En licence, une règle relie suites, séries et intégrales : si $f$ est positive et décroissante sur $[1\,;+\infty[$, la série $\sum f(n)$ et l'intégrale $\int_1^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t$ sont de même nature, c'est-à-dire qu'elles convergent ou divergent ensemble. Exemple : $\int_2^{x}\frac{\mathrm{d}t}{t\ln t}=\ln(\ln x)-\ln(\ln 2)$ tend vers $+\infty$, donc la série $\sum_{n\geqslant2}\frac{1}{n\ln n}$ diverge, alors que ni la règle de d'Alembert ni la comparaison aux séries de Riemann ne concluent.
Dans l'autre sens, une intégrale est la limite d'une suite de sommes. Voici ces passerelles, d'où elles viennent et quand t'en servir, puis quatre exercices corrigés.
Une intégrale est la limite d'une somme
Coupe $[0\,;1]$ en $n$ morceaux de largeur $\frac{1}{n}$ et pose sur chacun un rectangle de hauteur $f\left(\frac{k}{n}\right)$. La somme de leurs aires, $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$, colle de plus en plus à l'aire sous la courbe quand $n$ grandit. C'est une somme de Riemann.
Propriété : si $f$ est continue sur $[a\,;b]$, alors
$$\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\,\frac{b-a}{n}\right)\xrightarrow[n\to+\infty]{}\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t.$$
La somme de $k=1$ à $n$ a la même limite : elle ne diffère de la première que de $\frac{b-a}{n}\big(f(b)-f(a)\big)$.
Le réflexe : devant une somme de $n$ termes dont tu cherches la limite, mets $\frac{1}{n}$ en facteur et fais apparaître $\frac{k}{n}$ partout. Ce qui reste s'écrit $f\left(\frac{k}{n}\right)$, et la limite vaut $\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$.
Exemple : $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$. Avec $f(x)=\frac{1}{1+x}$, continue sur $[0\,;1]$, on obtient $u_n\to\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x}=\ln 2\approx0{,}69$. Contrôle : chacun des $n$ termes est compris entre $\frac{1}{2n}$ et $\frac{1}{n}$, donc $u_n$ reste entre $\frac{1}{2}$ et $1$.
Piège classique : chaque terme $\frac{1}{n+k}$ tend vers 0, et pourtant $u_n$ ne tend pas vers 0, car le nombre de termes grandit avec $n$. On ne passe pas à la limite terme à terme dans une somme dont la longueur dépend de $n$.
Une série se compare à une intégrale
Prends maintenant $f$ continue, positive et décroissante sur $[1\,;+\infty[$. Sur $[k\,;k+1]$, sa courbe reste entre les hauteurs $f(k+1)$ et $f(k)$ : deux rectangles de largeur 1 encadrent l'aire sous la courbe. Le programme officiel de MPSI parle de méthode des rectangles.
Pour $t\in[k\,;k+1]$, $f(k+1)\leqslant f(t)\leqslant f(k)$. On intègre sur $[k\,;k+1]$ : $f(k+1)\leqslant\int_k^{k+1}f(t)\,\mathrm{d}t\leqslant f(k)$. On somme de $k=1$ à $n-1$, en notant $S_n=\sum_{k=1}^{n}f(k)$ :
$$\int_1^{n}f(t)\,\mathrm{d}t+f(n)\leqslant S_n\leqslant f(1)+\int_1^{n}f(t)\,\mathrm{d}t.$$
Propriété : si $f$ est continue, positive et décroissante sur $[1\,;+\infty[$, la série $\sum f(n)$ converge si et seulement si $\int_1^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$ a une limite finie quand $x\to+\infty$. Le résultat vaut aussi à partir de n'importe quel entier.
Pourquoi : $S_n$ et $\int_1^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$ sont croissantes, puisque $f\geqslant0$, et l'encadrement montre que l'une est majorée exactement quand l'autre l'est. Or une quantité croissante a une limite finie si et seulement si elle est majorée.
C'est de là que vient le critère des séries de Riemann, et c'est ainsi que tu le retrouves le jour où tu l'as oublié. Pour $\alpha>0$, $t\mapsto\frac{1}{t^\alpha}$ est positive et décroissante, et $\int_1^{x}\frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ vaut $\frac{x^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}$ si $\alpha\neq1$, $\ln x$ si $\alpha=1$. La limite est finie exactement quand $\alpha>1$. Pour $\alpha\leqslant0$, le terme général ne tend même pas vers 0. Donc $\sum\frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.
L'encadrement fait plus que trancher : il donne la taille des sommes partielles d'une série qui diverge. Avec $f(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}$, on a $\int_1^{n}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}=2\sqrt{n}-2$, donc
$$2\sqrt{n}-2+\frac{1}{\sqrt{n}}\leqslant\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\leqslant2\sqrt{n}-1.$$
Pour $n=100$, la somme est entre $18{,}1$ et $19$. En divisant par $2\sqrt{n}$, tu obtiens $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\sim2\sqrt{n}$. Le programme officiel de prépa MP range ces usages sous le nom de comparaison série-intégrale. Si $f$ est croissante, les inégalités se retournent : l'exercice 3 s'en sert.
Les intégrales impropres, cousines des séries
Une intégrale sur $[a\,;+\infty[$ se définit comme une série, par une limite. Pour $f$ continue sur $[a\,;+\infty[$, l'intégrale $\int_a^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t$ converge quand $\int_a^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$ a une limite finie pour $x\to+\infty$. Même définition en une borne où $f$ n'est pas définie, comme 0 pour $t\mapsto\frac{1}{t}$. On dit aussi intégrale généralisée, le nom retenu par le programme de prépa MP.
Les outils des séries se transposent. Pour $f$ positive, l'intégrale converge si et seulement si $x\mapsto\int_a^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$ est majorée. Deux fonctions positives équivalentes au voisinage de la borne étudiée ont des intégrales de même nature.
Propriété (intégrales de Riemann) : $\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$, et $\int_0^{1}\frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha<1$.
Pour la retrouver, regarde la primitive $\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}$, quand $\alpha\neq1$. En $+\infty$, elle reste finie si l'exposant $1-\alpha$ est négatif ; en 0, s'il est positif. Pour $\alpha=1$, la primitive $\ln t$ explose des deux côtés.
Piège classique : les deux conditions vont en sens contraire, si bien que $\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ ne converge pour aucun $\alpha$. Devant une intégrale à deux bornes délicates, coupe-la en un point intermédiaire et étudie chaque borne à part : elle converge si et seulement si les deux morceaux convergent.
Une différence avec les séries, enfin : $f$ n'a pas besoin de tendre vers 0 pour que son intégrale converge. Prends une fonction continue, nulle sauf autour de chaque entier $n\geqslant2$, où son graphe dessine une pointe triangulaire de hauteur 1 et de base $\frac{2}{n^2}$. Chaque pointe a pour aire $\frac{1}{n^2}$, donc l'intégrale sur $[1\,;+\infty[$ vaut $\sum_{n\geqslant2}\frac{1}{n^2}$, qui est finie. Pourtant $f(n)=1$ pour tout $n\geqslant2$, et $\sum f(n)$ diverge. Voilà pourquoi la comparaison série-intégrale exige $f$ décroissante.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un partiel. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Calcule la limite de $v_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}$.
Correction :
Mets $\frac{1}{n}$ en facteur : $\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\times\frac{n^2}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\times\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}$.
Donc $v_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ avec $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$, continue sur $[0\,;1]$. C'est une somme de Riemann, et $v_n\to\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan 1-\arctan 0=\frac{\pi}{4}\approx0{,}785$.
Exercice 2 : Montre que la série $\sum_{n\geqslant2}\frac{1}{n(\ln n)^2}$ converge et que sa somme est inférieure à $2{,}5$.
Correction :
Pose $f(t)=\frac{1}{t(\ln t)^2}$ sur $[2\,;+\infty[$. Elle est continue et positive, et décroissante car $t$ et $(\ln t)^2$ sont positifs et croissants sur cet intervalle. Une primitive est $-\frac{1}{\ln t}$, donc $\int_2^{x}f(t)\,\mathrm{d}t=\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln x}\to\frac{1}{\ln 2}$. L'intégrale converge, donc la série aussi, par comparaison série-intégrale à partir de 2.
Pour la majoration, $f(k)\leqslant\int_{k-1}^{k}f(t)\,\mathrm{d}t$ pour $k\geqslant3$. En sommant de $k=3$ à $n$ : $\sum_{k=2}^{n}f(k)\leqslant f(2)+\int_2^{n}f(t)\,\mathrm{d}t\leqslant\frac{1}{2(\ln 2)^2}+\frac{1}{\ln 2}$.
Or $\frac{1}{2(\ln 2)^2}<1{,}05$ et $\frac{1}{\ln 2}<1{,}45$ : la somme de la série est inférieure à $2{,}5$.
Exercice 3 : Un programme range $n$ fiches une à une dans une liste déjà triée. On admet que placer la $k$-ième fiche coûte $\log_2 k$ comparaisons, en coupant chaque fois la liste en deux. Le coût total est alors $C_n=\sum_{k=1}^{n}\log_2 k$. Montre que $C_n\sim n\log_2 n$.
Correction :
Comme $\log_2 k=\frac{\ln k}{\ln 2}$, il suffit de montrer que $L_n=\sum_{k=1}^{n}\ln k$, c'est-à-dire $\ln(n!)$, vérifie $L_n\sim n\ln n$.
Ici $\ln$ est croissante, donc les inégalités se retournent : $\ln k\geqslant\int_{k-1}^{k}\ln t\,\mathrm{d}t$ pour $k\geqslant2$ et $\ln k\leqslant\int_{k}^{k+1}\ln t\,\mathrm{d}t$ pour $k\geqslant1$. En sommant, avec la primitive $t\ln t-t$ :
$$n\ln n-n+1\leqslant L_n\leqslant(n+1)\ln(n+1)-n.$$
Divise par $n\ln n$. À gauche, $1-\frac{1}{\ln n}+\frac{1}{n\ln n}\to1$. À droite, $\frac{n+1}{n}\times\frac{\ln(n+1)}{\ln n}-\frac{1}{\ln n}\to1$, car $\ln(n+1)=\ln n+\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$. Par encadrement, $L_n\sim n\ln n$, donc $C_n\sim n\log_2 n$ comparaisons.
Exercice 4 : Pour quelles valeurs du réel $\alpha$ l'intégrale $\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha(1+t)}$ converge-t-elle ?
Correction :
La fonction est continue et positive sur $]0\,;+\infty[$, avec deux bornes à étudier : coupe en 1.
En 0, $\frac{1}{t^\alpha(1+t)}\sim\frac{1}{t^\alpha}$, et $\int_0^{1}\frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha<1$. En $+\infty$, $\frac{1}{t^\alpha(1+t)}\sim\frac{1}{t^{\alpha+1}}$, et $\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha+1}}$ converge si et seulement si $\alpha+1>1$, soit $\alpha>0$.
Par équivalence de fonctions positives, l'intégrale converge si et seulement si $0<\alpha<1$. Le piège : conclure sur une seule borne. Pour $\alpha=2$, tout va bien en $+\infty$, mais l'intégrale diverge à cause de 0. Contrôle pour $\alpha=\frac{1}{2}$ : le changement de variable $t=u^2$ donne $\int_0^{+\infty}\frac{2\,\mathrm{d}u}{1+u^2}=\pi$, une valeur finie.
À retenir
À retenir :
- Pour $f$ continue sur $[0\,;1]$, $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\to\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ : mets $\frac{1}{n}$ en facteur et fais apparaître $\frac{k}{n}$.
- Pas de limite terme à terme dans une somme dont le nombre de termes dépend de $n$.
- Pour $f$ positive et décroissante, $\sum f(n)$ et $\int_1^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t$ sont de même nature, et les rectangles encadrent les sommes partielles.
- Intégrales de Riemann : $\alpha>1$ en $+\infty$, $\alpha<1$ en 0, une borne à la fois.
- Une intégrale peut converger sans que $f$ tende vers 0.
Sources
- Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I, annexe 1, ministère de l'Enseignement supérieur, 2021, parties « Intégration » et « Procédés sommatoires discrets » : texte sur education.gouv.fr.
- Programme de mathématiques des classes préparatoires MP et MPI, annexe 1, ministère de l'Enseignement supérieur, 2021, parties « Séries numériques et vectorielles » et « Intégration sur un intervalle quelconque » : texte sur education.gouv.fr.