Probabilités : Maîtrise les Variables Aléatoires Discrètes

Correction :

L'ensemble des valeurs possibles pour $X$ (nombre de boules rouges tirées) est $\{0, 1, 2\}$.

Calculons les probabilités pour chaque valeur :

• $P(X=0)$ : On tire 0 boule rouge, donc 2 boules bleues. Il y a $\binom{2}{2}=1$ façon de choisir les 2 boules bleues parmi les 2. Le nombre total de façons de tirer 2 boules parmi 5 est $\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$. Donc $P(X=0) = \frac{1}{10}$.
• $P(X=1)$ : On tire 1 boule rouge et 1 boule bleue. Il y a $\binom{3}{1}$ façons de choisir la boule rouge et $\binom{2}{1}$ façons de choisir la boule bleue. Donc $3 \times 2 = 6$ façons. $P(X=1) = \frac{6}{10}$.
• $P(X=2)$ : On tire 2 boules rouges. Il y a $\binom{3}{2}=3$ façons de choisir les 2 boules rouges. $P(X=2) = \frac{3}{10}$.

Vérification : $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{10} + \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \frac{10}{10} = 1$. La loi est valide.

Loi de probabilité de $X$ :

Correction :

L'espérance mathématique $E(X)$ est calculée par la formule $E(X) = \sum_{k} k \cdot P(X=k)$.

$E(X) = (-1) \times 0.2 + 0 \times 0.3 + 1 \times 0.4 + 2 \times 0.1$

$E(X) = -0.2 + 0 + 0.4 + 0.2 = 0.4$

La variance $Var(X)$ est calculée par la formule $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$. D'abord, calculons $E(X^2)$ :

$E(X^2) = (-1)^2 \times 0.2 + 0^2 \times 0.3 + 1^2 \times 0.4 + 2^2 \times 0.1$

$E(X^2) = 1 \times 0.2 + 0 \times 0.3 + 1 \times 0.4 + 4 \times 0.1$

$E(X^2) = 0.2 + 0 + 0.4 + 0.4 = 1.0$

Maintenant, calculons la variance :

$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1.0 - (0.4)^2 = 1.0 - 0.16 = 0.84$

Correction :

Cette expérience correspond à une loi binomiale car :

• Il y a un nombre fixe d'essais ($n=10$).
• Chaque essai a deux issues possibles : "face" (succès) ou "pile" (échec).
• Les essais sont indépendants.
• La probabilité de succès est constante ($p=0.6$).

Donc, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0.6$. On note $X \sim B(10, 0.6)$.

La loi de probabilité est donnée par $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ pour $k \in \{0, 1, \dots, 10\}$.

Espérance : Pour une loi binomiale $B(n, p)$, $E(X) = np$.

$E(X) = 10 \times 0.6 = 6$.

Variance : Pour une loi binomiale $B(n, p)$, $Var(X) = np(1-p)$.

$Var(X) = 10 \times 0.6 \times (1-0.6) = 10 \times 0.6 \times 0.4 = 2.4$.

Correction :

La variable $Y$ suit une loi binomiale $B(n=200, p=0.01)$ car les tirages sont indépendants, le nombre d'essais est fixé, et la probabilité de défaut est constante.

L'approximation par la loi de Poisson est justifiée lorsque $n$ est grand et $p$ est petit. Ici $n=200$ est grand et $p=0.01$ est petit. Le paramètre $\lambda$ de la loi de Poisson est l'espérance de la loi binomiale : $\lambda = np$.

Calcul du paramètre $\lambda$ :

$\lambda = 200 \times 0.01 = 2$.

Donc, $Y$ peut être approximée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda=2$. On note $Y \sim \mathcal{P}(2)$.

La loi de probabilité de Poisson est donnée par $P(Y=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$.

Calcul de la probabilité d'avoir exactement 3 pièces défectueuses ($k=3$) :

$P(Y=3) = \frac{2^3 e^{-2}}{3!} = \frac{8 e^{-2}}{6} = \frac{4}{3} e^{-2}$.

En utilisant une calculatrice : $e^{-2} \approx 0.1353$.

$P(Y=3) \approx \frac{4}{3} \times 0.1353 \approx 0.1804$.

Correction :

Calcul de l'espérance $E(X)$ :

$E(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{3}{10} + 2 \times \frac{4}{10} + 3 \times \frac{2}{10}$

$E(X) = 0 + \frac{3}{10} + \frac{8}{10} + \frac{6}{10} = \frac{17}{10} = 1.7$

Calcul de $E(X^2)$ pour la variance :

$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{10} + 1^2 \times \frac{3}{10} + 2^2 \times \frac{4}{10} + 3^2 \times \frac{2}{10}$

$E(X^2) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{3}{10} + 4 \times \frac{4}{10} + 9 \times \frac{2}{10}$

$E(X^2) = 0 + \frac{3}{10} + \frac{16}{10} + \frac{18}{10} = \frac{37}{10} = 3.7$

Calcul de la variance $Var(X)$ :

$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 3.7 - (1.7)^2 = 3.7 - 2.89 = 0.81$

Calcul de l'écart-type $\sigma(X)$ :

$\sigma(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.81} = 0.9$

Correction :

Chaque lancer de dé est une épreuve de Bernoulli avec succès si on obtient un 6. La probabilité de succès est $p = P(\text{obtenir un 6}) = 1/6$. La probabilité d'échec est $1-p = 5/6$. Les lancers sont indépendants. Nous avons un nombre fixe d'essais ($n=3$).

Donc, $X$ suit une loi binomiale $B(n=3, p=1/6)$.

La probabilité d'obtenir au moins un 6 est $P(X \ge 1)$. Il est plus simple de calculer la probabilité complémentaire : $P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)$.

$P(X=0)$ est la probabilité de n'obtenir aucun 6 en 3 lancers.

$P(X=0) = \binom{3}{0} (1/6)^0 (5/6)^{3-0} = 1 \times 1 \times (5/6)^3 = (5/6)^3 = 125/216$.

Donc, $P(X \ge 1) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$.

Correction :

Vérification de la validité de la loi :

La somme des probabilités doit être égale à 1.

Somme = $1/6 + 1/3 + 1/2 + 1/6 = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 1/6 = 7/6$.

La somme des probabilités est $7/6$, ce qui est supérieur à 1. La loi de probabilité n'est pas valide.

Si la loi était valide (par exemple, si les probabilités étaient corrigées pour sommer à 1), voici comment on calculerait $E(X)$ et $Var(X)$. Pour l'exemple, imaginons que les probabilités corrigées soient :

Somme : $1/7 + 2/7 + 3/7 + 1/7 = 7/7 = 1$. Cette loi est valide.

Calcul de $E(X)$ avec la loi corrigée :

$E(X) = 1 \times \frac{1}{7} + 2 \times \frac{2}{7} + 3 \times \frac{3}{7} + 4 \times \frac{1}{7}$

$E(X) = \frac{1}{7} + \frac{4}{7} + \frac{9}{7} + \frac{4}{7} = \frac{18}{7}$

Calcul de $E(X^2)$ :

$E(X^2) = 1^2 \times \frac{1}{7} + 2^2 \times \frac{2}{7} + 3^2 \times \frac{3}{7} + 4^2 \times \frac{1}{7}$

$E(X^2) = 1 \times \frac{1}{7} + 4 \times \frac{2}{7} + 9 \times \frac{3}{7} + 16 \times \frac{1}{7}$

$E(X^2) = \frac{1}{7} + \frac{8}{7} + \frac{27}{7} + \frac{16}{7} = \frac{52}{7}$

Calcul de $Var(X)$ :

$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{52}{7} - (\frac{18}{7})^2 = \frac{52}{7} - \frac{324}{49} = \frac{52 \times 7 - 324}{49} = \frac{364 - 324}{49} = \frac{40}{49}$.

Correction :

Soit $X$ le nombre de composants défectueux parmi les $N$ prélevés. Chaque prélèvement est indépendant, et la probabilité de défaut est constante $p=0.05$. $X$ suit donc une loi binomiale $B(N, 0.05)$.

La probabilité d'avoir au moins un composant défectueux est $P(X \ge 1)$. Il est plus simple de calculer l'événement complémentaire : $P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)$.

$P(X=0) = \binom{N}{0} (0.05)^0 (1-0.05)^{N-0} = 1 \times 1 \times (0.95)^N = (0.95)^N$.

Donc, $P(X \ge 1) = 1 - (0.95)^N$.

On cherche $N$ tel que $P(X \ge 1) \ge 0.99$.

$1 - (0.95)^N \ge 0.99$

$-(0.95)^N \ge 0.99 - 1$

$-(0.95)^N \ge -0.01$

$(0.95)^N \le 0.01$

Pour résoudre cette inégalité pour $N$, on prend le logarithme népérien des deux côtés (puisque $\ln$ est une fonction croissante) :

$\ln((0.95)^N) \le \ln(0.01)$

$N \ln(0.95) \le \ln(0.01)$

Comme $\ln(0.95)$ est négatif (car $0.95 < 1$), on doit changer le sens de l'inégalité en divisant par $\ln(0.95)$ :

$N \ge \frac{\ln(0.01)}{\ln(0.95)}$

Calculons les valeurs : $\ln(0.01) \approx -4.605$ et $\ln(0.95) \approx -0.0513$.

$N \ge \frac{-4.605}{-0.0513} \approx 89.766$.

Puisque $N$ doit être un entier, le nombre minimum de composants à prélever est $N=90$.

Correction :

La loi de Poisson de paramètre $\lambda$ est donnée par $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ pour $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$.

a) Calcul de l'espérance $E(X)$ :

$E(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k P(X=k) = \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

Le terme pour $k=0$ est 0, donc on peut commencer la somme à $k=1$ :

$E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{(k-1)!}$

On peut factoriser $e^{-\lambda}$ et réécrire $\lambda^k$ comme $\lambda \cdot \lambda^{k-1}$ :

$E(X) = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}$

Posons $j = k-1$. Lorsque $k$ va de 1 à $\infty$, $j$ va de 0 à $\infty$. L'expression devient :

$E(X) = \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^{j}}{j!}$

La somme $\sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^{j}}{j!}$ est le développement en série de Taylor de $e^{\lambda}$. Donc, $\sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^{j}}{j!} = e^{\lambda}$.

$E(X) = \lambda e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = \lambda$.

b) Calcul de la variance $Var(X)$ :

On calcule d'abord $E(X^2)$ :

$E(X^2) = \sum_{k=0}^{\infty} k^2 P(X=k) = \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

Pour $k=0$, le terme est 0. Pour $k \ge 1$, on a $k^2 = k(k-1) + k$.

$E(X^2) = \sum_{k=1}^{\infty} (k(k-1) + k) \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} + \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

Le second terme est $E(X) = \lambda$. Considérons le premier terme :

$\sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ (car pour $k=1$, $k(k-1)=0$)

$= \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{(k-2)!} = \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}$

Posons $j = k-2$. Lorsque $k$ va de 2 à $\infty$, $j$ va de 0 à $\infty$. L'expression devient :

= $\lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^{j}}{j!} = \lambda^2 e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = \lambda^2$.

Donc, $E(X^2) = \lambda^2 + E(X) = \lambda^2 + \lambda$.

Maintenant, calculons la variance :

$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = (\lambda^2 + \lambda) - \lambda^2 = \lambda$.

Correction :

Le nombre de buts marqués par match suit une loi de Poisson. La moyenne est donnée comme étant 2 buts par match, donc le paramètre $\lambda = 2$. La loi de $X$ est $\mathcal{P}(2)$.

La formule de la loi de Poisson est $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$. Ici, $\lambda=2$.

Probabilité de marquer exactement 3 buts :

Pour $k=3$, $P(X=3) = \frac{2^3 e^{-2}}{3!} = \frac{8 e^{-2}}{6} = \frac{4}{3} e^{-2}$.

En utilisant $e^{-2} \approx 0.1353$, $P(X=3) \approx \frac{4}{3} \times 0.1353 \approx 0.1804$.

Probabilité de marquer plus de 2 buts :

Il s'agit de calculer $P(X > 2)$. Il est plus simple de calculer la probabilité complémentaire $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$, puis $P(X > 2) = 1 - P(X \le 2)$.

$P(X=0) = \frac{2^0 e^{-2}}{0!} = \frac{1 \times e^{-2}}{1} = e^{-2}$.

$P(X=1) = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = \frac{2 e^{-2}}{1} = 2e^{-2}$.

$P(X=2) = \frac{2^2 e^{-2}}{2!} = \frac{4 e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$.

$P(X \le 2) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2}$.

$P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - 5e^{-2}$.

En utilisant $e^{-2} \approx 0.1353$, $P(X > 2) \approx 1 - 5 \times 0.1353 = 1 - 0.6765 = 0.3235$.