Pour calculer l'intégrale d'une fonction complexe sur un cercle, repère d'abord les points où elle n'est pas holomorphe. S'il n'y en a aucun dans le disque, bord compris, le théorème de Cauchy donne 0 sans calcul : $\displaystyle\int_{C(0,1)} e^{z^2}\,dz = 0$. S'il y en a un seul, $a$, et que la fonction s'écrit $\dfrac{f(z)}{z-a}$ avec $f$ holomorphe, la formule de Cauchy donne $2i\pi f(a)$ : $\displaystyle\int_{C(0,2)} \frac{e^z}{z-1}\,dz = 2i\pi e$. Ici, $C(z_0,r)$ est le cercle de centre $z_0$ et de rayon $r$, parcouru une fois dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre).
Reconnaître une fonction holomorphe
Une fonction $f$ est dérivable au sens complexe en $z_0$ si $\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ a une limite quand $z$ tend vers $z_0$. Comme $z$ peut arriver de n'importe quelle direction du plan, c'est bien plus exigeant que sur $\mathbb{R}$.
Définition : $f$ est holomorphe sur un ouvert $U$ (un ensemble qui contient un petit disque autour de chacun de ses points) si elle est dérivable au sens complexe en tout point de $U$.
En pratique, on ne calcule presque jamais cette limite. On pose $z = x + iy$ et $f = u + iv$, avec $u$ et $v$ réelles, et on note $\partial_x u$ la dérivée partielle de $u$ par rapport à $x$.
Propriété (Cauchy-Riemann) : $f$ est dérivable au sens complexe en $z_0 = x_0 + iy_0$ si et seulement si $(x,y) \mapsto (u,v)$ est différentiable en $(x_0,y_0)$ et vérifie en ce point
$$\partial_x u = \partial_y v \qquad \text{et} \qquad \partial_y u = -\partial_x v.$$
On a alors $f'(z_0) = \partial_x u + i\,\partial_x v$, dérivées prises en $(x_0,y_0)$.
D'où ça vient : en arrivant horizontalement ($z = z_0 + h$, avec $h$ réel), le taux d'accroissement tend vers $\partial_x u + i\,\partial_x v$. En arrivant verticalement ($z = z_0 + ih$), il tend vers $\partial_y v - i\,\partial_y u$. Les deux limites doivent être égales : parties réelles et parties imaginaires donnent les deux équations.
Pour $e^z = e^x\cos y + i\,e^x\sin y$ : $\partial_x u = e^x\cos y = \partial_y v$ et $\partial_y u = -e^x\sin y = -\partial_x v$. Ces dérivées partielles sont continues, donc $(u,v)$ est différentiable : $e^z$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$, de dérivée $\partial_x u + i\,\partial_x v = e^z$.
Piège classique : les deux équations seules ne suffisent pas. La fonction $f(x+iy) = \sqrt{|xy|}$ a toutes ses dérivées partielles nulles en 0, donc elle vérifie Cauchy-Riemann en ce point. Mais sur la diagonale, $\dfrac{f(t+it)}{t+it} = \dfrac{|t|}{t(1+i)}$ vaut $\dfrac{1}{1+i}$ pour $t > 0$ et son opposé pour $t < 0$ : pas de limite en 0. Le bon réflexe : vérifier que les dérivées partielles sont continues, ce qui donne la différentiabilité.
Le théorème de Cauchy : quand l'intégrale est nulle
Pour un chemin $\gamma : [t_0\,;t_1] \to \mathbb{C}$ de classe $C^1$ par morceaux, $\displaystyle\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{t_0}^{t_1} f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt$, et $\gamma$ est fermé si $\gamma(t_0) = \gamma(t_1)$. Un ouvert est étoilé s'il contient un point relié en ligne droite à tous les autres sans sortir de l'ouvert : un disque, un demi-plan ou $\mathbb{C}$ le sont, $\mathbb{C}^* = \mathbb{C}\setminus\{0\}$ ne l'est pas.
Théorème de Cauchy : si $f$ est holomorphe sur un ouvert étoilé $U$, alors pour tout chemin fermé $\gamma$ contenu dans $U$,
$$\int_\gamma f(z)\,dz = 0.$$
La raison : sur un ouvert étoilé, une fonction holomorphe a une primitive $F$, avec $F' = f$, et c'est le théorème de Goursat, sur les triangles, qui le garantit. Alors $\displaystyle\int_\gamma f(z)\,dz = F(\gamma(t_1)) - F(\gamma(t_0)) = 0$, puisque le chemin revient à son point de départ. C'est le théorème 4.3 du cours de L3 de Laurent Bruneau (CY Cergy Paris Université), qui signale qu'il s'étend aux ouverts sans trou, dits simplement connexes.
Piège classique : être holomorphe sur le cercle ne suffit pas. La fonction $\dfrac{1}{z}$ est holomorphe sur $\mathbb{C}^*$, qui contient $C(0,1)$, et pourtant, avec $z = e^{it}$ et $dz = ie^{it}\,dt$ :
$$\int_{C(0,1)} \frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi} \frac{ie^{it}}{e^{it}}\,dt = 2i\pi.$$
$\mathbb{C}^*$ n'est pas étoilé : le cercle entoure le trou en 0. À l'inverse, $\displaystyle\int_{C(0,1)} \frac{dz}{z^2} = 0$, car $-\dfrac{1}{z}$ en est une primitive sur $\mathbb{C}^*$ : « étoilé » est une hypothèse suffisante, pas nécessaire.
La formule intégrale de Cauchy : quand un point gêne
Formule de Cauchy : soit $f$ holomorphe sur le disque ouvert $D(z_0,R)$ et $0 < r < R$. Pour tout $a$ tel que $|a - z_0| < r$ et tout entier $n \geqslant 0$ :
$$f(a) = \frac{1}{2i\pi}\int_{C(z_0,r)} \frac{f(z)}{z-a}\,dz$$
$$f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2i\pi}\int_{C(z_0,r)} \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz$$
Pour retrouver la première, écris $f(z) = \big(f(z) - f(a)\big) + f(a)$. Le quotient $\dfrac{f(z)-f(a)}{z-a}$, prolongé par $f'(a)$ en $a$, est holomorphe sur le disque, donc son intégrale sur le cercle est nulle. Il reste $f(a)\displaystyle\int_{C(z_0,r)} \frac{dz}{z-a}$, et cette intégrale vaut $2i\pi$ quand $a$ est à l'intérieur du cercle, 0 quand il est à l'extérieur.
Au passage, une fonction holomorphe est dérivable autant de fois qu'on veut, et la seconde formule donne chacune de ses dérivées à partir des seules valeurs de $f$ sur le cercle.
La méthode pour une intégrale sur un cercle
Étape 1 : repère les points où la fonction n'est pas holomorphe, le plus souvent les zéros du dénominateur.
Étape 2 : place chacun par rapport à $C(z_0,r)$ : le point $a$ est à l'intérieur si $|a - z_0| < r$, à l'extérieur si $|a - z_0| > r$. Un point sur le cercle rend l'intégrale non définie telle quelle.
Étape 3 : aucun point à l'intérieur : la fonction est holomorphe sur un disque de même centre, un peu plus grand, et le théorème de Cauchy donne 0.
Étape 4 : un seul point $a$ à l'intérieur : écris la fonction sous la forme $\dfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}$, avec $f$ holomorphe sur un disque de même centre un peu plus grand. L'intégrale vaut $\dfrac{2i\pi}{n!}\,f^{(n)}(a)$.
Étape 5 : plusieurs points à l'intérieur : une décomposition en éléments simples te ramène le plus souvent à l'étape 4, point par point. Le théorème des résidus généralise ce calcul.
Si l'énoncé parcourt le cercle dans le sens indirect, change le signe du résultat.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un partiel. Cherche sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Soit $f(x+iy) = x^3 - 3xy^2 + i\,(3x^2y - y^3)$. Montre que $f$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$ et exprime $f'(z)$ en fonction de $z$.
Correction :
Ici $u = x^3 - 3xy^2$ et $v = 3x^2y - y^3$. On a $\partial_x u = 3x^2 - 3y^2 = \partial_y v$ et $\partial_y u = -6xy = -\partial_x v$. Ces dérivées partielles sont polynomiales, donc continues : $f$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$.
Puis $f'(z) = \partial_x u + i\,\partial_x v = 3x^2 - 3y^2 + 6ixy = 3(x+iy)^2 = 3z^2$. Logique : en développant $(x+iy)^3$, on trouve que $f(z) = z^3$.
Exercice 2 : Soit $g(z) = |z|^2$. En quels points $g$ est-elle dérivable au sens complexe ? Est-elle holomorphe sur un ouvert ?
Correction :
Ici $u = x^2 + y^2$ et $v = 0$ ont des dérivées partielles continues, donc $(u,v)$ est différentiable partout. Cauchy-Riemann donne $2x = 0$ et $2y = 0$ : $g$ n'est dérivable au sens complexe qu'en 0, avec $g'(0) = 0$. On le confirme directement : $\dfrac{g(h)}{h} = \dfrac{h\bar h}{h} = \bar h$ tend vers 0.
Elle n'est holomorphe sur aucun ouvert, car tout disque autour de 0 contient des points où elle n'est pas dérivable. Le piège : dérivable en un point ne veut pas dire holomorphe.
Exercice 3 : Calcule $I = \displaystyle\int_{C(0,2)} \frac{\cos z}{z(z-3)}\,dz$ et $J = \displaystyle\int_{C(0,2)} \frac{e^{2z}}{(z-1)^3}\,dz$.
Correction :
Pour $I$, les points gênants sont 0, à l'intérieur car $|0| < 2$, et 3, à l'extérieur car $|3| > 2$. On pose $f(z) = \dfrac{\cos z}{z-3}$, holomorphe sur $D(0,3)$, et $2 < 3$. La formule donne $I = 2i\pi f(0) = 2i\pi \times \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -\dfrac{2i\pi}{3}$.
Pour $J$, le seul point gênant, 1, est à l'intérieur. Avec $f(z) = e^{2z}$, holomorphe sur $\mathbb{C}$, et $n = 2$ : $f''(z) = 4e^{2z}$, donc $J = \dfrac{2i\pi}{2!}\,f''(1) = i\pi \times 4e^2 = 4i\pi e^2$.
Exercice 4 : En paramétrant $C(0,1)$ par $z = e^{it}$, $t \in [0\,;2\pi]$, calcule l'intégrale réelle $\displaystyle\int_0^{2\pi} e^{\cos t}\cos(\sin t)\,dt$.
Correction :
L'exponentielle est holomorphe sur $\mathbb{C}$ et 0 est à l'intérieur de $C(0,1)$, donc d'après la formule de Cauchy, $\displaystyle\int_{C(0,1)} \frac{e^z}{z}\,dz = 2i\pi e^0 = 2i\pi$.
Avec $z = e^{it}$ et $dz = ie^{it}\,dt$, la même intégrale vaut $\displaystyle\int_0^{2\pi} \frac{e^{e^{it}}}{e^{it}}\,ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} e^{e^{it}}\,dt$. Donc $\displaystyle\int_0^{2\pi} e^{e^{it}}\,dt = 2\pi$.
Or $e^{e^{it}} = e^{\cos t + i\sin t} = e^{\cos t}\big(\cos(\sin t) + i\sin(\sin t)\big)$. La partie réelle donne $\displaystyle\int_0^{2\pi} e^{\cos t}\cos(\sin t)\,dt = 2\pi$, et la partie imaginaire, au passage, $\displaystyle\int_0^{2\pi} e^{\cos t}\sin(\sin t)\,dt = 0$.
À retenir
À retenir :
- Holomorphe : dérivable au sens complexe en tout point d'un ouvert. Pour le prouver, Cauchy-Riemann et des dérivées partielles continues.
- La dérivée se lit sur les parties réelle et imaginaire : $f'(z) = \partial_x u + i\,\partial_x v$.
- Holomorphe sur un ouvert étoilé : intégrale nulle sur tout chemin fermé. Être holomorphe sur le cercle seulement ne suffit pas : $\displaystyle\int_{C(0,1)} \frac{dz}{z} = 2i\pi$.
- Pour $f$ holomorphe sur un disque un peu plus grand que le cercle et $a$ à l'intérieur : $\displaystyle\int_{C(z_0,r)} \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz = \frac{2i\pi}{n!}\,f^{(n)}(a)$.
- Avant tout calcul : quels points gênent, et sont-ils dedans ou dehors ?
Sources
- Laurent Bruneau, « Analyse complexe », cours de L3 mathématiques, CY Cergy Paris Université, 2022-2023 (Cauchy-Riemann : proposition 1.15 ; Goursat et Cauchy : théorèmes 4.2 et 4.3 ; formule de Cauchy : section 4.4 et proposition 4.8) : cours en PDF.