Une fonction affine s'écrit $f(x) = mx + p$, et sa courbe est une droite : $m$ dit de combien $f(x)$ change quand $x$ augmente de $1$, et $p$ vaut $f(0)$. Imagine un taxi qui prend 4 € au départ puis 2 € par kilomètre : pour $x$ kilomètres, tu paies $f(x) = 2x + 4$. Quand $p = 0$, la fonction est linéaire, et c'est la proportionnalité. La suite montre comment retrouver la fonction à partir de deux points, son sens de variation et son signe, avec quatre exercices corrigés.
Fonction affine, fonction linéaire
Définition : une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est affine s'il existe deux réels $m$ et $p$ tels que, pour tout réel $x$, $f(x) = mx + p$. Le réel $m$ est son coefficient directeur, $p$ son ordonnée à l'origine. Si $p = 0$, $f$ est linéaire : $f(x) = mx$. Si $m = 0$, $f$ est constante.
Une fonction linéaire est donc une fonction affine particulière. Tu croiseras aussi l'écriture $f(x) = ax + b$ : seules les lettres changent.
La courbe représentative de $f$, c'est l'ensemble des points de coordonnées $(x\,;f(x))$. Pour une fonction affine, c'est une droite, qui coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;p)$ puisque $f(0) = p$ : d'où le nom d'ordonnée à l'origine. Pour une fonction linéaire, la droite passe par l'origine du repère ; pour une fonction constante, elle est horizontale.
Le coefficient directeur est le nombre qui multiplie $x$, avec son signe, quel que soit l'ordre d'écriture : dans $f(x) = 3 - 2x$, c'est $-2$, pas $3$.
Le lien avec la proportionnalité
Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité : chaque image $f(x)$ s'obtient en multipliant $x$ par le même nombre $m$, le coefficient de proportionnalité. Si les pommes sont à 3 € le kilo, $x$ kilos coûtent $3x$ euros : deux fois plus de pommes, deux fois plus cher.
Une fonction affine non linéaire ne fait pas ça. Avec le taxi, 2 km coûtent $f(2) = 8$ € et 4 km coûtent $f(4) = 12$ €, pas le double. Ce qui reste proportionnel, ce sont les augmentations : chaque kilomètre de plus ajoute 2 €.
Propriété : si $f(x) = mx + p$, alors pour tous réels $x_1$ et $x_2$,
$$f(x_2) - f(x_1) = m(x_2 - x_1)$$
L'augmentation de $f(x)$ est proportionnelle à celle de $x$, avec le coefficient $m$.
La preuve tient en une ligne : $f(x_2) - f(x_1) = mx_2 + p - mx_1 - p = m(x_2 - x_1)$. Dans un tableau de valeurs où $x$ avance toujours du même pas, une fonction affine fait donc toujours le même saut : c'est un bon test.
Trouver la fonction à partir de deux points
Si $x_1 \neq x_2$, divise l'égalité précédente par $x_2 - x_1$ et tu obtiens $m$. On l'appelle aussi taux d'accroissement : la variation de $f(x)$ divisée par celle de $x$.
Formule : si la droite passe par $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$, avec $x_A \neq x_B$, alors
$$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$
et, comme $A$ est sur la droite, $p = y_A - m\,x_A$.
Avec $A(1\,;5)$ et $B(4\,;11)$ : $m = \dfrac{11 - 5}{4 - 1} = 2$ et $p = 5 - 2 \times 1 = 3$, donc $f(x) = 2x + 3$. Contrôle avec $B$ : $2 \times 4 + 3 = 11$.
Piège classique : garde le même ordre en haut et en bas. Écrire $\dfrac{y_B - y_A}{x_A - x_B}$ donne l'opposé du bon résultat. Et si $x_A = x_B$, la droite est verticale : elle ne représente aucune fonction et n'a pas de coefficient directeur.
Tracer la droite
Deux points suffisent. Place $(0\,;p)$ sur l'axe des ordonnées, avance d'une unité vers la droite, puis monte de $m$, ou descends de $-m$ si $m$ est négatif. Pour $f(x) = -2x + 1$ : départ en $(0\,;1)$, une unité à droite, deux vers le bas, tu arrives en $(1\,;-1)$. Un troisième point sert de contrôle : $f(2) = -3$, donc $(2\,;-3)$ doit tomber sur ta droite.
Si $m = \dfrac{2}{3}$, avance plutôt de 3 et monte de 2 : tu restes sur le quadrillage.
Sens de variation
Une fonction est strictement croissante quand $x_1 < x_2$ entraîne $f(x_1) < f(x_2)$ : sa courbe monte de gauche à droite. Elle est strictement décroissante quand $x_1 < x_2$ entraîne $f(x_1) > f(x_2)$.
Propriété : soit $f(x) = mx + p$. Si $m > 0$, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Si $m < 0$, elle est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. Si $m = 0$, elle est constante.
Prends deux réels $x_1 < x_2$. D'après la propriété des augmentations, $f(x_2) - f(x_1) = m(x_2 - x_1)$, avec $x_2 - x_1 > 0$. Ce produit a donc le signe de $m$ : si $m > 0$, $f(x_2) > f(x_1)$ ; si $m < 0$, $f(x_2) < f(x_1)$.
Cette démonstration figure dans la liste du programme de seconde, applicable à la rentrée 2026. Plus $m$ est loin de $0$, plus la droite est raide.
Signe et tableau de signes
Si $m \neq 0$, l'équation $mx + p = 0$ a une seule solution, $x = -\dfrac{p}{m}$ : c'est là que la droite coupe l'axe des abscisses. Une droite qui monte est sous cet axe avant ce point, au-dessus après ; une droite qui descend fait l'inverse. D'où la règle : à droite de $-\dfrac{p}{m}$, $f(x)$ a le signe de $m$, et à gauche le signe contraire.
Pour $f(x) = -2x + 6$, le zéro est $x = 3$ et $m = -2$ est négatif. Le tableau de signes résume tout :
| $x$ | $-\infty$ | $3$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $-2x + 6$ | $+$ | $0$ | $-$ |
Piège classique : pour résoudre $-2x + 6 > 0$, tu arrives à $-2x > -6$. Diviser les deux côtés par $-2$, un nombre négatif, change le sens de l'inégalité : $x < 3$, et non $x > 3$. Le tableau le confirme, et les solutions forment l'intervalle $]-\infty\,;\,3[$.
Modéliser une situation concrète
Modéliser une situation, c'est la décrire par une fonction. Une fonction affine convient quand une grandeur part d'une valeur fixe et change toujours de la même quantité par unité : un prix avec abonnement, une distance parcourue à vitesse constante. La valeur de départ donne $p$, la variation par unité donne $m$, négatif si la grandeur diminue.
Une bougie de 20 cm raccourcit de 1,5 cm par heure (données fictives). Après $t$ heures, sa hauteur en centimètres est $h(t) = 20 - 1{,}5t$, avec $p = 20$ et $m = -1{,}5$. Elle est consumée quand $h(t) = 0$, soit $t = \dfrac{20}{1{,}5} = \dfrac{40}{3} \approx 13{,}3$ heures. Le modèle ne vaut que pour $t$ dans $\left[0\,;\,\dfrac{40}{3}\right]$ : au-delà, il donnerait une hauteur négative.
Exercices corrigés
Du plus direct au plus proche d'un contrôle. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Ces fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$. Lesquelles sont affines, lesquelles sont linéaires ? Donne $m$ et $p$ pour les affines : $f(x) = 5 - x$, $g(x) = \dfrac{2x}{3}$, $h(x) = x^2 + 1$ et $k(x) = (x + 1)^2 - x^2$.
Correction :
$f(x) = -x + 5$ : affine, avec $m = -1$ (le nombre devant $x$, avec son signe) et $p = 5$.
$g(x) = \dfrac{2}{3}x$ : linéaire, avec $m = \dfrac{2}{3}$ et $p = 0$.
$h$ n'est pas affine, à cause du $x^2$.
Pour $k$, développe avant de juger : $(x + 1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1$. Les carrés s'annulent, donc $k$ est affine, avec $m = 2$ et $p = 1$.
Exercice 2 : La droite $(d)$ passe par $A(-1\,;5)$ et $B(3\,;-3)$. Détermine la fonction affine $f$ qu'elle représente, puis son sens de variation.
Correction :
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-3 - 5}{3 - (-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2$. Les parenthèses autour de $-1$ évitent l'erreur de signe.
Puis $p = y_A - m\,x_A = 5 - (-2) \times (-1) = 5 - 2 = 3$, donc $f(x) = -2x + 3$.
Contrôle avec $B$ : $-2 \times 3 + 3 = -3$. Comme $m = -2 < 0$, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
Exercice 3 : Soit $f(x) = -3x + 12$. Résous l'inéquation $-3x + 12 \geqslant 0$, puis donne le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
Correction :
$-3x + 12 \geqslant 0$ donne $-3x \geqslant -12$. On divise par $-3$, un nombre négatif, donc le sens change : $x \leqslant 4$. Les solutions forment l'intervalle $]-\infty\,;\,4]$, avec $4$ compris puisque l'inégalité est large (le signe $\geqslant$ accepte l'égalité).
Donc $f(x)$ est positif sur $]-\infty\,;\,4[$, nul en $x = 4$ et négatif sur $]4\,;\,+\infty[$. C'est bien la règle : à droite du zéro, le signe de $m = -3$.
Exercice 4 : Une salle d'escalade propose deux tarifs (données fictives). Tarif A : 8 € la séance. Tarif B : 60 € d'abonnement pour l'année, puis 3 € la séance. On note $x$ le nombre de séances dans l'année. Exprime les prix annuels $A(x)$ et $B(x)$, en euros. Lequel est proportionnel au nombre de séances ? À partir de combien de séances le tarif B est-il strictement moins cher ?
Correction :
$A(x) = 8x$ : le prix est proportionnel au nombre de séances, la fonction est linéaire. $B(x) = 3x + 60$ est affine, mais pas linéaire, à cause de l'abonnement.
Le tarif B est moins cher quand $3x + 60 < 8x$, soit $60 < 5x$, donc $x > 12$.
Contrôle : pour 12 séances, $A(12) = 96$ € et $B(12) = 36 + 60 = 96$ €, les deux tarifs sont égaux et les deux droites se coupent au point $(12\,;96)$. Pour 13 séances, $A(13) = 104$ € et $B(13) = 99$ €. Le tarif B est strictement moins cher à partir de 13 séances.
À retenir
À retenir :
- Affine : $f(x) = mx + p$, une droite qui coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;p)$.
- Linéaire : $p = 0$, c'est la proportionnalité, et la droite passe par l'origine.
- Les augmentations sont proportionnelles : $f(x_2) - f(x_1) = m(x_2 - x_1)$.
- Par deux points : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, puis $p = y_A - m\,x_A$.
- $m > 0$ : $f$ strictement croissante ; $m < 0$ : strictement décroissante.
- À droite de $-\dfrac{p}{m}$, $f(x)$ a le signe de $m$. Diviser une inégalité par un nombre négatif change son sens.
Sources
- Programme de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique : texte sur education.gouv.fr.
- Arrêté du 26 février 2026 fixant ce programme, publié au Journal officiel du 27 mars 2026, applicable à la rentrée de l'année scolaire 2026-2027 : texte sur Légifrance.