Niveau : supérieur, du facile au difficile. Durée estimée : 90 min. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Une variable aléatoire discrète associe un nombre à chaque issue d'une expérience, et ses valeurs se comptent (une liste finie, ou une suite numérotée). Pour l'étudier, procède dans cet ordre : liste ses valeurs, calcule la probabilité de chacune, vérifie que leur somme vaut $1$, puis calcule l'espérance (la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités) et la variance (la dispersion autour de cette moyenne). Exemple : si $X$ vaut $0$, $1$ ou $2$ avec les probabilités $0{,}5$, $0{,}3$ et $0{,}2$, alors $E(X) = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}2 = 0{,}7$ et $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 1{,}1 - 0{,}49 = 0{,}61$.
Quand une épreuve à deux issues (succès ou échec) se répète de façon indépendante, pense aux lois usuelles : le nombre de succès en $n$ essais suit une loi binomiale, le rang du premier succès une loi géométrique. La loi de Poisson compte des événements rares (défauts, pannes) ; elle approche $\mathcal{B}(n,p)$ quand $n$ est grand et $p$ petit, avec $\lambda = np$. Les notations $\mathcal{G}(p)$ et $\mathcal{P}(\lambda)$ suivent le programme des classes préparatoires MP et MPI (2021).
Formules à retenir :
- Loi : $P(X = x_i) = p_i \ge 0$ et $\sum_i p_i = 1$ ; fonction de répartition $F(x) = P(X \le x)$.
- Espérance : $E(X) = \sum_i x_i\,p_i$ ; formule de transfert $E\big(g(X)\big) = \sum_i g(x_i)\,p_i$.
- Variance : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ et écart type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
- Transformation affine : $E(aX+b) = aE(X)+b$ et $V(aX+b) = a^2\,V(X)$.
| Loi | Valeurs | $P(X=k)$ | $E(X)$ | $V(X)$ |
|---|---|---|---|---|
| Binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ | $\{0, \dots, n\}$ | $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| Géométrique $\mathcal{G}(p)$ | $\mathbb{N}^*$ | $(1-p)^{k-1}p$ | $\frac{1}{p}$ | $\frac{1-p}{p^2}$ |
| Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ | $\mathbb{N}$ | $e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
Piège classique : $V(aX+b)$ ne vaut pas $aV(X)+b$. Ajouter une constante décale toutes les valeurs sans changer leur dispersion, donc $b$ disparaît ; multiplier par $a$ multiplie les écarts par $a$, donc la variance par $a^2$. De même, $E(X^2)$ n'est pas $E(X)^2$ : leur différence est justement la variance.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire successivement 2 boules sans remise, et $X$ compte les boules rouges tirées. Détermine la loi de $X$, puis calcule $E(X)$.
Correction :
L'ordre ne change pas $X$ : on compte les paires de boules, au nombre de $\binom{5}{2} = 10$, toutes équiprobables.
$P(X=0) = \frac{\binom{2}{2}}{10} = \frac{1}{10}$, $P(X=1) = \frac{\binom{3}{1}\binom{2}{1}}{10} = \frac{6}{10}$ et $P(X=2) = \frac{\binom{3}{2}}{10} = \frac{3}{10}$ : la somme vaut bien $1$.
Puis $E(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10} = \frac{12}{10}$.
Résultat : $P(X=0) = 0{,}1$, $P(X=1) = 0{,}6$, $P(X=2) = 0{,}3$ et $E(X) = 1{,}2$ boule rouge.
Exercice 2 : La loi de $X$ est donnée par $P(X=-1) = 0{,}2$, $P(X=0) = 0{,}3$, $P(X=1) = 0{,}4$ et $P(X=2) = 0{,}1$. Calcule $E(X)$, $V(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$.
Correction :
On calcule $E(X)$, puis $E(X^2)$ par la formule de transfert, et enfin la variance.
$E(X) = -0{,}2 + 0 + 0{,}4 + 0{,}2 = 0{,}4$ et $E(X^2) = 0{,}2 + 0 + 0{,}4 + 4 \times 0{,}1 = 1$, donc $V(X) = 1 - 0{,}4^2 = 0{,}84$.
Résultat : $E(X) = 0{,}4$, $V(X) = 0{,}84$ et $\sigma(X) = \sqrt{0{,}84} \approx 0{,}92$.
Dans $E(X^2)$, la valeur $-1$ devient $(-1)^2 = 1$ ; la garder négative donnerait une variance fausse.
Exercice 3 : Une pièce truquée tombe sur « face » avec la probabilité $0{,}6$. On la lance 10 fois, de façon indépendante, et $X$ compte les « face ». Donne la loi de $X$ en la justifiant, puis calcule $E(X)$, $V(X)$ et $P(X=6)$.
Correction :
On répète 10 fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues dont le succès « face » a la probabilité $0{,}6$ : $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}6)$.
$E(X) = 10 \times 0{,}6 = 6$, $V(X) = 10 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = 2{,}4$ et $P(X=6) = \binom{10}{6} \times 0{,}6^6 \times 0{,}4^4 = 210 \times 0{,}6^6 \times 0{,}4^4$.
Résultat : $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}6)$, $E(X) = 6$, $V(X) = 2{,}4$ et $P(X=6) \approx 0{,}251$.
L'espérance vaut $6$, mais $X$ ne vaut $6$ qu'environ une fois sur quatre : $E(X)$ est une moyenne, pas une valeur certaine.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : $X$ prend les valeurs $1$, $2$, $3$ et $4$, avec $P(X=k) = ak$ où $a$ est un réel. Détermine $a$, puis la fonction de répartition $F$ de $X$, et déduis-en $P(2 \le X \le 3)$.
Correction :
La somme des probabilités vaut $1$ : $a(1+2+3+4) = 10a = 1$, donc $a = \frac{1}{10}$, et toutes les probabilités $\frac{k}{10}$ sont bien positives.
$F(x) = P(X \le x)$ cumule les probabilités des valeurs inférieures ou égales à $x$ :
$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 1 \\ 0{,}1 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 0{,}3 & \text{si } 2 \le x < 3 \\ 0{,}6 & \text{si } 3 \le x < 4 \\ 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$$
Comme $X$ ne prend que des valeurs entières, $P(2 \le X \le 3) = F(3) - F(1) = 0{,}6 - 0{,}1$.
Résultat : $a = 0{,}1$ et $P(2 \le X \le 3) = 0{,}5$.
Écrire $F(3) - F(2)$ oublie $P(X=2)$ : pour une variable discrète, l'inégalité large compte.
Exercice 5 : Un livreur à vélo effectue $X$ livraisons par heure, avec $E(X) = 4$ et $V(X) = 1{,}5$ (données fictives). Il touche 3 euros par livraison et un fixe de 10 euros de l'heure, soit un revenu horaire $R = 3X + 10$, en euros. Calcule $E(R)$, $V(R)$ et $\sigma(R)$.
Correction :
$R$ est une transformation affine de $X$, avec $a = 3$ et $b = 10$ : $E(R) = 3 \times 4 + 10 = 22$ et $V(R) = 3^2 \times 1{,}5 = 13{,}5$, d'où $\sigma(R) = \sqrt{13{,}5}$.
Résultat : $E(R) = 22$ euros, $V(R) = 13{,}5$ euros au carré et $\sigma(R) \approx 3{,}67$ euros.
Écrire $V(R) = 3 \times 1{,}5 + 10$ est le piège : le fixe ne change pas la dispersion, et le facteur $3$ passe au carré.
Exercice 6 : On lance un dé équilibré à six faces jusqu'à obtenir un 6, les lancers étant indépendants, et $T$ est le rang du premier 6. Donne la loi de $T$ et son espérance, puis calcule la probabilité qu'il faille plus de 3 lancers.
Correction :
$T$ est le rang du premier succès « obtenir 6 », de probabilité $\frac{1}{6}$, dans des épreuves indépendantes : $T \sim \mathcal{G}\left(\frac{1}{6}\right)$, $P(T=k) = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1}\frac{1}{6}$ pour $k \ge 1$, et $E(T) = 6$.
L'événement $T > 3$ signifie qu'aucun des trois premiers lancers ne donne 6 : $P(T > 3) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$.
Résultat : $T \sim \mathcal{G}\left(\frac{1}{6}\right)$, $E(T) = 6$ lancers et $P(T > 3) \approx 0{,}579$.
Inutile de sommer les $P(T=k)$ pour $k \ge 4$ : traduire l'événement en mots suffit.
Exercice 7 : Dans une usine, chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $0{,}01$, indépendamment des autres. On prélève 200 pièces et $Y$ compte les défectueuses. Donne la loi exacte de $Y$ et la loi de Poisson qui l'approche, puis calcule $P(Y \le 1)$ avec chacune et compare.
Correction :
On répète 200 épreuves indépendantes de succès « défectueuse » : $Y \sim \mathcal{B}(200\,;\,0{,}01)$. Comme $n = 200$ est grand et $p = 0{,}01$ petit, on l'approche par $\mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda = np = 2$.
Loi exacte : $P(Y \le 1) = 0{,}99^{200} + 200 \times 0{,}01 \times 0{,}99^{199} \approx 0{,}4046$. Loi de Poisson : $P(Y \le 1) \approx e^{-2}(1 + 2) = 3e^{-2} \approx 0{,}4060$.
Résultat : $P(Y \le 1) \approx 0{,}4046$ avec la loi exacte et $0{,}4060$ avec la loi de Poisson, un écart inférieur à $0{,}002$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Un composant électronique est défectueux avec la probabilité $0{,}05$, indépendamment des autres. Combien faut-il en prélever, au minimum, pour que la probabilité d'en avoir au moins un défectueux soit supérieure ou égale à $0{,}99$ ?
Correction :
Avec $N$ composants, le nombre $X$ de défectueux suit $\mathcal{B}(N\,;\,0{,}05)$, et le contraire de « au moins un » est « aucun » : $P(X \ge 1) = 1 - 0{,}95^N$.
On veut $1 - 0{,}95^N \ge 0{,}99$, soit $0{,}95^N \le 0{,}01$. On applique $\ln$, fonction croissante, puis on divise par $\ln 0{,}95 < 0$, ce qui change le sens :
$$N \ge \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}95} \approx 89{,}8$$
Contrôle : $0{,}95^{89} \approx 0{,}0104$ et $0{,}95^{90} \approx 0{,}0099$.
Résultat : au minimum $90$ composants.
Exercice 9 : $X$ suit la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$, avec $\lambda > 0$. Montre que $E(X) = \lambda$, puis calcule $E\big(X(X-1)\big)$ et déduis-en que $V(X) = \lambda$.
Correction :
On simplifie $k$ avec $k!$, puis on décale l'indice pour retrouver $\sum_{j \ge 0} \frac{\lambda^j}{j!} = e^{\lambda}$. Les termes sont positifs et les séries convergent, donc les espérances existent.
$$\begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=1}^{+\infty} k\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \\ &= \lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda e^{-\lambda}e^{\lambda} = \lambda \end{aligned}$$
De même, avec la formule de transfert (les termes $k = 0$ et $k = 1$ sont nuls) :
$$\begin{aligned} E\big(X(X-1)\big) &= \sum_{k=2}^{+\infty} k(k-1)\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \\ &= \lambda^2 e^{-\lambda}\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!} = \lambda^2 \end{aligned}$$
Par linéarité, $E(X^2) = E\big(X(X-1)\big) + E(X) = \lambda^2 + \lambda$, d'où $V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2$.
Résultat : $E(X) = V(X) = \lambda$.
La simplification $\frac{k}{k!} = \frac{1}{(k-1)!}$ ne vaut que pour $k \ge 1$ : on retire d'abord le terme $k = 0$, qui est nul.
Exercice 10 : Une équipe marque en moyenne 2 buts par match, et l'on modélise son nombre de buts dans un match par $X \sim \mathcal{P}(2)$, les matchs étant indépendants. Calcule la probabilité qu'elle marque plus de 2 buts dans un match. Sur 10 matchs, $N$ compte ceux où elle en marque plus de 2 : donne la loi de $N$, son espérance et $P(N=3)$.
Correction :
Le contraire de « plus de 2 » est « au plus 2 », qui ne demande que trois termes :
$$P(X > 2) = 1 - e^{-2}\left(1 + 2 + \frac{2^2}{2!}\right) = 1 - 5e^{-2} \approx 0{,}3233$$
Chaque match est une épreuve à deux issues, de succès « plus de 2 buts » et de probabilité $p = 1 - 5e^{-2}$, répétée 10 fois de façon indépendante : $N \sim \mathcal{B}(10\,;\,p)$, $E(N) = 10p$ et $P(N=3) = \binom{10}{3}p^3(1-p)^7$.
Résultat : $P(X > 2) \approx 0{,}3233$, $N \sim \mathcal{B}(10\,;\,p)$, $E(N) \approx 3{,}23$ matchs et $P(N=3) \approx 0{,}263$.
Garde $p$ exact jusqu'au bout : avec $e^{-2}$ arrondi à $0{,}1353$, on trouverait $0{,}3235$ au lieu de $0{,}3233$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : vérifie d'abord que ta loi en est une (probabilités positives, somme égale à $1$). Calcule la variance par $E(X^2) - E(X)^2$, sans oublier que $V(aX+b) = a^2V(X)$. Devant « au moins un » ou « plus de », passe par l'événement contraire.
Avant une évaluation, refais les exercices 8 à 10 sans regarder la correction : ils enchaînent plusieurs notions, comme un sujet d'examen.
Sources
Programme de mathématiques des classes préparatoires MP et MPI, ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021, partie « Variables aléatoires discrètes » : annexe 1 en PDF.