Niveau : facile à difficile. Durée estimée : 2 h 30. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Pour trouver le spectre $\sigma(A)$ d'une matrice carrée $A$ de taille $n$, cherche les racines de son polynôme caractéristique $\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)$ : ce sont les valeurs propres. Pour chacune, résous $(A-\lambda I_n)X=0$ pour obtenir le sous-espace propre $E_\lambda$. Exemple : pour $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$, $\chi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-3)$, donc $\sigma(A)=\{1\,;\,3\}$, $E_1=\mathrm{Vect}\big((1,0)\big)$ et $E_3=\mathrm{Vect}\big((1,1)\big)$.
Beaucoup de cours écrivent $\det(A-\lambda I_n)$ : mêmes racines. En prépa MP et MPI, le spectre reste en dimension finie : « la notion de valeur spectrale est hors programme » (programme de 2021).
En dimension infinie, $T$ est un opérateur linéaire continu sur un espace de Hilbert $H$, espace muni d'un produit scalaire et complet. Son spectre $\sigma(T)$ réunit les $\lambda$ pour lesquels $T-\lambda I$ n'a pas d'inverse continu ; ses valeurs propres forment le spectre ponctuel $\sigma_p(T)$. $T$ est compact si l'image de toute suite bornée a une sous-suite convergente, autoadjoint si $\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle$ pour tous $x,y\in H$.
Formules à retenir :
- Sur $\mathbb{C}$ : $\operatorname{tr}A=\sum_i\lambda_i$ et $\det A=\prod_i\lambda_i$, valeurs propres comptées avec leur multiplicité.
- $1\le\dim E_\lambda\le m(\lambda)$ (multiplicité de la racine $\lambda$ de $\chi_A$) ; $A$ diagonalisable $\iff$ $\chi_A$ scindé et $\dim E_\lambda=m(\lambda)$ pour tout $\lambda$.
- Toujours $\sigma_p(T)\subset\sigma(T)$, avec égalité en dimension finie.
- $T$ compact, $\dim H=+\infty$ : $0\in\sigma(T)$, et $\sigma(T)\setminus\{0\}$ est formé de valeurs propres de multiplicité finie, en nombre fini ou en suite de limite $0$.
Piège classique : en dimension infinie, le spectre n'est pas l'ensemble des valeurs propres. $T-\lambda I$ peut être injectif sans être surjectif, et $\lambda$ est alors dans le spectre sans être valeur propre.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Soit $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$. Calcule ses valeurs propres et une base de chaque sous-espace propre, puis vérifie que les deux vecteurs obtenus sont orthogonaux.
Correction :
Racines de $\chi_A$, puis noyaux : $\chi_A(\lambda)=(\lambda-2)^2-1=(\lambda-1)(\lambda-3)$.
Pour $\lambda=1$, $A-I_2=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ donne $x+y=0$ ; pour $\lambda=3$, $A-3I_2=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ donne $x=y$. Produit scalaire : $1\times1+(-1)\times1=0$.
$\sigma(A)=\{1\,;\,3\}$, $E_1=\mathrm{Vect}\big((1,-1)\big)$, $E_3=\mathrm{Vect}\big((1,1)\big)$ : vecteurs orthogonaux, comme le garantit le théorème spectral pour une matrice symétrique réelle.
Exercice 2 : Soit $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. Donne son spectre, la multiplicité de chaque valeur propre et la dimension du sous-espace propre associé. $N$ est-elle diagonalisable ?
Correction :
On compare multiplicité et dimension du sous-espace propre. $\chi_N(\lambda)=\lambda^2$, donc $\sigma(N)=\{0\}$ et $m(0)=2$. Le système $NX=0$ se réduit à $y=0$ : $E_0=\mathrm{Vect}\big((1,0)\big)$, de dimension $1$.
$\dim E_0=1\lt 2=m(0)$ : $N$ n'est pas diagonalisable.
Exercice 3 : La rotation d'un quart de tour du plan a pour matrice $R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$. Donne son spectre réel, puis son spectre complexe avec un vecteur propre par valeur propre. Interprète le premier résultat.
Correction :
Le spectre dépend du corps où l'on cherche les racines. $\chi_R(\lambda)=\lambda^2+1$ n'a pas de racine réelle : aucune droite du plan n'est envoyée sur elle-même par un quart de tour.
Dans $\mathbb{C}$, $\lambda^2+1=(\lambda-i)(\lambda+i)$ ; $(R-iI_2)X=0$ donne $y=-ix$, et $(R+iI_2)X=0$ donne $y=ix$.
Spectre réel vide ; spectre complexe $\{i\,;\,-i\}$, avec $E_i=\mathrm{Vect}\big((1,-i)\big)$ et $E_{-i}=\mathrm{Vect}\big((1,i)\big)$. Erreur à éviter : dire « pas de valeur propre » sans préciser le corps.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie. Montre que $\lambda$ est valeur propre de $u$ si et seulement si $\det(u-\lambda\,\mathrm{Id}_E)=0$. Quel maillon du raisonnement tombe en dimension infinie ?
Correction :
On enchaîne des équivalences : $\lambda$ est valeur propre $\iff\ker(u-\lambda\,\mathrm{Id}_E)\neq\{0\}\iff u-\lambda\,\mathrm{Id}_E$ n'est pas injectif. En dimension finie, le théorème du rang donne « injectif $\iff$ bijectif », et bijectif équivaut à déterminant non nul.
D'où $\lambda\in\sigma(u)\iff\det(u-\lambda\,\mathrm{Id}_E)=0$. C'est « injectif $\iff$ bijectif » qui tombe : sur $\ell^2$, espace des suites de carré sommable, le décalage $S(x_0,x_1,\dots)=(0,x_0,x_1,\dots)$ est injectif sans être surjectif.
Exercice 5 : Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, de valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ comptées avec leur multiplicité. a) Montre que $\operatorname{tr}A=\sum_i\lambda_i$ et $\det A=\prod_i\lambda_i$. b) Une matrice réelle $B$ de taille $2$ vérifie $\operatorname{tr}B=5$ et $\det B=6$ : donne son spectre.
Correction :
a) On identifie deux écritures de $\chi_A$. Scindé sur $\mathbb{C}$, $\chi_A(\lambda)=\prod_i(\lambda-\lambda_i)=\lambda^n-\big(\sum_i\lambda_i\big)\lambda^{n-1}+\dots+(-1)^n\prod_i\lambda_i$.
Dans $\det(\lambda I_n-A)$, seul le produit diagonal $\prod_i(\lambda-a_{ii})$ atteint le degré $n-1$ (les autres termes du développement ont au plus $n-2$ facteurs $\lambda-a_{ii}$) : le coefficient de $\lambda^{n-1}$ est $-\operatorname{tr}A$. Le terme constant vaut $\chi_A(0)=\det(-A)=(-1)^n\det A$.
Donc $\operatorname{tr}A=\sum_i\lambda_i$ et $\det A=\prod_i\lambda_i$. b) D'après a), $\chi_B(\lambda)=\lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3)$, donc $\sigma(B)=\{2\,;\,3\}$.
Exercice 6 : Soit $u$ un endomorphisme d'un espace $E$ de dimension $n$. a) Montre que des vecteurs propres $v_1,\dots,v_k$ associés à des valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ deux à deux distinctes forment une famille libre. b) Déduis-en que si $u$ a $n$ valeurs propres distinctes, il est diagonalisable. c) La réciproque est-elle vraie ?
Correction :
a) Récurrence sur $k$ ; pour $k=1$, $v_1\neq0$ suffit. Si $c_1v_1+\dots+c_kv_k=0$, on applique $u-\lambda_k\mathrm{Id}_E$ : $\sum_{i\lt k}c_i(\lambda_i-\lambda_k)v_i=0$. L'hypothèse de récurrence donne $c_i(\lambda_i-\lambda_k)=0$, donc $c_i=0$ pour $i\lt k$, puis $c_kv_k=0$ impose $c_k=0$.
b) On obtient $n$ vecteurs propres libres en dimension $n$ : une base de vecteurs propres, donc $u$ est diagonalisable.
c) Non : pour $n\ge2$, $\mathrm{Id}_E$ est diagonalisable avec la seule valeur propre $1$.
Exercice 7 : Une matrice $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est hermitienne si $A^*=A$, où $A^*=\overline{A}^{\,T}$ est sa transconjuguée. Montre que ses valeurs propres sont réelles, puis que celles d'une matrice symétrique réelle le sont aussi.
Correction :
On calcule $X^*AX$ de deux façons, pour $AX=\lambda X$ et $X\neq0$. D'une part, $X^*AX=\lambda X^*X=\lambda\|X\|^2$, avec $\|X\|^2=\sum_i|x_i|^2\gt0$. D'autre part, ce nombre est égal à son conjugué, car $(X^*AX)^*=X^*A^*X=X^*AX$ : il est réel.
Donc $\lambda=X^*AX/\|X\|^2\in\mathbb{R}$. Une matrice symétrique réelle vérifie $\overline{A}^{\,T}=A^T=A$ : elle est hermitienne, et ses valeurs propres complexes sont réelles.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : En mécanique quantique, la position d'une particule enfermée dans le segment $[0\,;\,1]$ est représentée par l'opérateur $T$ défini sur $H=L^2([0\,;\,1])$, l'espace des fonctions de carré intégrable, par $(Tf)(x)=xf(x)$. a) Montre que $T$ n'a aucune valeur propre. b) Montre que $\sigma(T)=[0\,;\,1]$.
Correction :
On étudie séparément l'injectivité et la surjectivité de $T-\lambda I$. a) Si $Tf=\lambda f$, alors $(x-\lambda)f(x)=0$ pour presque tout $x$ ; comme $x-\lambda$ ne s'annule qu'en un point au plus, $f=0$ presque partout. Donc $\sigma_p(T)=\varnothing$.
b) Si $\lambda\notin[0\,;\,1]$, pose $d=\mathrm{dist}(\lambda,[0\,;\,1])\gt0$ : $g\mapsto g/(x-\lambda)$ est borné, de norme au plus $1/d$, et inverse $T-\lambda I$. Si $\lambda\in[0\,;\,1]$, la constante $1$ n'a pas d'antécédent : il faudrait $f(x)=1/(x-\lambda)$, or $\int_0^1\frac{dx}{(x-\lambda)^2}=+\infty$.
$\sigma_p(T)=\varnothing$ et $\sigma(T)=[0\,;\,1]$. Physiquement, aucune fonction d'onde de carré intégrable n'a de position exacte.
Exercice 9 : Soit $T$ un opérateur compact autoadjoint sur un espace de Hilbert $H$. a) Montre que $E_\lambda=\ker(T-\lambda I)$ est de dimension finie pour toute valeur propre $\lambda\neq0$. b) Montre que les valeurs propres de $T$ sont réelles, et que des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. c) Déduis-en que, pour tout $\varepsilon\gt0$, $T$ n'a qu'un nombre fini de valeurs propres de module au moins $\varepsilon$, puis que ses valeurs propres forment un ensemble au plus dénombrable.
Correction :
La clé, comme dans le TD de l'université de Strasbourg : une suite orthonormée $(e_k)$ est bornée, donc $(Te_k)$ a une sous-suite convergente. a) Si $\dim E_\lambda=+\infty$, prends $(e_k)$ orthonormée dans $E_\lambda$ : pour $j\neq k$, $\|Te_j-Te_k\|=|\lambda|\sqrt2$, et aucune sous-suite de $(Te_k)$ ne converge. Contradiction.
b) Si $Tx=\lambda x$, $x\neq0$ : $\lambda\|x\|^2=\langle Tx,x\rangle=\langle x,Tx\rangle=\overline{\lambda}\|x\|^2$, donc $\lambda\in\mathbb{R}$. Si de plus $Ty=\mu y$ avec $\mu\neq\lambda$, $\mu$ réel : $\lambda\langle x,y\rangle=\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle=\mu\langle x,y\rangle$, d'où $\langle x,y\rangle=0$.
c) Une infinité de valeurs propres distinctes $\lambda_k$ avec $|\lambda_k|\ge\varepsilon$ donnerait, par b), des vecteurs propres $e_k$ orthonormés, et par Pythagore $\|Te_j-Te_k\|^2=\lambda_j^2+\lambda_k^2\ge2\varepsilon^2$ : même contradiction.
Les valeurs propres non nulles forment la réunion des ensembles finis $\{\lambda\in\sigma_p(T) : |\lambda|\ge1/m\}$, $m\ge1$ : elles sont au plus dénombrables. Avec le rappel, $\sigma(T)$ l'est aussi.
Exercice 10 : Sur $\ell^2$, on pose $D(x_1,x_2,x_3,\dots)=\big(x_1,\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{3},\dots\big)$. a) Donne les valeurs propres de $D$. b) Montre que $D$ est compact, en l'approchant par l'opérateur $D_N$ qui garde les $N$ premiers termes de $Dx$ et met les autres à $0$. c) Montre que $0\in\sigma(D)$ sans être valeur propre, puis détermine $\sigma(D)$.
Correction :
Comme à l'exercice 8, on sépare injectivité et surjectivité. a) Avec $e_n$, la suite qui vaut $1$ au rang $n$ et $0$ ailleurs, $De_n=\frac1n e_n$. Réciproquement, si $Dx=\lambda x$ et $x_n\neq0$, alors $\frac{x_n}{n}=\lambda x_n$ donne $\lambda=\frac1n$ ; et $Dx=0$ impose $x=0$. Donc $\sigma_p(D)=\{1/n : n\ge1\}$.
b) $D_N$ est de rang fini et $\|(D-D_N)x\|^2=\sum_{n\gt N}\frac{|x_n|^2}{n^2}\le\frac{\|x\|^2}{(N+1)^2}$ : $\|D-D_N\|\le\frac1{N+1}\to0$, et une limite en norme d'opérateurs de rang fini est compacte.
c) $y=(1/n)_{n\ge1}$ est dans $\ell^2$, mais son seul antécédent possible, $(1,1,1,\dots)$, n'y est pas : $0\in\sigma(D)$. Si $\lambda\notin\{0\}\cup\sigma_p(D)$, $\delta=\inf_n|1/n-\lambda|\gt0$, car les $1/n$ ne s'accumulent qu'en $0$, et $y\mapsto\big(y_n/(1/n-\lambda)\big)_n$, de norme au plus $1/\delta$, inverse $D-\lambda I$.
$\sigma(D)=\{0\}\cup\{1/n : n\ge1\}$, plus grand que $\sigma_p(D)$ : même compact, un opérateur peut avoir dans son spectre une valeur qui n'est pas valeur propre.
Bilan et conseils
En dimension finie, tout passe par $\chi_A$, dans un corps que tu précises : ses racines donnent le spectre, et la comparaison entre multiplicités et dimensions des sous-espaces propres tranche la diagonalisation.
En dimension infinie, pour chaque $\lambda$, teste à part l'injectivité puis la surjectivité de $T-\lambda I$. Face à un opérateur compact, pense aux suites orthonormées.
Ce qu'il faut retenir : $\sigma_p(T)\subset\sigma(T)$ ; en dimension infinie, l'inclusion peut être stricte, et un opérateur compact a toujours $0$ dans son spectre.
Sources
Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques des classes préparatoires MP et MPI, 2021.
IRMA, université de Strasbourg, TD « Spectre des opérateurs auto-adjoints compacts ».