2}\sum_{n\text{ impair}}\frac{1}{n^2}\cos\frac{n\pi x}{L}\,e^{-\alpha^2n^2\pi^2t/L^2}$ : la barre tend vers $10\ ^\circ\text{C}$.
Sans $a_0$, tu trouverais $0\ ^\circ\text{C}$ : absurde pour une barre isolée, qui garde sa chaleur.
Exercice 5 : Un fil fin refermé en anneau est repéré par $x\in[-\pi\,;\,\pi]$. Sa température vérifie $u_t=\alpha^2u_{xx}$ avec les conditions périodiques $u(-\pi,t)=u(\pi,t)$ et $u_x(-\pi,t)=u_x(\pi,t)$.
a) Montre que les modes sont $1$, $\cos(nx)$ et $\sin(nx)$ pour $n\ge1$.
b) Écris $u(x,t)$ pour $u(x,0)=\sin x+\sin^2x$, puis sa limite.
Correction :
On résout $X''=-\lambda X$ avec $X(-\pi)=X(\pi)$ et $X'(-\pi)=X'(\pi)$. Pour $\lambda=0$, $X=Ax+B$ impose $A=0$ : la constante. Pour $\lambda=k^2>0$, $X=A\cos(kx)+B\sin(kx)$ donne $2B\sin(k\pi)=0$ et $2Ak\sin(k\pi)=0$ ; une solution non nulle exige $k=n$ entier, et alors $A$ et $B$ restent libres : deux modes par valeur de $n$. Le cas $\lambda<0$ force $X=0$.
On linéarise $\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}$, puis chaque mode reçoit son facteur $e^{-\alpha^2n^2t}$.
$u(x,t)=\frac12+e^{-\alpha^2t}\sin x-\frac12e^{-4\alpha^2t}\cos(2x)$, qui tend vers $\frac12$, la moyenne de $u(x,0)$.
Exercice 6 : Une plaque carrée $[0\,;\,a]\times[0\,;\,a]$ est en régime permanent : $u_{xx}+u_{yy}=0$. Sa température est nulle sur les côtés $x=0$, $x=a$ et $y=0$, et vaut $u(x,a)=T_0\sin\frac{\pi x}{a}$ sur le côté du haut.
a) Avec $u=X(x)\,Y(y)$, trouve les fonctions $X$ et $Y$ possibles.
b) Donne $u$, puis la température au centre en fonction de $T_0$.
Correction :
On place les modes propres sur la variable dont les deux bords sont nuls. $\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-k^2$ et $X(0)=X(a)=0$ donnent, comme à l'exercice 1, $X_n=\sin\frac{n\pi x}{a}$. Puis $Y''=\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2Y$ avec $Y(0)=0$ donne $Y_n=\sinh\frac{n\pi y}{a}$, où $\sinh s=\frac{e^s-e^{-s}}{2}$ (sinus hyperbolique) ; on note aussi $\cosh s=\frac{e^s+e^{-s}}{2}$.
Le côté du haut ne contient que le mode $n=1$ : $u=T_0\,\frac{\sinh(\pi y/a)}{\sinh\pi}\sin\frac{\pi x}{a}$. Au centre, $\sinh\pi=2\sinh\frac\pi2\cosh\frac\pi2$ simplifie le quotient.
$u\left(\frac a2,\frac a2\right)=\frac{T_0}{2\cosh(\pi/2)}\approx0{,}199\,T_0$.
Exercice 7 : Sur $\mathbb{R}$, on résout $u_{tt}=c^2u_{xx}$ avec $u(x,0)=f(x)$ et $u_t(x,0)=g(x)$.
a) Vérifie que $u=F(x-ct)+G(x+ct)$ est solution, pour $F$ et $G$ deux fois dérivables.
b) Exprime $F$ et $G$ à l'aide de $f$ et $g$, puis déduis-en $u$ (formule de d'Alembert).
c) Décris la solution pour $f(x)=e^{-x^2}$ et $g=0$.
Correction :
On dérive deux fois, puis on traduit les conditions initiales en équations sur $F$ et $G$. $u_{tt}=c^2\left(F''+G''\right)$ et $u_{xx}=F''+G''$, donc l'équation est vérifiée.
À $t=0$ : $F+G=f$ et $c\,(G'-F')=g$, d'où $G(x)-F(x)=\frac1c\int_0^xg(s)\,ds+K$. On résout : $F=\frac f2-\frac1{2c}\int_0^xg-\frac K2$ et $G=\frac f2+\frac1{2c}\int_0^xg+\frac K2$. La constante $K$ s'élimine dans la somme :
$u(x,t)=\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2}+\frac1{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds$.
Pour $f(x)=e^{-x^2}$ et $g=0$, $u=\frac12e^{-(x-ct)^2}+\frac12e^{-(x+ct)^2}$ : la bosse se coupe en deux demi-bosses qui partent à la vitesse $c$, l'une vers la droite, l'autre vers la gauche.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : On cherche $u$ bornée sur le demi-plan $y>0$ avec $u_{xx}+u_{yy}=0$ et $u(x,0)=f(x)$. On note $\hat u(\xi,y)=\int_{\mathbb{R}}u(x,y)\,e^{-ix\xi}\,dx$ la transformée de Fourier en $x$, et l'on admet que $e^{-y|\xi|}$ est la transformée de $P_y(x)=\frac{y}{\pi(x^2+y^2)}$.
a) Montre que $\hat u(\xi,y)=\hat f(\xi)\,e^{-y|\xi|}$.
b) Déduis-en $u$ sous forme d'intégrale (formule de Poisson).
c) Calcule $u$ au point $x=0$, $y=1$ quand $f$ vaut $1$ sur $[-1\,;\,1]$ et $0$ ailleurs.
Correction :
La transformée en $x$ change l'EDP en une équation différentielle en $y$. Comme $\widehat{u_{xx}}=-\xi^2\hat u$, on obtient $\hat u_{yy}=\xi^2\hat u$, donc $\hat u=A(\xi)e^{-|\xi|y}+B(\xi)e^{|\xi|y}$. $u$ bornée impose $B=0$, et $y=0$ donne $A=\hat f$.
Un produit de transformées est la transformée d'un produit de convolution, d'où $u=f*P_y$ :
$u(x,y)=\frac1\pi\int_{\mathbb{R}}f(s)\,\frac{y}{(x-s)^2+y^2}\,ds$.
Pour c), $u=\frac1\pi\int_{-1}^{1}\frac{ds}{s^2+1}=\frac1\pi\left(\frac\pi4+\frac\pi4\right)$, soit $u=\frac12$.
Exercice 9 : Une boule de rayon $R$ a sa surface maintenue à $0\ ^\circ\text{C}$. Sa température ne dépend que de $t$ et de la distance $r$ au centre : $u_t=\alpha^2\left(u_{rr}+\frac2ru_r\right)$ pour $0<r<R$, avec $u(R,t)=0$, $u$ bornée au centre et $u(r,0)=f(r)$.
a) Montre que $v=r\,u$ vérifie $v_t=\alpha^2v_{rr}$, $v(0,t)=0$ et $v(R,t)=0$.
b) Déduis-en $u$ sous forme de série.
c) Vérifie que $u$ reste finie au centre.
Correction :
Le changement d'inconnue ramène la boule à l'intervalle de l'exercice 1. $(ru)_{rr}=(u+ru_r)_r=2u_r+ru_{rr}=r\left(u_{rr}+\frac2ru_r\right)$, donc $v_t=r\,u_t=\alpha^2v_{rr}$. Ensuite $v(R,t)=R\,u(R,t)=0$, et $v(0,t)=0$ car $u$ est bornée en $0$.
L'exercice 1 avec $L=R$ et $v(r,0)=r\,f(r)$ donne :
$u(r,t)=\frac1r\sum_{n\ge1}b_n\sin\frac{n\pi r}{R}\,e^{-\alpha^2n^2\pi^2t/R^2}$, avec $b_n=\frac2R\int_0^Rr\,f(r)\sin\frac{n\pi r}{R}\,dr$.
Au centre, $\frac1r\sin\frac{n\pi r}{R}\to\frac{n\pi}{R}$ : chaque terme reste fini. L'erreur à éviter : oublier le facteur $r$ dans $b_n$.
Exercice 10 : Une particule de masse $m$ est enfermée dans une boîte $[0\,;\,L]$. Sa fonction d'onde vérifie l'équation de Schrödinger $i\hbar\,\psi_t=-\frac{\hbar^2}{2m}\psi_{xx}$, avec $\psi(0,t)=\psi(L,t)=0$ ($\hbar$ est la constante de Planck réduite).
a) En cherchant $\psi=\varphi(x)\,e^{-iEt/\hbar}$, montre que $E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$ et que $\varphi_n=\sqrt{\frac2L}\sin\frac{n\pi x}{L}$ vérifie $\int_0^L\varphi_n^2\,dx=1$.
b) Au départ, $\psi(x,0)=\frac{1}{\sqrt2}\left(\varphi_1+\varphi_2\right)$. Écris $\psi(x,t)$, puis montre que la densité $|\psi|^2$ oscille et donne sa période.
Correction :
Méthode de l'exercice 1 : seul le facteur en temps change. En reportant, $E\varphi=-\frac{\hbar^2}{2m}\varphi''$, soit $\varphi''=-\frac{2mE}{\hbar^2}\varphi$ avec $\varphi(0)=\varphi(L)=0$. Donc $\frac{2mE}{\hbar^2}=\frac{n^2\pi^2}{L^2}$, ce qui donne $E_n$. Et $\int_0^L\sin^2\frac{n\pi x}{L}\,dx=\frac L2$ justifie le facteur $\sqrt{2/L}$.
$\psi=\frac1{\sqrt2}\left(\varphi_1e^{-iE_1t/\hbar}+\varphi_2e^{-iE_2t/\hbar}\right)$. Comme $\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont réelles, $|\psi|^2=\frac12\left(\varphi_1^2+\varphi_2^2+2\varphi_1\varphi_2\cos\frac{(E_2-E_1)t}{\hbar}\right)$, avec $E_2-E_1=\frac{3\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$.
Période : $T=\frac{2\pi\hbar}{E_2-E_1}=\frac{4mL^2}{3\pi\hbar}$.
Aucun mode ne s'amortit, car $|e^{-iEt/\hbar}|=1$ : c'est la superposition qui fait bouger la densité.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : les conditions aux bords choisissent les modes (sinus, cosinus avec la constante, ou les deux en périodique), la condition initiale fixe les coefficients. Le facteur en temps signe l'équation : une exponentielle qui s'éteint pour la chaleur, une oscillation pour les ondes, une simple phase pour Schrödinger. Pour Laplace, pas de temps : la seconde variable donne des $\sinh$ ou des exponentielles.
Vérifie toujours ta solution sur les bords et à $t=0$ : c'est rapide, et une erreur de signe s'y voit tout de suite.
Sources
Aude Rondepierre et Adeline Rouchon, Introduction aux équations aux dérivées partielles, polycopié de 2e année, INSA Toulouse, 2012-2013, chapitre 4 (chaleur et cordes vibrantes par séparation des variables).