Une conique est l'ensemble des points $M$ dont la distance à un point fixe $F$, le foyer, vaut $e$ fois la distance à une droite fixe $\mathcal{D}$, la directrice : $MF = e\,d(M,\mathcal{D})$, avec $e > 0$ appelé excentricité. Si $e < 1$, c'est une ellipse ; si $e = 1$, une parabole ; si $e > 1$, une hyperbole. Exemple : avec $F(1\,;0)$, la directrice d'équation $x = -1$ et $e = 1$, la condition $MF^2 = d(M,\mathcal{D})^2$ s'écrit $(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2$, c'est-à-dire $y^2 = 4x$.
Toute la méthode est là : écrire la définition, élever au carré, développer, puis reconnaître une équation réduite.
Une seule définition pour les trois courbes
Définition : soit $\mathcal{D}$ une droite, $F$ un point hors de $\mathcal{D}$ et $e > 0$. La conique de foyer $F$, de directrice $\mathcal{D}$ et d'excentricité $e$ est l'ensemble des points $M$ tels que $MF = e\,d(M,\mathcal{D})$, où $d(M,\mathcal{D})$ est la distance de $M$ à la droite $\mathcal{D}$.
C'est la définition du programme de mathématiques de PT. Le nom vient du cône : ces courbes sont aussi les sections d'un cône de révolution par un plan.
Pour calculer, prends comme axe des abscisses la perpendiculaire à $\mathcal{D}$ passant par $F$ : c'est un axe de symétrie de la courbe, l'axe focal. Avec $F(m\,;0)$ et $\mathcal{D}$ d'équation $x = k$, les deux membres de l'égalité sont positifs : les élever au carré donne une condition équivalente.
$$(x-m)^2 + y^2 = e^2(x-k)^2$$
Regarde les termes de degré 2 : $y^2$ garde le coefficient $1$, $x^2$ prend le coefficient $1 - e^2$. Si $e < 1$, les deux sont positifs : ellipse. Si $e = 1$, le terme en $x^2$ disparaît : parabole. Si $e > 1$, les signes sont opposés : hyperbole. Toute la classification tient dans ce coefficient.
Un changement d'origine mène ensuite aux équations réduites, avec $a$, $b$ et $p$ strictement positifs.
| Ellipse ($a > b$) | Parabole | Hyperbole | |
|---|---|---|---|
| Équation réduite | $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ | $y^2 = 2px$ | $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ |
| Foyers | $(\pm c\,;0)$, $c^2 = a^2 - b^2$ | $\left(\dfrac{p}{2}\,;0\right)$ | $(\pm c\,;0)$, $c^2 = a^2 + b^2$ |
| Excentricité | $e = \dfrac{c}{a}$ | $e = 1$ | $e = \dfrac{c}{a}$ |
| Directrices | $x = \pm\dfrac{a^2}{c}$ | $x = -\dfrac{p}{2}$ | $x = \pm\dfrac{a^2}{c}$ |
Le programme précise que ces formules ne sont pas exigibles et doivent t'être fournies au besoin. Savoir les retrouver te fait quand même gagner du temps : les trois parties suivantes montrent comment.
La parabole
Place le foyer en $F\left(\dfrac{p}{2}\,;0\right)$ et la directrice sur la droite $x = -\dfrac{p}{2}$ : le réel $p$, appelé paramètre, est la distance du foyer à la directrice. Avec $e = 1$, la définition donne
$$\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2 = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 \iff y^2 = 2px$$
Le sommet est l'origine, à mi-chemin entre le foyer et la directrice, et l'axe des abscisses est l'axe de symétrie.
La parabole $y = \alpha x^2$ du lycée, avec $\alpha > 0$, est du même type, axes échangés : $x^2 = \dfrac{1}{\alpha}y$, donc $2p = \dfrac{1}{\alpha}$ et son foyer est le point $\left(0\,;\dfrac{1}{4\alpha}\right)$.
Piège classique : $p$ est la distance du foyer à la directrice, pas au sommet. Le foyer est à $\dfrac{p}{2}$ du sommet : pour $y^2 = 4x$, $p = 2$ et le foyer est $(1\,;0)$, pas $(2\,;0)$.
L'ellipse
Pour $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ avec $a > b > 0$, les axes du repère sont des axes de symétrie et l'origine est le centre. Les sommets sont $(\pm a\,;0)$ et $(0\,;\pm b)$ ; le grand axe, qui porte les foyers, mesure $2a$, le petit axe $2b$.
Pour retrouver $c$, sers-toi d'une autre propriété : la somme des distances d'un point de l'ellipse aux deux foyers vaut toujours $2a$ (au sommet $(a\,;0)$, c'est $(a - c) + (a + c)$). Au sommet $B(0\,;b)$, les deux distances sont égales, donc $BF = a$, et Pythagore dans le triangle $OBF$ rectangle en $O$ donne $a^2 = b^2 + c^2$.
Plus $e = \dfrac{c}{a}$ est proche de $0$, plus l'ellipse ressemble à un cercle. Le cercle lui-même ($a = b$, donc $c = 0$) reçoit l'excentricité $0$, même s'il n'a pas de directrice.
Enfin, comme $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, le point $(a\cos t\,;b\sin t)$ parcourt toute l'ellipse quand $t$ décrit $[0\,;2\pi[$ : c'est son paramétrage à partir du centre.
L'hyperbole
Pour $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, on a $\dfrac{x^2}{a^2} \geqslant 1$, donc $|x| \geqslant a$ : la courbe a deux branches, de sommets $(\pm a\,;0)$. Les foyers $(\pm c\,;0)$ sont au-delà des sommets, avec $c^2 = a^2 + b^2$, donc $e = \dfrac{c}{a} > 1$.
Les asymptotes sont les droites $y = \dfrac{b}{a}x$ et $y = -\dfrac{b}{a}x$ : pour les retrouver, remplace le $1$ par $0$ dans l'équation et factorise. La preuve tient en une ligne. Sur la moitié haute de la branche de droite, $y = \dfrac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}$, donc
$$\frac{b}{a}x - y = \frac{ab}{x + \sqrt{x^2 - a^2}}$$
qui tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Par symétrie, c'est vrai sur les quatre demi-branches.
La branche de droite se paramètre par $(a\operatorname{ch} t\,;b\operatorname{sh} t)$, $t \in \mathbb{R}$, car $\operatorname{ch}^2 t - \operatorname{sh}^2 t = 1$ (cosinus et sinus hyperboliques). Celle de gauche demande un second paramétrage, $(-a\operatorname{ch} t\,;b\operatorname{sh} t)$, puisque $\operatorname{ch} t \geqslant 1$.
Pour $k \neq 0$, l'équation $xy = k$ définit aussi une hyperbole, dont les asymptotes sont les axes du repère : la courbe de la fonction inverse en est une.
Piège classique : $c^2 = a^2 - b^2$ pour l'ellipse, $c^2 = a^2 + b^2$ pour l'hyperbole. Pense à la place des foyers : entre les sommets pour l'ellipse ($c < a$), au-delà pour l'hyperbole ($c > a$). Autre piège : dans l'hyperbole, $a$ est sous le terme positif, sans être forcément le plus grand. Pour $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1$, $a = 2$, $b = 3$ et $c = \sqrt{13}$.
Réduire une équation générale
Reste à reconnaître la conique cachée derrière une équation $ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$, où $(a,b,c) \neq (0,0,0)$ ; ici, $a$, $b$, $c$ sont de simples coefficients. La courbe peut être dégénérée : vide, un point, une ou deux droites.
Étape 1 : si $b \neq 0$, supprime le terme en $xy$. La matrice symétrique $S = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ se diagonalise dans une base orthonormée (théorème spectral). Dans le repère dirigé par ses vecteurs propres, les termes de degré 2 deviennent $\lambda_1 X^2 + \lambda_2 Y^2$, où $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont ses valeurs propres.
Étape 2 : complète les carrés pour absorber les termes de degré 1, ce qui revient à déplacer l'origine, puis divise pour faire apparaître une équation réduite.
Le signe des valeurs propres annonce la nature avant même de réduire, et leur produit vaut $\det S = ac - b^2$. S'il est strictement positif, la courbe est une ellipse, un point ou le vide. S'il est strictement négatif, une hyperbole ou deux droites sécantes. S'il est nul, une parabole, une ou deux droites parallèles, ou le vide.
Piège classique : le coefficient de $xy$ vaut $2b$. Pour $5x^2 - 4xy + 8y^2$, la matrice porte $-2$ hors de la diagonale, pas $-4$. Et prends une base propre orthonormée : sinon, les longueurs lues sur l'équation réduite sont fausses.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un devoir surveillé. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Dans un repère orthonormé, on donne $F(1\,;0)$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = 4$. Trouve une équation de la conique de foyer $F$, de directrice $\mathcal{D}$ et d'excentricité $\dfrac{1}{2}$, puis sa nature et ses éléments.
Correction :
Les deux membres étant positifs, on élève au carré : $(x-1)^2 + y^2 = \dfrac{1}{4}(x-4)^2$.
En multipliant par 4 et en développant : $4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 = x^2 - 8x + 16$, soit $3x^2 + 4y^2 = 12$, c'est-à-dire $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$.
C'est une ellipse de centre $O$, avec $a = 2$, $b = \sqrt{3}$ et $c = \sqrt{4 - 3} = 1$, de foyers $(\pm 1\,;0)$. Contrôle : $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}$, et la directrice $x = \dfrac{a^2}{c} = 4$ est bien celle de l'énoncé.
Exercice 2 : (données fictives) Une antenne parabolique a une coupe en forme de parabole, de 60 cm de diamètre et 6 cm de profondeur. Les ondes arrivant parallèlement à son axe se réfléchissent toutes vers le foyer, où l'on place le récepteur. À quelle distance du fond de l'antenne faut-il le mettre ?
Correction :
Prends le fond comme origine et l'axe de l'antenne comme axe des abscisses, en centimètres : la coupe a pour équation $y^2 = 2px$. Le bord est à 6 cm de profondeur et à 30 cm de l'axe, la moitié du diamètre, donc $(6\,;30)$ est sur la courbe : $900 = 12p$, d'où $p = 75$.
Le foyer est à $\dfrac{p}{2}$ du sommet : le récepteur se place sur l'axe, à $37{,}5$ cm du fond.
Exercice 3 : Donne la nature de la courbe d'équation $9x^2 - 16y^2 - 18x - 64y - 199 = 0$, son centre, ses foyers et ses asymptotes.
Correction :
Pas de terme en $xy$ : on complète les carrés. $9(x^2 - 2x) = 9(x-1)^2 - 9$ et $-16(y^2 + 4y) = -16(y+2)^2 + 64$, donc l'équation devient $9(x-1)^2 - 16(y+2)^2 = 144$, soit
$$\frac{(x-1)^2}{16} - \frac{(y+2)^2}{9} = 1$$
C'est une hyperbole de centre $\Omega(1\,;-2)$, avec $a = 4$ et $b = 3$. Ici $c^2 = a^2 + b^2 = 25$, donc $c = 5$ ; écrire $c = \sqrt{16 - 9}$, c'est le piège. Les foyers sont à 5 de $\Omega$ sur l'axe horizontal : $(6\,;-2)$ et $(-4\,;-2)$.
Les asymptotes passent par $\Omega$ : $y + 2 = \dfrac{3}{4}(x - 1)$ et $y + 2 = -\dfrac{3}{4}(x - 1)$.
Exercice 4 : Réduis l'équation $5x^2 - 4xy + 8y^2 = 36$ dans un repère orthonormé bien choisi. Donne la nature de la courbe, ses demi-axes et ses foyers dans le repère de départ.
Correction :
La matrice est $S = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$, de trace 13 et de déterminant 36. Ses valeurs propres sont les racines de $\lambda^2 - 13\lambda + 36 = 0$ : 4 et 9.
Pour 4, le système donne $x - 2y = 0$, d'où le vecteur propre unitaire $\vec{u} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}(2\,;1)$. Pour 9, il donne $2x + y = 0$, d'où $\vec{v} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}(1\,;-2)$, orthogonal à $\vec{u}$.
Dans le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$, l'équation devient $4X^2 + 9Y^2 = 36$, soit $\dfrac{X^2}{9} + \dfrac{Y^2}{4} = 1$ : une ellipse de centre $O$, de demi-grand axe 3 selon $\vec{u}$ et de demi-petit axe 2 selon $\vec{v}$.
Enfin $c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$ : les foyers vérifient $\overrightarrow{OF} = \pm\sqrt{5}\,\vec{u}$, ce sont les points $(2\,;1)$ et $(-2\,;-1)$.
À retenir
À retenir :
- $MF = e\,d(M,\mathcal{D})$ : ellipse si $e < 1$, parabole si $e = 1$, hyperbole si $e > 1$.
- Après élévation au carré, le coefficient $1 - e^2$ de $x^2$ décide de la nature.
- Parabole $y^2 = 2px$ : le foyer est à $\dfrac{p}{2}$ du sommet.
- $c^2 = a^2 - b^2$ pour l'ellipse, $c^2 = a^2 + b^2$ pour l'hyperbole, $e = \dfrac{c}{a}$ dans les deux cas.
- Asymptotes de l'hyperbole : remplace le $1$ par $0$.
- Équation générale : diagonalise $S$ en base orthonormée, complète les carrés ; le signe de $ac - b^2$ annonce la nature.
Sources
- Programme de mathématiques de la classe préparatoire PT (annexe 1), ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021, partie « Courbes et surfaces » : texte sur education.gouv.fr.