La structure de K-espace vectoriel
En terminale, vous avez manipulé des vecteurs dans le plan ou l'espace. En Maths Sup, on généralise ce concept. Un espace vectoriel est un ensemble d'objets (les vecteurs) que l'on peut additionner entre eux et multiplier par des "scalaires" (des nombres réels ou complexes).
Soit K un corps (souvent R ou C). Un ensemble E est un K-espace vectoriel s'il est muni d'une loi interne (+) et d'une loi externe (.) vérifiant 8 axiomes fondamentaux (commutativité, associativité, élément neutre, distributivité.). Cette abstraction permet de traiter de la même manière des vecteurs de R³, des polynômes, des suites ou des fonctions.
Exemples de K-ev usuels :
• Kⁿ (les n-uplets de scalaires).
• K[X] (l'ensemble des polynômes).
• F(I, R) (l'ensemble des fonctions de I dans R).
Sous-espaces vectoriels (sev)
On ne travaille presque jamais sur l'espace E entier, mais sur des parties stables. Un sous-ensemble F de E est un sous-espace vectoriel si :
Non-vacuité : F contient le vecteur nul de E (0_E ∈ F).
Stabilité par combinaison linéaire : Pour tout (u,v) ∈ F² et tout (λ,μ) ∈ K², λu + μv ∈ F.
Théorème crucial : Toute intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. Attention, la réunion de deux sev n'est généralement pas un sev (sauf si l'un est inclus dans l'autre).
Focus sur le Vect : L'ensemble des combinaisons linéaires d'une famille de vecteurs est appelé sous-espace engendré, noté Vect(u₁, ., uₙ). C'est le plus petit sev contenant ces vecteurs.
Familles libres, génératrices et Bases
Comment décrire un espace vectoriel de manière minimale ? On utilise la notion de famille.
- Famille génératrice : Tout vecteur de E peut s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille.
- Famille libre : Aucun vecteur de la famille ne peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres. On dit que les vecteurs sont linéairement indépendants.
- Base : Une famille qui est à la fois libre et génératrice. C'est le "système de coordonnées" de l'espace.
Point de méthode : Pour montrer qu'une famille (u₁, ., uₙ) est libre, on commence TOUJOURS par : "Soient λ₁, ., λₙ des scalaires tels que λ₁u₁ + . + λₙuₙ = 0". Le but est de prouver que tous les λᵢ sont nuls.
Dimension d'un espace vectoriel
C'est ici que l'algèbre linéaire devient puissante. Si E possèd'une famille génératrice finie, on dit qu'il est de dimension finie.
Le théorème de la base incomplète nous assure que toutes les bases d'un même espace ont le même nombre d'éléments. Ce nombre est la dimension de E, notée dim(E).
Dimensions classiques :
• dim(Kⁿ) = n.
• dim(Kₙ[X]) = n + 1 (attention au +1 !).
• dim(M_{n,p}(K)) = n × p.
Somme directe et Supplémentaires
On dit que deux sev F et G sont en somme directe (noté F ⊕ G) si tout vecteur de F+G se décompose de manière UNIQUE comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G.
Caractérisation : F et G sont en somme directe si et seulement si leur intersection est réduite au vecteur nul (F ∩ G = {0}). Si en plus F ⊕ G = E, alors F et G sont dits supplémentaires dans E.
Formule de Grassmann : Pour deux sev F et G de dimension finie : dim(F + G) = dim(F) + dim(G) - dim(F ∩ G). Si la somme est directe, le terme d'intersection disparaît.
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