Deux sous-espaces $F$ et $G$ d'un espace vectoriel $E$ sont supplémentaires quand chaque vecteur de $E$ s'écrit d'une seule façon comme somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$ : on note $E = F \oplus G$. Exemple : toute fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est, de façon unique, la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire, comme $e^x = \operatorname{ch} x + \operatorname{sh} x$. En dimension finie, deux vérifications suffisent : $F \cap G = \{0_E\}$ et $\dim F + \dim G = \dim E$.
Le point de départ
Un sous-espace vectoriel de $E$ est une partie qui contient $0_E$ et qui est stable par combinaison linéaire : si $u$ et $v$ en font partie, $\lambda u + \mu v$ aussi, pour tous scalaires $\lambda$ et $\mu$ de $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Le sous-espace engendré $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs : c'est le plus petit sous-espace qui les contient.
Piège classique : une intersection de sous-espaces est un sous-espace, une réunion presque jamais. Dans $\mathbb{R}^2$, les droites $F = \operatorname{Vect}((1, 1))$ et $G = \operatorname{Vect}((1, -1))$ contiennent $(1, 1)$ et $(1, -1)$, mais aucune des deux ne contient leur somme $(2, 0)$ : $F \cup G$ n'est pas un sous-espace. Une réunion de deux sous-espaces n'en est un que si l'un contient l'autre.
La somme de deux sous-espaces
Pour assembler $F$ et $G$, on prend toutes les sommes possibles :
$$F + G = \{ f + g \mid f \in F,\ g \in G \}$$
C'est un sous-espace : il contient $0_E = 0_E + 0_E$, et $\lambda(f + g) + \mu(f' + g') = (\lambda f + \mu f') + (\lambda g + \mu g')$ est encore un vecteur de $F$ plus un vecteur de $G$. C'est même le plus petit sous-espace qui contient $F$ et $G$ : tout sous-espace qui les contient contient leurs sommes.
En pratique, on met bout à bout des familles génératrices : si $F = \operatorname{Vect}(a_1, \dots, a_p)$ et $G = \operatorname{Vect}(b_1, \dots, b_q)$, alors $F + G = \operatorname{Vect}(a_1, \dots, a_p, b_1, \dots, b_q)$. Par exemple, dans $\mathbb{R}^3$, $\operatorname{Vect}((1, 0, 1)) + \operatorname{Vect}((0, 1, 1))$ est l'ensemble des $(a, b, a + b)$ : c'est le plan d'équation $z = x + y$. Attention, la famille obtenue engendre $F + G$, mais rien ne dit qu'elle est libre.
Somme directe : une seule écriture
Tout vecteur de $F + G$ s'écrit $f + g$. Reste à savoir si cette écriture est unique.
Définition : la somme $F + G$ est directe si tout vecteur de $F + G$ s'écrit d'une seule façon $f + g$ avec $f \in F$ et $g \in G$. On la note alors $F \oplus G$.
Propriété : la somme $F + G$ est directe si et seulement si $F \cap G = \{0_E\}$.
Si la somme est directe et si $x \in F \cap G$, alors $0_E = x + (-x)$ avec $x \in F$ et $-x \in G$, mais aussi $0_E = 0_E + 0_E$ : l'unicité donne $x = 0_E$. Réciproquement, si $f + g = f' + g'$, le vecteur $f - f' = g' - g$ est à la fois dans $F$ et dans $G$, donc nul : $f = f'$ et $g = g'$.
Le critère ramène l'unicité à un calcul d'intersection. Dans l'exemple précédent, $(1, 0, 1)$ et $(0, 1, 1)$ ne sont pas colinéaires : les deux droites ne se coupent qu'en $0$, et la somme est directe.
Sous-espaces supplémentaires
Quand, en plus, la somme remplit tout l'espace, on dit que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ et on écrit $E = F \oplus G$ : cela veut dire $F + G = E$ et $F \cap G = \{0_E\}$.
Fais-toi un dessin. Dans le plan, deux droites vectorielles distinctes sont supplémentaires. Dans l'espace, une droite vectorielle et un plan vectoriel qui ne la contient pas le sont aussi. Les programmes de MPSI et MP2I et de PCSI incitent à se représenter ainsi des supplémentaires, par une figure en dimension 2 et 3.
Piège classique : supplémentaire ne veut pas dire complémentaire. Le complémentaire $E \setminus F$ ne contient pas $0_E$, ce n'est jamais un sous-espace. Et un supplémentaire n'est pas unique : dans $\mathbb{R}^2$, toute droite vectorielle autre que $F$ est un supplémentaire de la droite $F$. On dit « un » supplémentaire, jamais « le ».
Quand $E$ n'est pas de dimension finie, ou que tu veux la décomposition explicite, la méthode type est l'analyse-synthèse. L'analyse suppose qu'une décomposition $x = f + g$ existe et calcule $f$ et $g$ : c'est l'unicité. La synthèse vérifie que ces $f$ et $g$ conviennent : c'est l'existence.
Exemple : dans l'espace $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ (aussi noté $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$), soit $\mathcal{P}$ le sous-espace des fonctions paires et $\mathcal{I}$ celui des fonctions impaires. Analyse : si $h = p + i$ avec $p$ paire et $i$ impaire, alors $h(-x) = p(x) - i(x)$ pour tout réel $x$. En ajoutant puis en retranchant cette égalité et $h(x) = p(x) + i(x)$ :
$$p(x) = \frac{h(x) + h(-x)}{2} \qquad i(x) = \frac{h(x) - h(-x)}{2}$$
Synthèse : ces deux fonctions sont bien paire et impaire, et leur somme vaut $h$. Donc $\mathbb{R}^{\mathbb{R}} = \mathcal{P} \oplus \mathcal{I}$. Pour $h = \exp$, tu retrouves $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$.
En dimension finie, les dimensions décident
Propriété : si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces d'un espace $E$ de dimension finie, on a la formule de Grassmann
$$\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)$$
En particulier, $E = F \oplus G$ si et seulement si $F \cap G = \{0_E\}$ et $\dim F + \dim G = \dim E$.
D'où vient le terme retranché : pars d'une base de $F \cap G$, à $k$ vecteurs, et complète-la d'un côté en une base de $F$, de l'autre en une base de $G$. Les $k$ vecteurs communs, les $\dim F - k$ ajoutés pour $F$ et les $\dim G - k$ ajoutés pour $G$ forment une base de $F + G$, qui compte $\dim F + \dim G - k$ vecteurs. Les directions communes n'y sont comptées qu'une fois.
Quand $E = F \oplus G$, une base de $F$ suivie d'une base de $G$ forme une base de $E$, dite adaptée à la décomposition. Réciproquement, si ces deux bases mises bout à bout forment une base de $E$, alors $E = F \oplus G$.
Enfin, tout sous-espace $F$ d'un espace de dimension finie a un supplémentaire : complète une base $(e_1, \dots, e_p)$ de $F$ en une base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ avec le théorème de la base incomplète, et $\operatorname{Vect}(e_{p+1}, \dots, e_n)$ convient.
En exercice, calcule d'abord les dimensions : si $\dim F + \dim G \neq \dim E$, c'est réglé, $F$ et $G$ ne sont pas supplémentaires. Sinon, il ne reste que l'intersection à vérifier.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un devoir surveillé. Cherche chacun avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Sur une carte munie d'un repère orthonormé, avec le kilomètre pour unité, un voilier part de l'origine et doit rejoindre le point $(7, 3)$. Le vent ne lui laisse que deux directions, celles de $a = (3, 2)$ et de $b = (1, -1)$. Montre que $\mathbb{R}^2 = \operatorname{Vect}(a) \oplus \operatorname{Vect}(b)$, écris $(7, 3)$ comme somme d'un vecteur de chaque droite, puis donne la longueur de chacun des deux trajets en ligne droite, au centième de kilomètre.
Correction :
$a$ et $b$ ne sont pas colinéaires : $b = ka$ donnerait $k = \frac{1}{3}$ par la première coordonnée et $k = -\frac{1}{2}$ par la seconde. Les deux droites ne se coupent donc qu'en $0$, et $1 + 1 = 2 = \dim \mathbb{R}^2$ : elles sont supplémentaires.
On cherche $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha a + \beta b = (7, 3)$, soit $3\alpha + \beta = 7$ et $2\alpha - \beta = 3$. En additionnant, $5\alpha = 10$, donc $\alpha = 2$ et $\beta = 1$ : $(7, 3) = (6, 4) + (1, -1)$.
Longueurs : $\|2a\| = 2\sqrt{3^2 + 2^2} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21$ km et $\|b\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ km.
Exercice 2 : Dans $\mathbb{R}^3$, on pose $P = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}$ et $D = \operatorname{Vect}((1, 1, 1))$. Montre que $\mathbb{R}^3 = P \oplus D$, puis écris $u = (2, -1, 5)$ comme somme d'un vecteur de $P$ et d'un vecteur de $D$.
Correction :
Dans $P$, $x = -y - z$, donc $P = \operatorname{Vect}((-1, 1, 0), (-1, 0, 1))$ : deux vecteurs non colinéaires, $\dim P = 2$. Avec $\dim D = 1$, on a bien $2 + 1 = 3 = \dim \mathbb{R}^3$. Intersection : $\lambda(1, 1, 1) \in P$ impose $3\lambda = 0$, donc $P \cap D = \{0\}$ et $\mathbb{R}^3 = P \oplus D$.
Décomposition : on cherche $\lambda$ tel que $u - \lambda(1, 1, 1) \in P$, soit $(2 - \lambda) + (-1 - \lambda) + (5 - \lambda) = 0$, c'est-à-dire $6 - 3\lambda = 0$ : $\lambda = 2$. Donc $u = (0, -3, 3) + (2, 2, 2)$, et on vérifie que $0 - 3 + 3 = 0$.
Exercice 3 : Dans $\mathbb{R}^3$, on reprend $P = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}$ et on pose $Q = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = z\}$. Un camarade affirme : « $P + Q = \mathbb{R}^3$, donc $P$ et $Q$ sont supplémentaires. » Calcule $\dim(P \cap Q)$ et $\dim(P + Q)$, puis trouve son erreur.
Correction :
$Q = \{(x, y, x) \mid (x, y) \in \mathbb{R}^2\} = \operatorname{Vect}((1, 0, 1), (0, 1, 0))$ est un plan, comme $P$ (exercice 2). Un vecteur de $P \cap Q$ vérifie $z = x$ et $x + y + z = 0$, donc $y = -2x$ : $P \cap Q = \operatorname{Vect}((1, -2, 1))$, de dimension 1.
Grassmann donne $\dim(P + Q) = 2 + 2 - 1 = 3$, et un sous-espace de $\mathbb{R}^3$ de dimension 3 est $\mathbb{R}^3$ tout entier : sur ce point, le camarade a raison. Mais $P \cap Q \neq \{0\}$, donc la somme n'est pas directe : il n'a vérifié que la moitié de la définition. Les dimensions le disaient d'emblée, puisque $2 + 2 = 4 \neq 3$ : deux plans de $\mathbb{R}^3$ ne sont jamais supplémentaires.
Exercice 4 : On note $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ les ensembles des matrices symétriques ($N^\top = N$) et antisymétriques ($N^\top = -N$) de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montre que $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$, puis décompose $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.
Correction :
Ce sont des sous-espaces : ils contiennent la matrice nulle, et $(\lambda N + \mu N')^\top = \lambda N^\top + \mu (N')^\top$ donne la stabilité par combinaison linéaire.
Analyse, comme pour les fonctions paires et impaires : si $M = S + A$ avec $S$ symétrique et $A$ antisymétrique, alors $M^\top = S - A$, d'où $S = \dfrac{M + M^\top}{2}$ et $A = \dfrac{M - M^\top}{2}$. Synthèse : ces deux matrices sont bien symétrique et antisymétrique, puisque $(M^\top)^\top = M$, et leur somme vaut $M$. Donc $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$.
Pour $B$ : $B^\top = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$, donc $B = S + A$ avec $S = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. Contrôle par les dimensions pour $n = 2$ : $\mathcal{S}_2(\mathbb{R})$ est de dimension 3, $\mathcal{A}_2(\mathbb{R})$ de dimension 1, et $3 + 1 = 4 = \dim \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
À retenir
À retenir :
- $F + G$ est le plus petit sous-espace qui contient $F$ et $G$ ; la réunion $F \cup G$ n'en est presque jamais un.
- Somme directe : écriture $f + g$ unique, ce qui revient à $F \cap G = \{0_E\}$.
- $E = F \oplus G$ : un supplémentaire n'est pas unique, et ce n'est jamais le complémentaire.
- Pour une décomposition explicite : analyse-synthèse. En dimension finie, le test : $F \cap G = \{0_E\}$ et $\dim F + \dim G = \dim E$.
- Grassmann : $\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)$.
Sources
- Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I, annexe 1, ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021 : texte sur education.gouv.fr.
- Programme de mathématiques de la classe préparatoire PCSI, annexe 1, même ministère, 2021 : texte sur education.gouv.fr.