Une fonction périodique de période $T$, assez régulière, s'écrit comme une constante plus une somme de cosinus et de sinus de fréquences $\dfrac{1}{T}$, $\dfrac{2}{T}$, $\dfrac{3}{T}$, et ainsi de suite. Chaque coefficient se calcule par une intégrale sur une période. Par exemple, le signal carré de période $2\pi$ qui vaut $1$ sur $]0\,;\pi[$ et $-1$ sur $]-\pi\,;0[$ a pour série de Fourier $\dfrac{4}{\pi}\left(\sin t + \dfrac{\sin 3t}{3} + \dfrac{\sin 5t}{5} + \cdots\right)$. Tu trouveras ensuite d'où viennent les formules, les théorèmes de Dirichlet et de Parseval, et trois exercices corrigés.
Les formules des coefficients
Prends une fonction $f$ de période $T$, continue par morceaux : sur une période, elle n'a qu'un nombre fini de sauts, avec une limite finie de chaque côté. On note $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ sa pulsation. Sa série de Fourier est
$$a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\big(a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)\big)$$
Formule : pour tout entier $n \geqslant 1$,
$$a_0 = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t$$
$$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(n\omega t)\,\mathrm{d}t$$
$$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t$$
Tu peux intégrer sur tout intervalle de longueur $T$, par exemple $\left[-\dfrac{T}{2}\,;\dfrac{T}{2}\right]$.
Le coefficient $a_0$ est la valeur moyenne de $f$. Le terme de rang 1, de fréquence $\dfrac{1}{T}$, s'appelle le fondamental ; celui de rang $n$ est l'harmonique de rang $n$, de fréquence $\dfrac{n}{T}$. Son amplitude vaut $A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$, et le graphique des amplitudes en fonction de la fréquence s'appelle le spectre.
Cette écriture, avec $a_0$ seul devant la somme, est celle du programme de mathématiques des BTS (arrêté du 4 juin 2013). D'autres cours écrivent $\dfrac{a_0}{2}$ à la place, avec $a_0 = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t$ : même série, seul le nom change.
Piège classique : $a_0$ prend $\dfrac{1}{T}$, les autres coefficients prennent $\dfrac{2}{T}$. Mettre $\dfrac{2}{T}$ partout double la valeur moyenne. La partie suivante explique cet écart.
D'où viennent ces formules
Tout repose sur l'orthogonalité : sur une période, l'intégrale du produit de deux cosinus ou sinus différents est nulle. Pour des entiers $n \geqslant 1$ et $m \geqslant 1$ :
$$\int_0^T \cos(n\omega t)\cos(m\omega t)\,\mathrm{d}t = \begin{cases} 0 & \text{si } n \neq m \\ \dfrac{T}{2} & \text{si } n = m \end{cases}$$
C'est pareil pour deux sinus, et $\cos(n\omega t)\sin(m\omega t)$ a toujours une intégrale nulle. Pour le vérifier, transforme le produit en somme, par exemple $\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\big[\cos(a-b) + \cos(a+b)\big]$, et rappelle-toi qu'un $\cos(k\omega t)$, avec $k$ entier non nul, a une intégrale nulle sur une période.
Suppose que $f$ est égale à sa série. Multiplie par $\cos(m\omega t)$ et intègre sur une période : tous les termes disparaissent sauf celui de rang $m$, qui vaut $a_m \times \dfrac{T}{2}$. D'où le $\dfrac{2}{T}$ de la formule de $a_m$. Pour $a_0$, intègre directement : il reste $a_0 \times T$, d'où le $\dfrac{1}{T}$.
Ce raisonnement admet qu'on peut intégrer la somme terme à terme, mais il donne les bonnes formules. Retiens l'image : sur une période, $\cos^2$ a pour moyenne $\dfrac{1}{2}$, et c'est elle qui fait le $\dfrac{2}{T}$.
Gagner du temps avec la parité
Propriété : si $f$ est paire, tous les $b_n$ sont nuls, et
$$a_0 = \frac{2}{T}\int_0^{T/2} f(t)\,\mathrm{d}t$$
$$a_n = \frac{4}{T}\int_0^{T/2} f(t)\cos(n\omega t)\,\mathrm{d}t$$
Si $f$ est impaire, $a_0$ et tous les $a_n$ sont nuls, et $b_n = \dfrac{4}{T}\displaystyle\int_0^{T/2} f(t)\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t$.
En effet, sur $\left[-\dfrac{T}{2}\,;\dfrac{T}{2}\right]$, l'intégrale d'une fonction impaire est nulle, et celle d'une fonction paire vaut deux fois celle sur $\left[0\,;\dfrac{T}{2}\right]$. Si $f$ est paire, $f(t)\sin(n\omega t)$ est impaire et $f(t)\cos(n\omega t)$ est paire ; si $f$ est impaire, c'est l'inverse.
Un signal ni pair ni impair le devient souvent quand on lui retire sa valeur moyenne, ce qui ne change que $a_0$ : c'est le cas du créneau de l'exercice 1.
Un exemple complet : le signal carré
Reprends le signal carré de l'introduction, avec $f(0) = f(\pi) = 0$. Ici $T = 2\pi$, donc $\omega = 1$. La fonction est impaire : $a_0$ et les $a_n$ sont nuls, et
$$b_n = \frac{4}{2\pi}\int_0^{\pi}\sin(nt)\,\mathrm{d}t = \frac{2}{\pi}\left[-\frac{\cos(nt)}{n}\right]_0^{\pi} = \frac{2\big(1 - \cos(n\pi)\big)}{n\pi}$$
Comme $\cos(n\pi) = (-1)^n$, $b_n = 0$ pour $n$ pair et $b_n = \dfrac{4}{n\pi}$ pour $n$ impair. D'où la série :
$$\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\sin\big((2k+1)t\big)}{2k+1} = \frac{4}{\pi}\left(\sin t + \frac{\sin 3t}{3} + \frac{\sin 5t}{5} + \cdots\right)$$
| Rang $n$ | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| Amplitude $\dfrac{4}{n\pi}$ | 1,27 | 0,42 | 0,25 | 0,18 |
Seuls les harmoniques de rang impair sont présents, et leur amplitude décroît lentement, comme $\dfrac{1}{n}$ : il faut beaucoup de hautes fréquences pour dessiner un saut. Un signal sans saut, comme celui de l'exercice 3, a des coefficients qui décroissent plus vite.
Le théorème de Dirichlet
Reste à savoir vers quoi la série converge. Le théorème de Dirichlet répond pour les fonctions de classe $C^1$ par morceaux : sur une période, $f$ n'a qu'un nombre fini de points à problème ; entre ces points, elle est dérivable à dérivée continue, et $f$ comme $f'$ ont des limites finies aux bords.
Théorème de Dirichlet : si $f$ est périodique et de classe $C^1$ par morceaux, sa série de Fourier converge en tout réel $t$ vers
$$\frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$$
où $f(t^+)$ et $f(t^-)$ sont les limites de $f$ à droite et à gauche de $t$. Là où $f$ est continue, la série converge donc vers $f(t)$.
En $t = \dfrac{\pi}{2}$, le signal carré est continu et vaut 1. Comme $\sin\left((2k+1)\dfrac{\pi}{2}\right) = (-1)^k$, le théorème donne $\dfrac{4}{\pi}\left(1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \cdots\right) = 1$, c'est-à-dire :
$$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}$$
Une série de Fourier sert donc aussi à calculer la somme d'une série numérique.
Piège classique : en un point de saut, la série converge vers le milieu du saut, pas vers $f(t)$. Pour le signal carré en $t = 0$, tous les sinus sont nuls : la somme vaut 0, quelle que soit la valeur choisie pour $f(0)$. Près d'un saut, les sommes partielles (la série arrêtée à un rang $N$) dépassent aussi la fonction d'environ 9 % de la hauteur du saut. Ajouter des termes rapproche ce pic du saut sans l'effacer : c'est le phénomène de Gibbs.
La formule de Parseval
Formule de Parseval : si $f$ est périodique de période $T$ et continue par morceaux,
$$\frac{1}{T}\int_0^T f(t)^2\,\mathrm{d}t = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n^2 + b_n^2\right)$$
À gauche, c'est la moyenne de $f^2$ sur une période, autrement dit le carré de la valeur efficace de $f$. Elle se partage : $a_0^2$ pour la composante continue, $\dfrac{A_n^2}{2}$ pour l'harmonique de rang $n$. Tu retrouves la formule en élevant la série au carré et en intégrant : l'orthogonalité fait disparaître les produits croisés.
Pour le signal carré, $f^2$ vaut 1 sauf en des points isolés, donc le membre de gauche vaut 1, et $\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} b_n^2 = \dfrac{8}{\pi^2}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^2}$. On en tire :
$$1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \frac{1}{49} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}$$
En électricité, la puissance moyenne dissipée dans une résistance est proportionnelle au carré de la valeur efficace. Le fondamental du signal carré en porte à lui seul $\dfrac{8}{\pi^2} \approx 81\,\%$, et les rangs 1 à 7 réunis environ 95 %.
Les applications
Une note de musique tenue est un signal périodique : sa fréquence fondamentale fixe la hauteur de la note, et les amplitudes des harmoniques font le timbre, ce qui distingue une flûte d'un violon jouant la même note.
Un circuit linéaire, où la réponse à une somme est la somme des réponses, traite chaque harmonique séparément : on calcule la sortie pour chacun, puis on additionne. C'est ainsi qu'un filtre passe-bas sélectif, réglé entre le fondamental et l'harmonique de rang 3, change un créneau en un signal presque sinusoïdal.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un contrôle. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Un générateur délivre une tension en créneau $u$ de période $T = 1$ ms : $u(t) = 5$ V sur $\left]0\,;\dfrac{T}{2}\right[$ et $u(t) = 0$ V sur $\left]\dfrac{T}{2}\,;T\right[$. Calcule sa valeur moyenne $a_0$, puis ses coefficients $a_n$ et $b_n$. Donne la fréquence et l'amplitude du fondamental et de l'harmonique de rang 3.
Correction :
$a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^{T/2} 5\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{T} \times 5 \times \dfrac{T}{2} = 2{,}5$ V.
$u$ est nulle sur la seconde demi-période. Avec $\omega\dfrac{T}{2} = \pi$ et $\omega T = 2\pi$ :
$$b_n = \frac{2}{T}\int_0^{T/2} 5\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t = \frac{10}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega t)}{n\omega}\right]_0^{T/2} = \frac{5\big(1 - (-1)^n\big)}{n\pi}$$
soit $b_n = \dfrac{10}{n\pi}$ V pour $n$ impair et 0 pour $n$ pair. Les $a_n$ sont nuls, car $u - 2{,}5$, qui vaut $2{,}5$ puis $-2{,}5$, est impaire.
Le fondamental a pour fréquence $\dfrac{1}{T} = 1\,000$ Hz et pour amplitude $\dfrac{10}{\pi} \approx 3{,}18$ V. L'harmonique de rang 3, à $3\,000$ Hz, a pour amplitude $\dfrac{10}{3\pi} \approx 1{,}06$ V.
Exercice 2 : Soit $f$ la fonction de période $2\pi$ définie par $f(t) = t$ sur $]-\pi\,;\pi[$ et $f(\pi) = 0$, un signal en dent de scie. Montre que $b_n = \dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}$ pour $n \geqslant 1$. Vers quoi converge sa série de Fourier en $t = \pi$ ? Déduis-en, avec la formule de Parseval, la valeur de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$.
Correction :
$f$ est impaire, donc les $a_n$ sont nuls et $b_n = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} t\sin(nt)\,\mathrm{d}t$. Par intégration par parties :
$$\int_0^{\pi} t\sin(nt)\,\mathrm{d}t = \left[-\frac{t\cos(nt)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nt)\,\mathrm{d}t = \frac{\pi(-1)^{n+1}}{n} + 0$$
d'où $b_n = \dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}$.
En $\pi$, $f$ saute de $\pi$ à $-\pi$. D'après le théorème de Dirichlet, la série converge vers $\dfrac{\pi + (-\pi)}{2} = 0$, ce que confirment les $\sin(n\pi)$, tous nuls.
Parseval donne $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} t^2\,\mathrm{d}t = \dfrac{\pi^2}{3}$ à gauche et $\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{4}{n^2} = 2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}$ à droite. Donc $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.
Exercice 3 : Une tension sinusoïdale redressée « double alternance » a la forme $f(t) = |\sin t|$. Quelle est la période de $f$ ? Calcule ses coefficients de Fourier. Si la tension de départ a une fréquence de 50 Hz, quelle est la fréquence du fondamental de la tension redressée ?
Correction :
Le piège est la période. Comme $|\sin(t + \pi)| = |-\sin t| = |\sin t|$, on a $T = \pi$ et $\omega = 2$. Garder $T = 2\pi$ ne fausse pas la série, mais tous les coefficients de rang impair sortent nuls et le spectre se lit mal.
$f$ est paire, donc les $b_n$ sont nuls. Sur $[0\,;\pi]$, $f(t) = \sin t$, d'où $a_0 = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}\sin t\,\mathrm{d}t = \dfrac{2}{\pi}$. Pour $n \geqslant 1$, avec $\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\big[\sin(a+b) + \sin(a-b)\big]$ :
$$a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin t\cos(2nt)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\big[\sin((2n+1)t) - \sin((2n-1)t)\big]\,\mathrm{d}t$$
Pour $k$ impair, $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin(kt)\,\mathrm{d}t = \dfrac{2}{k}$, donc $a_n = \dfrac{2}{\pi}\left(\dfrac{1}{2n+1} - \dfrac{1}{2n-1}\right) = -\dfrac{4}{\pi(4n^2-1)}$. Comme $f$ est continue et de classe $C^1$ par morceaux, pour tout réel $t$ :
$$|\sin t| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(2nt)}{4n^2-1}$$
Les coefficients décroissent comme $\dfrac{1}{n^2}$, plus vite que ceux du créneau. Enfin, la période de la tension redressée est deux fois plus courte que celle de départ : son fondamental est à 100 Hz.
À retenir
À retenir :
- $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ ; $a_0$ est la valeur moyenne, avec $\dfrac{1}{T}$ ; $a_n$ et $b_n$ prennent $\dfrac{2}{T}$.
- Les formules sortent de l'orthogonalité : multiplie par $\cos(m\omega t)$ et intègre sur une période.
- $f$ paire : $b_n = 0$. $f$ impaire : $a_0 = 0$ et $a_n = 0$.
- Dirichlet : la série converge vers $f(t)$ là où $f$ est continue, vers le milieu du saut ailleurs.
- Parseval : la moyenne de $f^2$ vaut $a_0^2 + \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n^2 + b_n^2\right)$.
- Avant tout calcul, cherche la vraie période.
Sources
- Programme de mathématiques des BTS, module « Séries de Fourier » : arrêté du 4 juin 2013, publié au Bulletin officiel n° 27 du 4 juillet 2013, texte sur education.gouv.fr.