Niveau : du facile au difficile. Durée estimée : 2 h. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Une fonction $f$ est holomorphe sur un ouvert $U$ quand elle est dérivable au sens complexe en tout point $z_0$ de $U$ : la limite $\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$ existe, pour $h$ complexe. Pour le montrer, écris $f=u+iv$ avec $z=x+iy$ et vérifie les conditions de Cauchy-Riemann. Exemple : $z^2=(x^2-y^2)+i\,2xy$ donne $\frac{\partial u}{\partial x}=2x=\frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y}=-2y=-\frac{\partial v}{\partial x}$, donc $z^2$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$.
Pour une intégrale sur un contour fermé parcouru dans le sens direct (le sens trigonométrique), repère les pôles de $f$ situés à l'intérieur : ce sont les points isolés où $|f(z)|$ tend vers $+\infty$. Calcule leurs résidus (le coefficient de $\frac{1}{z-z_0}$ dans le développement de $f$ autour du pôle $z_0$), puis multiplie leur somme par $2i\pi$. Exemple : $\frac{1}{z(z-1)}$ a pour pôles $0$ et $1$, de résidus $-1$ et $1$ ; sur le cercle $|z|=2$, son intégrale vaut $2i\pi(-1+1)=0$.
Formules à retenir :
- Cauchy-Riemann : si $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $U$, $f$ est holomorphe sur $U$ si et seulement si $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ ; alors $f'=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$. En un point, ces conditions sont nécessaires pour que $f$ y soit dérivable.
- Cercle de centre $a$ et de rayon $r$ : $z=a+re^{it}$, $t\in[0\,;\,2\pi]$, $dz=ire^{it}\,dt$.
- Théorème de Cauchy : si $f$ est holomorphe sur un ouvert sans trou (simplement connexe), son intégrale sur tout contour fermé de cet ouvert est nulle.
- Pôle simple : $\mathrm{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$ ; si $f=\frac{g}{h}$ avec $g$, $h$ holomorphes, $h(z_0)=0$ et $h'(z_0)\neq0$, alors $\mathrm{Res}(f,z_0)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}$.
- Théorème des résidus : si $f$ est holomorphe sur un ouvert contenant le contour fermé simple $\gamma$ (qui ne se recoupe pas) et son intérieur, sauf en des pôles $z_k$ intérieurs à $\gamma$, alors, pour $\gamma$ parcouru une fois dans le sens direct, $\oint_\gamma f(z)\,dz=2i\pi\sum_k\mathrm{Res}(f,z_k)$.
- Intégrale en $\theta$ sur $[0\,;\,2\pi]$ : $z=e^{i\theta}$ donne $\cos\theta=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$ et $d\theta=\frac{dz}{iz}$.
- Majoration : $\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right|\le L(\gamma)\max_\gamma|f|$, où $L(\gamma)$ est la longueur de $\gamma$.
Piège classique : dérivable en un point ne veut pas dire holomorphe. L'holomorphie demande la dérivabilité sur tout un ouvert : une fonction dérivable en un seul point n'est holomorphe sur aucun ouvert.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Soit $f(x+iy)=e^x\cos y+i\,e^x\sin y$ pour $x$ et $y$ réels. Vérifie les conditions de Cauchy-Riemann, conclus que $f$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$, puis exprime $f'$ en fonction de $f$.
Correction :
On sépare $u=e^x\cos y$ et $v=e^x\sin y$, de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$, puis on compare leurs dérivées partielles.
$\frac{\partial u}{\partial x}=e^x\cos y=\frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y}=-e^x\sin y=-\frac{\partial v}{\partial x}$ : les conditions tiennent partout, donc $f$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$.
Ensuite $f'=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=e^x\cos y+i\,e^x\sin y$, soit $f'=f$ : $f$ est l'exponentielle complexe $z\mapsto e^z$.
Exercice 2 : Montre que $f(z)=\bar z$ (le conjugué de $z$) n'est dérivable au sens complexe en aucun point de $\mathbb{C}$.
Correction :
Les conditions de Cauchy-Riemann sont nécessaires en chaque point : il suffit de montrer qu'elles échouent partout.
Ici $\bar z=x-iy$, donc $u=x$ et $v=-y$. On a $\frac{\partial u}{\partial x}=1$ mais $\frac{\partial v}{\partial y}=-1$ : la première condition est fausse en tout point.
$\bar z$ n'est dérivable en aucun point, donc holomorphe nulle part, alors que ses parties réelle et imaginaire sont des polynômes.
Exercice 3 : Soit $f(z)=|z|^2$. Montre que $f$ est dérivable au sens complexe en $0$ et calcule $f'(0)$. Trouve les autres points où $f$ est dérivable, puis dis si $f$ est holomorphe sur un ouvert.
Correction :
On revient à la définition en $0$, puis on teste Cauchy-Riemann ailleurs.
En $0$ : $\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h\bar h}{h}=\bar h$, qui tend vers $0$ quand $h\to0$. Donc $f'(0)=0$.
Avec $u=x^2+y^2$ et $v=0$, les conditions s'écrivent $2x=0$ et $2y=0$ : elles ne tiennent qu'en $z=0$, donc $f$ n'est dérivable en aucun autre point.
$f$ est dérivable en $0$ seulement, avec $f'(0)=0$, et n'est holomorphe sur aucun ouvert, car tout ouvert contenant $0$ contient d'autres points. L'erreur à éviter : conclure à l'holomorphie à partir de ce seul point.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $0$ et de rayon $1$, parcouru une fois dans le sens direct. Calcule $\oint_{\mathcal{C}}z^n\,dz$ pour tout entier relatif $n$, puis déduis-en $\oint_{\mathcal{C}}\left(z^3+2z-1+\frac{3}{z}\right)dz$.
Correction :
On paramètre le cercle par $z=e^{it}$, $t\in[0\,;\,2\pi]$, d'où $dz=ie^{it}\,dt$ et $\oint_{\mathcal{C}}z^n\,dz=\int_0^{2\pi}ie^{i(n+1)t}\,dt$.
Si $n\neq-1$, une primitive est $\frac{e^{i(n+1)t}}{n+1}$, qui prend la même valeur en $0$ et en $2\pi$ : l'intégrale est nulle. Si $n=-1$, il reste $\int_0^{2\pi}i\,dt=2i\pi$.
Par linéarité, seul le terme $\frac{3}{z}$ compte ; la partie polynomiale donne $0$, comme l'annonce le théorème de Cauchy. $\oint_{\mathcal{C}}z^n\,dz=0$ si $n\neq-1$ et $2i\pi$ si $n=-1$ ; l'intégrale demandée vaut $6i\pi$.
Exercice 5 : Soit $f$ holomorphe sur un ouvert connexe $U$ (d'un seul tenant), à valeurs réelles. Montre que $f$ est constante sur $U$.
Correction :
On applique Cauchy-Riemann avec une partie imaginaire nulle.
Comme $f$ est réelle, $v=0$ et ses dérivées partielles sont nulles. Les conditions donnent alors $\frac{\partial u}{\partial x}=0$ et $\frac{\partial u}{\partial y}=0$ : le gradient de $u$ est nul sur l'ouvert connexe $U$, donc $u$ est constante.
$f=u$ est constante sur $U$. Sans connexité, c'est faux : $f$ peut valoir $0$ sur un disque et $1$ sur un autre disque, disjoint du premier.
Exercice 6 : Calcule les résidus suivants : a) $\frac{1}{z^2+1}$ en $i$ ; b) $\frac{e^z}{z^2}$ en $0$.
Correction :
On regarde si le pôle est simple ou double, puis on prend la méthode la plus courte.
a) $h(z)=z^2+1$ s'annule en $i$ et $h'(i)=2i\neq0$ : pôle simple, et $\mathrm{Res}=\frac{1}{h'(i)}=\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}$.
b) Le développement $\frac{e^z}{z^2}=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}+\frac{1}{2}+\frac{z}{6}+\dots$ montre un pôle double en $0$ et donne directement le coefficient de $\frac{1}{z}$.
a) $-\frac{i}{2}$ ; b) $1$. En b), le résidu n'est pas le coefficient de $\frac{1}{z^2}$.
Exercice 7 : Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $0$ et de rayon $2$, parcouru une fois dans le sens direct. Calcule $\oint_{\mathcal{C}}\frac{e^z}{z(z-3)}\,dz$.
Correction :
On applique le théorème des résidus en ne gardant que les pôles intérieurs au cercle.
Les pôles sont $0$ et $3$, avec $|0|<2$ et $|3|>2$ : seul $0$ est à l'intérieur. C'est un pôle simple, et $\mathrm{Res}(f,0)=\lim_{z\to0}\frac{e^z}{z-3}=-\frac{1}{3}$.
$\oint_{\mathcal{C}}\frac{e^z}{z(z-3)}\,dz=2i\pi\times\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2i\pi}{3}$. Ajouter le résidu en $3$, qui vaut $\frac{e^3}{3}$, serait faux : ce pôle est hors du cercle.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Soit $f=u+iv$ holomorphe sur un ouvert connexe $U$, avec $|f|$ constant sur $U$. Montre que $f$ est constante sur $U$.
Correction :
On dérive $u^2+v^2$, puis on remplace les dérivées de $v$ grâce à Cauchy-Riemann.
Notons $c$ la valeur constante de $u^2+v^2=|f|^2$. Si $c=0$, $f=0$. Sinon, en dérivant par rapport à $x$ puis à $y$ : $u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial x}=0$ et $u\frac{\partial u}{\partial y}+v\frac{\partial v}{\partial y}=0$.
Avec $\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$ et $\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}$, on obtient $u\frac{\partial u}{\partial x}-v\frac{\partial u}{\partial y}=0$ et $v\frac{\partial u}{\partial x}+u\frac{\partial u}{\partial y}=0$. Ce système a pour déterminant $u^2+v^2=c\neq0$, donc $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0$, puis les dérivées de $v$ sont nulles aussi.
Comme $U$ est connexe, $u$ et $v$ sont constantes : $f$ est constante sur $U$.
Exercice 9 : Calcule $I=\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2+\cos\theta}$.
Correction :
On pose $z=e^{i\theta}$ pour transformer $I$ en intégrale sur le cercle unité $\mathcal{C}$, parcouru dans le sens direct.
Avec $\cos\theta=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$ et $d\theta=\frac{dz}{iz}$, on obtient $I=\oint_{\mathcal{C}}\frac{2\,dz}{i(z^2+4z+1)}$. Les racines de $z^2+4z+1$ sont $z_1=-2+\sqrt3\approx-0{,}27$ et $z_2=-2-\sqrt3\approx-3{,}73$ : seule $z_1$ est dans le disque unité.
En ce pôle simple, $\mathrm{Res}=\frac{2}{i(z_1-z_2)}=\frac{2}{2i\sqrt3}=\frac{1}{i\sqrt3}$, donc $I=2i\pi\times\frac{1}{i\sqrt3}$.
$I=\frac{2\pi}{\sqrt3}\approx3{,}63$. Le résultat est réel et positif, comme il se doit pour l'intégrale d'une fonction positive.
Exercice 10 : En traitement du signal, la transformée de Fourier d'un signal $s$ est $\hat s(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)\,e^{-i\omega t}\,dt$. On étudie $s(t)=\frac{1}{1+t^2}$, grandeurs sans unité. Justifie que $\hat s(1)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos t}{1+t^2}\,dt$, puis calcule cette intégrale $I$ en intégrant $f(z)=\frac{e^{iz}}{1+z^2}$ sur le bord du demi-disque supérieur de centre $0$ et de rayon $R>1$, avant de faire tendre $R$ vers $+\infty$.
Correction :
On ferme le segment $[-R\,;\,R]$ par le demi-cercle $\Gamma_R$ et on applique le théorème des résidus.
Comme $e^{-it}=\cos t-i\sin t$ et que $\frac{\sin t}{1+t^2}$ est impaire et intégrable sur $\mathbb{R}$, la partie imaginaire est nulle : $\hat s(1)=I$.
Les pôles de $f$ sont $i$ et $-i$ ; seul $i$ est dans le demi-disque, et $\mathrm{Res}(f,i)=\frac{e^{i\cdot i}}{2i}=\frac{e^{-1}}{2i}$. Donc $\int_{-R}^{R}f(t)\,dt+\int_{\Gamma_R}f(z)\,dz=2i\pi\times\frac{e^{-1}}{2i}=\frac{\pi}{e}$.
Sur $\Gamma_R$, $z=x+iy$ avec $y\ge0$, donc $|e^{iz}|=e^{-y}\le1$ et $|1+z^2|\ge R^2-1$. La majoration donne $\left|\int_{\Gamma_R}f(z)\,dz\right|\le\frac{\pi R}{R^2-1}$, qui tend vers $0$.
Quand $R\to+\infty$, $\int_{-R}^{R}f(t)\,dt$ tend vers $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos t+i\sin t}{1+t^2}\,dt=I$. $\hat s(1)=I=\frac{\pi}{e}\approx1{,}16$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : l'holomorphie se juge sur un ouvert, jamais en un seul point. Avant de calculer un résidu, place chaque pôle par rapport au contour. Pour une intégrale réelle, choisis un contour qui la contient (le cercle unité pour $\int_0^{2\pi}$, le bord d'un demi-disque pour $\int_{-\infty}^{+\infty}$) et montre que le morceau ajouté tend vers $0$.
Ces exercices relèvent du cours « Analyse complexe » proposé au semestre 6 de la licence de mathématiques de l'Université Paris Cité ; à l'Université d'Angers, ce cours est placé à bac +4 et vise à « savoir calculer des intégrales réelles en utilisant la formule des résidus ».
Sources
Université Paris Cité, fiche du cours « Analyse complexe », licence de mathématiques, semestre 6 : offre de formation.
Université d'Angers, fiche du cours « Analyse complexe », mise à jour le 20 novembre 2024 : fiche du cours (PDF).