Pour calculer avec des fractions, retiens quatre règles : additionner ou soustraire après avoir mis les fractions au même dénominateur ($\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$), multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, diviser en multipliant par l'inverse, puis simplifier le résultat. Chaque règle est reprise ci-dessous avec un exemple, avant le piège classique et un exercice type contrôle corrigé.
Ce qu'est une fraction
Définition : Pour deux entiers $a$ et $b$ avec $b \neq 0$, la fraction $\frac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$, c'est-à-dire le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$. Le nombre $a$ est le numérateur, $b$ le dénominateur.
Par exemple, $7 \times \frac{3}{7} = 3$. Une fraction est aussi un partage : $\frac{3}{4}$ d'une pizza, c'est la pizza coupée en $4$ parts égales dont on prend $3$. Et c'est une division : $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$.
Certaines fractions n'ont pas d'écriture décimale exacte : $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ ne s'arrête jamais. La fraction reste alors la valeur exacte.
Une fraction peut être négative : $\frac{-3}{4} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$, alors que $\frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$ (même règle des signes que pour la division).
Le programme de cycle 4 (Bulletin officiel du 5 mars 2026) place la comparaison et l'addition de fractions en 5e, le produit et la division en 4e, la forme irréductible en 3e. Il entre en vigueur en 5e à la rentrée 2026, en 4e en 2027 et en 3e en 2028.
Fractions égales et simplification
Règle : Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas la fraction : $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ avec $k \neq 0$.
Dans un sens, la règle sert à changer de dénominateur : $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$. Dans l'autre, elle sert à simplifier : on divise le haut et le bas par un diviseur commun, et on recommence tant qu'il en reste un : $\frac{12}{18} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ (par $2$, puis par $3$).
Quand le numérateur et le dénominateur n'ont plus d'autre diviseur commun que $1$, la fraction est irréductible : on ne peut plus la simplifier. Pour repérer un diviseur commun, pense aux critères de divisibilité : un nombre pair se divise par $2$, un nombre dont la somme des chiffres est un multiple de $3$ se divise par $3$.
Avec de grands nombres, décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers (des nombres qui n'ont que deux diviseurs, $1$ et eux-mêmes, comme $2$, $3$, $5$ ou $7$) et barre les facteurs communs : $\frac{60}{84} = \frac{2^2 \times 3 \times 5}{2^2 \times 3 \times 7} = \frac{5}{7}$.
Comparer deux fractions
Quand deux fractions ont le même dénominateur positif, la plus grande a le plus grand numérateur : $\frac{5}{7} > \frac{2}{7}$. Sinon, mets-les d'abord au même dénominateur. Pour comparer $\frac{5}{6}$ et $\frac{7}{9}$, passe en dix-huitièmes : $\frac{5}{6} = \frac{15}{18}$ et $\frac{7}{9} = \frac{14}{18}$, donc $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$.
Repère rapide pour des entiers positifs : la fraction dépasse $1$ quand le numérateur est plus grand que le dénominateur ($\frac{9}{8} > 1$), et elle est inférieure à $1$ quand il est plus petit ($\frac{7}{8} < 1$).
Additionner et soustraire
Règle : Avec le même dénominateur, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur : $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ et $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$.
Si les dénominateurs diffèrent, cherche d'abord un dénominateur commun : un multiple des deux dénominateurs, le plus petit possible pour garder des nombres simples. Ici, $12$ est multiple de $6$ et de $4$ :
$$\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12}$$
Un entier s'écrit lui aussi en fraction : $1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
Piège classique : On n'additionne jamais les dénominateurs. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ne fait pas $\frac{2}{5}$ : ce serait moins que $\frac{1}{2}$ tout seul, c'est absurde. Le bon calcul : $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
Multiplier et diviser
Pour multiplier, pas besoin de dénominateur commun : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser, on utilise l'inverse : l'inverse d'un nombre $x$ non nul est le nombre qui, multiplié par $x$, donne $1$. L'inverse de $\frac{c}{d}$ est $\frac{d}{c}$, celui de $5$ est $\frac{1}{5}$, et $0$ n'a pas d'inverse.
Formules : avec $b$, $c$ et $d$ non nuls,
$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$
$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$
Simplifie avant de multiplier, le calcul est plus court : $\frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{4 \times 3}{9 \times 8} = \frac{4 \times 3}{3 \times 3 \times 4 \times 2} = \frac{1}{6}$.
Prendre une fraction d'un nombre, c'est multiplier : les $\frac{2}{3}$ de $18$ valent $\frac{2}{3} \times 18 = \frac{2 \times 18}{3} = 12$. De même, la moitié de $\frac{3}{5}$, c'est $\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$.
Pour diviser : $\frac{3}{7} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{14}$. Diviser par un entier, c'est multiplier par son inverse : $\frac{4}{5} \div 2 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5}$.
Les priorités de calcul restent les mêmes qu'avec les autres nombres : parenthèses d'abord, puis multiplications et divisions, enfin additions et soustractions.
Exercice type contrôle
Exercice 1 : Donne chaque résultat sous forme de fraction irréductible.
1. Calcule $A = \frac{2}{3} + \frac{5}{6} \times \frac{4}{5}$.
2. Calcule $B = \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{6}\right) \div \frac{14}{9}$.
3. Sami lit un livre de $240$ pages. Lundi, il en lit les $\frac{2}{5}$. Mardi, il lit le quart de ce qui reste. Quelle fraction du livre a-t-il lue mardi ? Combien de pages lui reste-t-il à lire ?
Correction :
1. La multiplication passe avant l'addition : $\frac{5}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{5 \times 4}{6 \times 5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, donc $A = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$. Additionner d'abord aurait donné $\frac{6}{5}$, un résultat faux.
2. Parenthèses d'abord, en douzièmes : $\frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}$. Puis on multiplie par l'inverse : $B = \frac{7}{12} \times \frac{9}{14} = \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 7 \times 2} = \frac{3}{8}$.
3. Après lundi, il reste $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ du livre. Mardi, il en lit $\frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{20}$ du livre. Il lui reste $\frac{3}{5} - \frac{3}{20} = \frac{12}{20} - \frac{3}{20} = \frac{9}{20}$ du livre, soit $\frac{9}{20} \times 240 = 108$ pages.
Vérification : $96$ pages lundi, $36$ mardi et $108$ restantes font bien $240$ pages.
À retenir
À retenir :
- $\frac{a}{b}$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$ ; $b$ n'est jamais nul.
- Multiplier ou diviser le haut et le bas par un même nombre non nul ne change pas la fraction.
- Comparer, additionner, soustraire : même dénominateur d'abord.
- Multiplier : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux. Diviser : multiplier par l'inverse.
- Respecter les priorités, puis rendre le résultat irréductible.
Sources
Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2 de l'arrêté du 18 février 2026, Bulletin officiel n° 10 du 5 mars 2026.
Calendrier d'application : arrêté du 18 février 2026, Légifrance.