Plongez dans l'Analyse Complexe : Fonctions Holomorphes et Théorie

Correction :

Nous allons vérifier la définition d'une fonction holomorphe, qui est une fonction différentiable au sens complexe.

Méthode : Utiliser la définition de la dérivée complexe, ou vérifier les conditions de Cauchy-Riemann.

Solution étape par étape :

La définition de la dérivée complexe de $f$ en $z_0$ est :

$f'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}$

Ici, $f(z) = z^2$. Donc $f(z_0+h) = (z_0+h)^2 = z_0^2 + 2z_0 h + h^2$.

$\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = \frac{(z_0^2 + 2z_0 h + h^2) - z_0^2}{h} = \frac{2z_0 h + h^2}{h} = 2z_0 + h$.

Quand $h \to 0$, la limite est $2z_0$.

Puisque la limite existe pour tout $z_0 \in \mathbb{C}$, la fonction $f(z) = z^2$ est différentiable sur tout $\mathbb{C}$. Elle est donc holomorphe sur $\mathbb{C}$.

Sa dérivée est $f'(z) = 2z$.

Correction :

Pour cet exercice, nous allons utiliser les conditions de Cauchy-Riemann.

Méthode : Vérifier les conditions de Cauchy-Riemann.

Solution étape par étape :

On écrit $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$, où $u(x, y) = x^2 - y^2$ et $v(x, y) = 2xy$.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont :

1. $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$
2. $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

Calculons les dérivées partielles :

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -2y$

$\frac{\partial v}{\partial x} = 2y$

$\frac{\partial v}{\partial y} = 2x$

Vérifions les conditions :

1. $2x = 2x$ (Vrai)
2. $-2y = -(2y)$ (Vrai)

Les fonctions $u$ et $v$ sont des polynômes, donc elles sont continûment différentiables sur $\mathbb{R}^2$. Comme les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites partout, $f(z)$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$.

La dérivée $f'(z)$ est donnée par $f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}$ (ou $\frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}$).

$f'(z) = 2x + i(2y) = 2(x+iy) = 2z$.

Correction :

Nous allons tester les conditions de Cauchy-Riemann pour la fonction $f(z) = \bar{z}$.

Méthode : Vérifier les conditions de Cauchy-Riemann.

Solution étape par étape :

On écrit $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$.

Puisque $z = x+iy$, $\bar{z} = x-iy$. Donc $u(x, y) = x$ et $v(x, y) = -y$.

Calculons les dérivées partielles :

$\frac{\partial u}{\partial x} = 1$

$\frac{\partial u}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial y} = -1$

Vérifions les conditions de Cauchy-Riemann :

1. $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \implies 1 = -1$ (Faux)
2. $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \implies 0 = -(0)$ (Vrai)

La première condition n'est pas satisfaite. Par conséquent, $f(z) = \bar{z}$ n'est pas holomorphe en aucun point de $\mathbb{C}$.

Correction :

Nous allons utiliser les conditions de Cauchy-Riemann pour la fonction exponentielle complexe.

Méthode : Vérifier les conditions de Cauchy-Riemann.

Solution étape par étape :

On écrit $z = x+iy$. Alors $f(z) = e^z = e^{x+iy} = e^x e^{iy} = e^x (\cos(y) + i\sin(y))$.

On identifie la partie réelle et la partie imaginaire :

$u(x, y) = e^x \cos(y)$

$v(x, y) = e^x \sin(y)$

Calculons les dérivées partielles :

$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos(y)$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin(y)$

$\frac{\partial v}{\partial x} = e^x \sin(y)$

$\frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos(y)$

Vérifions les conditions de Cauchy-Riemann :

1. $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \implies e^x \cos(y) = e^x \cos(y)$ (Vrai)
2. $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \implies -e^x \sin(y) = -(e^x \sin(y))$ (Vrai)

Les dérivées partielles sont continues partout. Donc, $f(z) = e^z$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$.

Calculons la dérivée :

$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = e^x \cos(y) + i (e^x \sin(y)) = e^x (\cos(y) + i\sin(y)) = e^x e^{iy} = e^{x+iy} = e^z$.

Correction :

Nous allons examiner les conditions de Cauchy-Riemann pour $f(z) = |z|^2$.

Méthode : Vérifier les conditions de Cauchy-Riemann.

Solution étape par étape :

On a $f(z) = x^2 + y^2$. Donc $u(x, y) = x^2 + y^2$ et $v(x, y) = 0$.

Calculons les dérivées partielles :

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$

$\frac{\partial u}{\partial y} = 2y$

$\frac{\partial v}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial y} = 0$

Les conditions de Cauchy-Riemann sont :

1. $2x = 0$
2. $2y = -(0) \implies 2y = 0$

Ces deux conditions sont satisfaites simultanément si et seulement si $x=0$ et $y=0$. Autrement dit, seulement au point $z = 0+0i = 0$.

Les dérivées partielles sont continues partout. Donc, $f$ est différentiable au sens complexe uniquement à l'origine.

Correction :

Cet exercice utilise la relation entre la partie réelle, la partie imaginaire et la dérivée d'une fonction holomorphe.

Méthode : Utiliser les conditions de Cauchy-Riemann et la définition de la dérivée.

Solution étape par étape :

Si $f(z)$ est réelle sur $D$, cela signifie que sa partie imaginaire est nulle partout dans $D$. Soit $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$.

On a $v(x, y) = 0$ pour tout $(x, y)$ dans le domaine correspondant à $D$.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$.

Puisque $v(x, y) = 0$ pour tout $(x, y)$, ses dérivées partielles par rapport à $x$ et $y$ sont nulles :

$\frac{\partial v}{\partial x} = 0$ et $\frac{\partial v}{\partial y} = 0$.

Les conditions de Cauchy-Riemann deviennent alors :

1. $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$
2. $\frac{\partial u}{\partial y} = 0$

Cela signifie que la partie réelle $u(x, y)$ est constante sur le domaine $D$ (car ses dérivées partielles sont nulles dans un domaine connexe).

Comme $f(z) = u(x, y)$ et $u$ est constante, $f(z)$ est constante sur $D$.

Correction :

Cet exercice est une conséquence importante du principe du module maximum.

Méthode : Analyser la dérivabilité de $|f(z)|^2$ et appliquer les conditions de Cauchy-Riemann.

Solution étape par étape :

Soit $|f(z)| = C$ (une constante positive) sur un domaine $D$. Alors $|f(z)|^2 = C^2$ est aussi constante sur $D$.

Soit $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$. Alors $|f(z)|^2 = u(x, y)^2 + v(x, y)^2$.

Puisque $|f(z)|^2$ est constante, ses dérivées partielles par rapport à $x$ et $y$ sont nulles.

$\frac{\partial}{\partial x} (u^2 + v^2) = 2u \frac{\partial u}{\partial x} + 2v \frac{\partial v}{\partial x} = 0$.

$\frac{\partial}{\partial y} (u^2 + v^2) = 2u \frac{\partial u}{\partial y} + 2v \frac{\partial v}{\partial y} = 0$.

Puisque $f$ est holomorphe, elle satisfait les conditions de Cauchy-Riemann : $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$.

Les deux équations deviennent :

1. $2u \frac{\partial u}{\partial x} + 2v (-\frac{\partial u}{\partial y}) = 0 \implies u \frac{\partial u}{\partial x} - v \frac{\partial u}{\partial y} = 0$.
2. $2u \frac{\partial u}{\partial y} + 2v \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \implies u \frac{\partial u}{\partial y} + v \frac{\partial u}{\partial x} = 0$.

Considérons ces deux équations comme un système linéaire pour $\frac{\partial u}{\partial x}$ et $\frac{\partial u}{\partial y}$ :

$\begin{pmatrix} u & -v \\ v & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Le déterminant de la matrice est $u^2 - (-v^2) = u^2 + v^2 = |f(z)|^2$.

Si $|f(z)| = C > 0$, alors $|f(z)|^2 = C^2 > 0$. Le déterminant est non nul. La seule solution de ce système est $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ et $\frac{\partial u}{\partial y} = 0$.

Si $f(z)$ n'est pas identiquement nulle, alors $|f(z)|^2 > 0$. Les dérivées partielles de $u$ sont nulles, donc $u$ est constante. Puisque $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$, les dérivées partielles de $v$ sont aussi nulles, donc $v$ est constante.

Donc $f(z) = u + iv$ est constante.

Si $|f(z)| = C = 0$, alors $f(z) = 0$ pour tout $z \in D$, ce qui est une fonction constante.

Correction :

Nous allons calculer une intégrale curviligne d'une fonction complexe en utilisant une paramétrisation.

Méthode : Paramétrer la courbe et substituer dans l'intégrale.

Solution étape par étape :

Le cercle unité $C$ est décrit par $z(t) = e^{it}$ pour $t \in [0, 2\pi]$.

Alors $dz = z'(t) dt = ie^{it} dt$.

La fonction est $f(z) = \frac{1}{z}$. Sur le cercle unité, $z = e^{it}$, donc $f(z(t)) = \frac{1}{e^{it}} = e^{-it}$.

L'intégrale devient :

$\oint_C \frac{1}{z} dz = \int_0^{2\pi} f(z(t)) z'(t) dt = \int_0^{2\pi} e^{-it} (ie^{it}) dt$

$= \int_0^{2\pi} i e^{-it} e^{it} dt = \int_0^{2\pi} i dt$

$= i [t]_0^{2\pi} = i (2\pi - 0) = 2\pi i$.

Correction :

Ce calcul d'intégrale peut être effectué de deux manières : par paramétrisation ou par le théorème de Cauchy.

Méthode : Utiliser le théorème de Cauchy.

Solution étape par étape :

La fonction $f(z) = z^3 + 2z - 1$ est un polynôme. Les polynômes sont holomorphes sur tout le plan complexe $\mathbb{C}$.

Le cercle unité $C$ est une courbe fermée simple dans le domaine d'holomorphie de $f(z)$.

Le théorème de Cauchy stipule que si une fonction $f$ est holomorphe sur un domaine simplement connexe $D$, alors pour toute courbe fermée simple $C$ dans $D$, $\oint_C f(z) dz = 0$.

Ici, $D = \mathbb{C}$ est simplement connexe, et $C$ est dans $D$. Donc, l'intégrale est nulle.

Sans le théorème de Cauchy, par paramétrisation :

$z(t) = e^{it}$, $dz = ie^{it} dt$ pour $t \in [0, 2\pi]$.

$\oint_C (z^3 + 2z - 1) dz = \int_0^{2\pi} ((e^{it})^3 + 2e^{it} - 1) ie^{it} dt$

$= i \int_0^{2\pi} (e^{i3t} + 2e^{it} - 1) e^{it} dt = i \int_0^{2\pi} (e^{i4t} + 2e^{i2t} - e^{it}) dt$

$= i \left[ \frac{e^{i4t}}{4i} + 2\frac{e^{i2t}}{2i} - \frac{e^{it}}{i} \right]_0^{2\pi}$

$= \left[ \frac{e^{i4t}}{4} + e^{i2t} - e^{it} \right]_0^{2\pi}$

Comme $e^{i 2\pi k} = 1$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$ :

$= \left(\frac{1}{4} + 1 - 1 \right) - \left(\frac{1}{4} + 1 - 1 \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$.

Correction :

Cette intégrale a une singularité à l'intérieur du contour. Nous utiliserons le théorème des résidus.

Méthode : Identifier les singularités, calculer leurs résidus, et appliquer le théorème des résidus.

Solution étape par étape :

La fonction $f(z) = \frac{1}{z(z-1)}$ a des pôles simples en $z=0$ et $z=1$. Les deux pôles sont à l'intérieur du cercle $C$ de rayon 2.

Le théorème des résidus stipule que $\oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k)$, où $z_k$ sont les singularités à l'intérieur de $C$.

Calculons les résidus :

Résidu en $z=0$ :

Pour un pôle simple $z_0$, $\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z-z_0) f(z)$.

$\text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z-1} = \frac{1}{0-1} = -1$.

Résidu en $z=1$ :

$\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z-1) \cdot \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 1} \frac{1}{z} = \frac{1}{1} = 1$.

La somme des résidus est $\text{Res}(f, 0) + \text{Res}(f, 1) = -1 + 1 = 0$.

Appliquons le théorème des résidus :

$\oint_C f(z) dz = 2\pi i \times (0) = 0$.