Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu : le cosinus est le côté adjacent divisé par l'hypoténuse, le sinus le côté opposé divisé par l'hypoténuse, la tangente l'opposé divisé par l'adjacent. Une échelle de 4 m posée contre un mur vertical, qui fait un angle de 60° avec le sol, a donc son pied à $4 \times \cos 60^\circ = 4 \times 0{,}5 = 2$ m du mur. Au lycée, ces rapports passent sur le cercle trigonométrique : le cosinus y devient une abscisse, le sinus une ordonnée, et on peut parler du cosinus de 150° ou d'un nombre négatif.
Dans le triangle rectangle
Prends un triangle rectangle et choisis un de ses angles aigus, c'est-à-dire un angle de moins de 90°. L'hypoténuse est le côté face à l'angle droit : c'est le plus long. Le côté opposé est celui qui fait face à l'angle choisi. Le côté adjacent touche cet angle sans être l'hypoténuse.
Formule : pour un angle aigu $\alpha$ d'un triangle rectangle,
$$\cos \alpha = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$$ $$\sin \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$$ $$\tan \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$$
Pour les retenir : CAH SOH TOA, c'est-à-dire Cosinus Adjacent Hypoténuse, Sinus Opposé Hypoténuse, Tangente Opposé Adjacent.
Ces rapports ne dépendent que de l'angle. Deux triangles rectangles qui ont le même angle aigu ont la même forme : l'un est un agrandissement de l'autre, ses longueurs sont toutes multipliées par le même nombre, donc le quotient de deux d'entre elles ne bouge pas. C'est pour ça que ta calculatrice donne $\cos 35^\circ$ sans rien savoir de ton triangle.
Pour retrouver un angle à partir d'un rapport, utilise les touches $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ de la calculatrice (leur nom varie selon les modèles) : si $\cos \alpha = 0{,}5$, elle donne $\alpha = 60^\circ$ en mode degrés. Ces formules, le programme de seconde les range parmi les automatismes à entretenir toute l'année.
Piège classique : « opposé » et « adjacent » dépendent de l'angle choisi : dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, le côté $[AC]$ est opposé à l'angle $\widehat{B}$ mais adjacent à l'angle $\widehat{C}$. Repère l'angle avant d'écrire la formule. Et comme l'hypoténuse est le plus long côté, un cosinus ou un sinus calculé dans un triangle rectangle tombe entre 0 et 1 : si tu trouves 1,3, cherche l'erreur.
Le cercle trigonométrique
Un angle aigu reste sous 90°. Pour parler du cosinus de 150°, il faut un autre support : le cercle trigonométrique. Dans la voie générale, il arrive en première, avec la spécialité mathématiques.
Dans un repère orthonormé d'origine $O$, trace le cercle de centre $O$ et de rayon 1. On le parcourt dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, appelé sens direct, en partant du point $I(1\,;\,0)$.
Place un point $M$ sur ce cercle, dans le quart en haut à droite, et appelle $H$ son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses (le pied de la perpendiculaire à cet axe passant par $M$). Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ et son hypoténuse $OM$ mesure 1, donc $\cos \widehat{HOM} = \dfrac{OH}{1} = OH$ et $\sin \widehat{HOM} = \dfrac{HM}{1} = HM$.
Le cosinus est l'abscisse de $M$, le sinus son ordonnée : avec un rayon 1, les rapports deviennent des coordonnées. Et tout point du cercle a des coordonnées, même là où il n'y a plus de triangle : c'est cette lecture qui devient la définition.
Reste à associer un point du cercle à chaque réel. Imagine une droite graduée verticale posée contre le cercle, son zéro sur $I$, avec la même unité que le repère, et enroule-la autour du cercle : les nombres positifs partent dans le sens direct, les négatifs dans l'autre. Chaque réel $x$ tombe sur un point $M$, appelé image de $x$.
Le cercle mesure $2\pi \times 1 = 2\pi$ : un tour complet correspond à $2\pi$, un demi-tour à $\pi$ (point $(-1\,;\,0)$), un quart de tour à $\dfrac{\pi}{2}$ (point $J(0\,;\,1)$). Ajouter $2\pi$, c'est faire un tour de plus : $x$ et $x + 2\pi$ ont la même image.
Définition : si $M$ est l'image du réel $x$ sur le cercle trigonométrique, $\cos x$ est l'abscisse de $M$ et $\sin x$ son ordonnée : $M(\cos x\,;\,\sin x)$.
Le radian
Pour $x$ entre 0 et $\pi$, l'arc de $I$ à $M$ mesure $x$ : on dit que l'angle $\widehat{IOM}$ mesure $x$ radians. Mesurer un angle en radians, c'est donner la longueur de l'arc qu'il découpe sur un cercle de rayon 1.
Un demi-tour fait 180° et découpe un arc de longueur $\pi$, donc $180^\circ = \pi$ rad. Le reste suit par proportionnalité : des degrés aux radians, tu multiplies par $\dfrac{\pi}{180}$ ; dans l'autre sens, par $\dfrac{180}{\pi}$. Ainsi $30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ rad, $45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ rad, $60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ rad et $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ rad. Un radian vaut environ $57{,}3^\circ$.
Piège classique : ta calculatrice a un mode degrés et un mode radians, et elle ne te prévient pas. En mode radians, $\cos 60$ affiche environ $-0{,}952$ au lieu de $0{,}5$ : c'est le cosinus de 60 radians. Angle en degrés : mode degrés. Réel, avec ou sans $\pi$ : mode radians. Vérifie le mode avant chaque contrôle.
Les valeurs remarquables
Les réels $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ reviennent sans arrêt, et leurs cosinus et sinus ont des valeurs exactes. Leur calcul pour $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ figure parmi les démonstrations du programme de première : deux figures suffisent.
Pour $\dfrac{\pi}{4}$ (45°) : la diagonale d'un carré de côté 1 le coupe en deux triangles rectangles isocèles, d'angles aigus 45°. D'après le théorème de Pythagore, elle mesure $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Donc $\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (multiplie en haut et en bas par $\sqrt{2}$), et le sinus a la même valeur puisque l'opposé mesure aussi 1.
Pour $\dfrac{\pi}{3}$ (60°) : dans un triangle équilatéral de côté 2, dont les angles mesurent 60°, la hauteur issue d'un sommet coupe le côté d'en face en son milieu. Elle forme un triangle rectangle d'hypoténuse 2, avec un côté de 1 et une hauteur de $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$. Pour l'angle de 60°, l'adjacent mesure 1 et l'opposé $\sqrt{3}$ : $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
L'autre angle aigu de ce triangle mesure 30°, soit $\dfrac{\pi}{6}$ : les rôles s'échangent, $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.
Pour 0 et $\dfrac{\pi}{2}$, les images sont $I(1\,;\,0)$ et $J(0\,;\,1)$. La tangente se calcule dans les mêmes triangles, opposé sur adjacent.
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| En degrés | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | non définie |
Pour retenir les sinus de 0 à $\dfrac{\pi}{2}$, écris-les $\dfrac{\sqrt{0}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{1}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{4}}{2}$ : tu retrouves $0$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $1$. Les cosinus suivent la même liste à l'envers.
Signes et angles associés
Puisque $\cos x$ est une abscisse, il est positif quand $M$ est à droite de l'axe des ordonnées, négatif à gauche. Puisque $\sin x$ est une ordonnée, il est positif en haut, négatif en bas. Entre $\dfrac{\pi}{2}$ et $\pi$, par exemple, le cosinus est négatif et le sinus positif.
Comme $M$ est à la distance 1 de $O$, ses coordonnées restent entre $-1$ et $1$. Le théorème de Pythagore dans le triangle $OHM$ donne $OH^2 + HM^2 = OM^2 = 1$, et cette égalité reste vraie partout sur le cercle.
Propriété : pour tout réel $x$, $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$, $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ et
$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$
où $\cos^2 x$ désigne $(\cos x)^2$.
Piège classique : cette relation donne $\cos^2 x$, donc le cosinus au signe près : deux valeurs opposées restent possibles, et c'est la position de $M$ sur le cercle qui tranche. Ne garde pas la valeur positive par réflexe.
Les symétries du cercle donnent les cosinus et sinus d'autres réels : place $x$, place le point cherché, puis compare leurs coordonnées.
| Réel | Son image et celle de $x$ sont symétriques par rapport | Cosinus | Sinus |
|---|---|---|---|
| $-x$ | à l'axe des abscisses | $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\pi - x$ | à l'axe des ordonnées | $-\cos x$ | $\sin x$ |
| $\pi + x$ | au point $O$ | $-\cos x$ | $-\sin x$ |
Par exemple, $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$. Son image est la symétrique de celle de $\dfrac{\pi}{6}$ par rapport à l'axe des ordonnées : même ordonnée, abscisse opposée. Donc $\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.
La tangente
Dans le triangle rectangle, divise le haut et le bas de $\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ par l'hypoténuse : tu obtiens $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. La tangente sert quand tu travailles avec les deux côtés de l'angle droit.
Sur un sol horizontal, un arbre bien droit projette une ombre de 12 m quand le soleil est à 35° au-dessus de l'horizon. L'ombre est adjacente à l'angle de 35° et la hauteur $h$ de l'arbre lui est opposée, donc $h = 12 \times \tan 35^\circ \approx 8{,}4$ m, sans grimper ni sortir le mètre.
Pour un réel $x$, on garde l'écriture $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, seulement quand $\cos x \neq 0$ : c'est la pente de la droite $(OM)$, qui devient verticale quand $M$ arrive en $J$. Le programme de première s'arrête au cosinus et au sinus d'un réel ; la fonction tangente n'est qu'un approfondissement possible du programme de terminale.
Exercices corrigés
Du plus direct au plus proche d'un contrôle : cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Une rampe d'accès monte de 0,5 m pendant qu'on avance de 6 m à l'horizontale. Calcule l'angle qu'elle fait avec le sol, arrondi au dixième de degré, puis sa longueur, arrondie au centimètre.
Correction :
La rampe est l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Par rapport à l'angle $\alpha$ qu'elle fait avec le sol, la montée de 0,5 m est le côté opposé et les 6 m le côté adjacent : la tangente relie ces deux côtés.
$\tan\alpha = \dfrac{0{,}5}{6} = \dfrac{1}{12}$, donc, avec la touche $\tan^{-1}$ en mode degrés, $\alpha \approx 4{,}8^\circ$.
Pour la longueur $L$, le théorème de Pythagore évite de réutiliser l'angle arrondi : $L = \sqrt{6^2 + 0{,}5^2} = \sqrt{36{,}25} \approx 6{,}02$ m.
Exercice 2 : Sans calculatrice, donne la valeur exacte de $\cos\dfrac{2\pi}{3}$, $\sin\dfrac{2\pi}{3}$, $\cos\dfrac{7\pi}{6}$, $\sin\dfrac{7\pi}{6}$ et $\cos\dfrac{13\pi}{3}$.
Correction :
$\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$ : l'image est la symétrique de celle de $\dfrac{\pi}{3}$ par rapport à l'axe des ordonnées. Donc $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$ : l'image est la symétrique de celle de $\dfrac{\pi}{6}$ par rapport à $O$, en bas à gauche, où cosinus et sinus sont négatifs. Donc $\cos\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$.
$\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{12\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = 4\pi + \dfrac{\pi}{3}$ : deux tours complets, puis $\dfrac{\pi}{3}$. Même image que $\dfrac{\pi}{3}$, donc $\cos\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.
Exercice 3 : On sait que $\sin x = \dfrac{3}{5}$ et que $x$ appartient à l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$. Calcule $\cos x$, puis donne les coordonnées du point $M$, image de $x$ sur le cercle trigonométrique.
Correction :
D'après $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, on a $\cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, donc $\cos x = \dfrac{4}{5}$ ou $\cos x = -\dfrac{4}{5}$.
Entre $\dfrac{\pi}{2}$ et $\pi$, l'image de $x$ est dans le quart en haut à gauche, où l'abscisse est négative ou nulle. Comme $\cos^2 x$ n'est pas nul, $\cos x = -\dfrac{4}{5}$. Garder $\dfrac{4}{5}$ par réflexe, c'est exactement l'erreur que cet exercice vise.
Le point $M$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{4}{5}\,;\,\dfrac{3}{5}\right)$. Vérification : $\dfrac{16}{25} + \dfrac{9}{25} = 1$.
À retenir
À retenir :
- Triangle rectangle : CAH SOH TOA, avec les côtés nommés par rapport à l'angle choisi.
- Cercle trigonométrique : l'image de $x$ est $M(\cos x\,;\,\sin x)$, la même que celle de $x + 2\pi$.
- $180^\circ = \pi$ rad, et la calculatrice dans le bon mode.
- Les valeurs remarquables sortent du carré et du triangle équilatéral.
- $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ donne le cosinus au signe près ; le signe se lit sur le cercle.
- $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, seulement quand $\cos x \neq 0$.
Sources
- Programme de mathématiques de seconde générale et technologique, arrêté du 26 février 2026, applicable à la rentrée 2026 : texte sur education.gouv.fr.
- Programme de spécialité de mathématiques de première générale, arrêté du 26 février 2026, applicable à la rentrée 2026 : texte sur education.gouv.fr.
- Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale, arrêté du 19 juillet 2019 : texte sur eduscol.