L'essentiel en 30 secondes :
- Une fraction représente une partie d'un tout (numérateur / dénominateur).
- Pour additionner/soustraire, il faut un dénominateur commun.
- Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
- Pour diviser, on multiplie par l'inverse de la deuxième fraction.
Qu'est-ce qu'une Fraction ?
Une fraction est un nombre qui représente une partie d'une quantité totale. Elle s'écrit sous la forme $\frac{a}{b}$, où $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur ($b \ne 0$). Le numérateur indique combien de parts on prend, et le dénominateur indique en combien de parts égales le tout est divisé.
Numérateur : Le nombre du haut dans une fraction. Il indique le nombre de parts considérées.
Dénominateur : Le nombre du bas dans une fraction. Il indique en combien de parts égales le tout est divisé.
Par exemple, $\frac{3}{4}$ signifie que l'on a pris 3 parts sur un total de 4 parts égales.
Simplifier une Fraction
Simplifier une fraction, c'est la rendre plus facile à lire en divisant son numérateur et son dénominateur par le même nombre. On cherche le plus grand diviseur commun (PGCD) pour simplifier au maximum.
Exemple : Pour simplifier $\frac{12}{18}$, on divise 12 et 18 par 6 (leur PGCD). On obtient $\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$.
Opérations sur les Fractions
Addition et Soustraction
Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur. Si ce n'est pas le cas, on les met au même dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par le bon nombre.
Pour $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ : trouve un dénominateur commun $m$. Alors $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a'}{m}$ et $\frac{c}{d} = \frac{c \times l}{d \times l} = \frac{c'}{m}$.
$$ \frac{a'}{m} + \frac{c'}{m} = \frac{a' + c'}{m} $$Exemple : $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$.
Multiplication
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pas besoin de dénominateur commun !
Exemple : $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20}$. On peut simplifier : $\frac{6 \div 2}{20 \div 2} = \frac{3}{10}$.
Division
Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième fraction. L'inverse d'une fraction $\frac{c}{d}$ est $\frac{d}{c}$.
Exemple : $\frac{3}{7} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{7 \times 2} = \frac{15}{14}$.
| Opération | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Addition | $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$ (si dénominateurs identiques) | $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$ |
| Soustraction | $\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$ (si dénominateurs identiques) | $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ |
| Multiplication | $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$ | $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ |
| Division | $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ | $\frac{2}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{4}{3}$ |
Pièges à éviter :
- Ne pas additionner/soustraire les numérateurs et les dénominateurs séparément : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \ne \frac{2}{5}$. Il faut un dénominateur commun.
- Ne pas oublier de simplifier les fractions quand c'est possible.
- Se tromper dans l'inversion de la fraction lors de la division.
- Diviser par zéro : le dénominateur d'une fraction ne peut jamais être zéro.
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- Fraction = Numérateur / Dénominateur. Le dénominateur ne peut être 0.
- Addition/Soustraction : Dénominateur commun obligatoire.
- Multiplication : Numérateur x Numérateur / Dénominateur x Dénominateur.
- Division : Multiplier par l'inverse.
- La simplification est essentielle pour clarifier les fractions.