Pour une matrice carrée de taille 2, le déterminant se calcule en croix : $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$. Par exemple, $\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = 6 - 5 = 1$, qui n'est pas nul : la matrice est inversible. En taille 3 ou plus, on fait apparaître des zéros par opérations sur les lignes, puis on développe ou on lit la diagonale.
Voici d'où vient cette formule, ce que chaque opération fait au déterminant et à quoi il sert, puis quatre exercices corrigés.
Le produit matriciel, ligne par colonne
La somme de deux matrices et le produit par un nombre se font coefficient par coefficient. Le produit de $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ ($n$ lignes, $p$ colonnes, coefficients dans $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) par $B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})$ se fait ligne par colonne :
$$(AB)_{i,j} = \sum_{k=1}^{p} a_{i,k}\, b_{k,j}$$
Il n'existe que si $A$ a autant de colonnes que $B$ a de lignes. Et même entre matrices carrées, l'ordre compte. Avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ :
$$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \qquad BA = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$
Multiplier par $B$ à droite échange les colonnes de $A$ ; à gauche, ses lignes. Retiens-le : une opération sur les lignes est un produit à gauche, une opération sur les colonnes un produit à droite.
Piège classique : puisque $AB \neq BA$ en général, $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$, et non $A^2 + 2AB + B^2$. La formule du binôme exige $AB = BA$. De même, la transposée $A^\top$ (lignes et colonnes échangées ; on rencontre aussi ${}^t\!A$ ou $A^T$) renverse l'ordre : $(AB)^\top = B^\top A^\top$.
Le déterminant, une aire orientée
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan construisent un parallélogramme. Compte son aire positivement si l'on tourne de $\vec{u}$ vers $\vec{v}$ dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre), négativement sinon. Cette aire orientée est linéaire par rapport à chaque vecteur, nulle si $\vec{u} = \vec{v}$ (le parallélogramme est plat) et égale à 1 pour le carré construit sur la base canonique $(\vec{e}_1, \vec{e}_2)$. C'est par cette idée que le programme de MPSI et MP2I introduit le déterminant.
Définition : le déterminant d'une matrice carrée de taille $n$ est l'unique fonction de ses $n$ colonnes qui est linéaire par rapport à chacune ($n$-linéaire), nulle dès que deux colonnes sont égales (alternée), et qui vaut 1 pour la matrice identité $I_n$.
Ces règles suffisent à retrouver la formule de la taille 2. Développe par linéarité : les termes avec deux fois le même vecteur sont nuls, et échanger deux vecteurs change le signe, conséquence du caractère alterné.
$$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \det(a\vec{e}_1 + c\vec{e}_2,\; b\vec{e}_1 + d\vec{e}_2) = ad\det(\vec{e}_1, \vec{e}_2) + cb\det(\vec{e}_2, \vec{e}_1) = ad - bc$$
La figure dit aussi quand le déterminant s'annule : exactement quand $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. Dans l'espace, trois vecteurs donnent le volume orienté d'un parallélépipède, nul quand ils sont coplanaires. En taille $n$, les colonnes de $A$ forment une base si et seulement si $\det A \neq 0$.
Calculer un déterminant
Comme $\det(A^\top) = \det A$, le déterminant est aussi linéaire et alterné par rapport aux lignes. Voici l'effet des opérations élémentaires, valable sur les lignes comme sur les colonnes.
| Opération | Effet sur le déterminant |
|---|---|
| $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$, avec $j \neq i$ | aucun |
| $L_i \leftrightarrow L_j$ | multiplié par $-1$ |
| $L_i \leftarrow \lambda L_i$ | multiplié par $\lambda$ |
La première opération est la plus utile, et elle se justifie en une ligne : par linéarité, le nouveau déterminant vaut $\det A$ plus $\lambda$ fois le déterminant d'une matrice à deux lignes égales, et ce second déterminant est nul.
Le but : arriver à une matrice triangulaire, dont le déterminant est le produit des coefficients diagonaux. Si une ligne ou une colonne a beaucoup de zéros, développe selon elle. En notant $\Delta_{i,j}$ le déterminant obtenu en rayant la ligne $i$ et la colonne $j$, le cofacteur de $a_{i,j}$ est $(-1)^{i+j}\Delta_{i,j}$.
Formule : développement selon la ligne $i$ (même formule selon une colonne) :
$$\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{i,j}\, \Delta_{i,j}$$
Les signes forment un damier qui commence par $+$ en haut à gauche. Appliquée à la première colonne d'une matrice triangulaire supérieure, encore et encore, cette formule ne laisse que le produit des coefficients diagonaux.
Exemple : pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, l'opération $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ ne change rien, puis on développe selon la première colonne (le déterminant s'écrit entre barres verticales) :
$$\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -4 + 10 = 6$$
Piège classique : dans un système, $L_2 \leftarrow 2L_2 - 3L_1$ est permis. Dans un déterminant, cette opération le multiplie par 2. Garde le coefficient 1 devant la ligne remplacée : $L_2 \leftarrow L_2 - \frac{3}{2}L_1$. Quant à la règle de Sarrus, qui recopie les deux premières colonnes à droite du tableau, elle ne vaut qu'en taille 3.
Les propriétés à connaître
Propriété : pour $A$, $B$ carrées de taille $n$ et $\lambda \in \mathbb{K}$ :
$$\det(AB) = \det A \times \det B \qquad \det(\lambda A) = \lambda^n \det A$$
$A$ est inversible si et seulement si $\det A \neq 0$, et alors $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$.
Le $\lambda^n$ vient de la linéarité : chacune des $n$ colonnes de $\lambda A$ sort un facteur $\lambda$. L'inverse vient du produit : $A A^{-1} = I_n$ donne $\det A \times \det(A^{-1}) = 1$.
Piège classique : le déterminant n'est pas additif. Avec $A = B = I_2$, $\det(A + B) = \det(2I_2) = 4$, alors que $\det A + \det B = 2$.
Un dernier déterminant figure au programme, celui de Vandermonde. Pour des nombres $x_1, \dots, x_n$ :
$$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leqslant i \lt j \leqslant n} (x_j - x_i)$$
Il est non nul exactement quand les $x_i$ sont distincts. C'est ce qui garantit qu'il passe un unique polynôme de degré au plus $n - 1$ par $n$ points d'abscisses distinctes, celui que donne l'interpolation de Lagrange.
Inverse, rang et systèmes linéaires
Le rang $\mathrm{rg}(A)$ est la dimension de l'espace engendré par les colonnes de $A$. Les opérations élémentaires le conservent : on le calcule par le pivot de Gauss (des opérations sur les lignes jusqu'à une forme en escalier), en comptant les pivots non nuls. Pour $A$ carrée de taille $n$, les conditions « $A$ inversible », « $\det A \neq 0$ » et « $\mathrm{rg}(A) = n$ » sont équivalentes. Pour toute colonne $Y$, le système $AX = Y$ a alors une unique solution, $X = A^{-1}Y$ : on dit que c'est un système de Cramer.
La comatrice $\mathrm{Com}(A)$, matrice des cofacteurs, vérifie $A\,\mathrm{Com}(A)^\top = \mathrm{Com}(A)^\top A = \det(A)\,I_n$. Si $\det A \neq 0$, on en tire $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\mathrm{Com}(A)^\top$, et en taille 2 la formule à savoir :
$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$
Dès la taille 3, calcule plutôt l'inverse par le pivot, en résolvant $AX = Y$ : la comatrice demande neuf déterminants de taille 2 et une transposition, autant d'occasions de se tromper.
En deuxième année, le programme de MP et MPI réutilise ce critère pour les valeurs propres : $\lambda$ en est une quand $AX = \lambda X$ a une solution $X$ non nulle, c'est-à-dire quand $\det(A - \lambda I_n) = 0$.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un contrôle. Cherche au brouillon avant d'ouvrir chaque correction.
Exercice 1 : Calcule le déterminant de $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 7 \\ -2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$. La matrice $M$ est-elle inversible ?
Correction :
Les opérations $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$, puis $L_3 \leftarrow L_3 + 4L_2$, ne changent pas le déterminant :
$$\det M = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 8 \end{vmatrix} = 2 \times (-1) \times 8 = -16$$
Comme $\det M \neq 0$, $M$ est inversible.
Exercice 2 : Un géomètre relève les sommets d'une parcelle triangulaire dans un repère orthonormé gradué en mètres : $A(1\,;2)$, $B(4\,;3)$ et $C(2\,;6)$. Calcule l'aire de la parcelle. Une borne est plantée en $D(7\,;4)$ : est-elle alignée avec $A$ et $B$ ?
Correction :
Le parallélogramme construit sur $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ a pour aire la valeur absolue de leur déterminant, et le triangle en est la moitié. Avec $\overrightarrow{AB} = (3, 1)$ et $\overrightarrow{AC} = (1, 4)$ :
$$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 12 - 1 = 11$$
L'aire de la parcelle vaut $\dfrac{11}{2} = 5{,}5$ m².
Pour la borne, $\overrightarrow{AD} = (6, 2)$ et $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = 3 \times 2 - 6 \times 1 = 0$. Les deux vecteurs sont colinéaires : $A$, $B$ et $D$ sont alignés.
Exercice 3 : $A$ est une matrice carrée de taille 3 telle que $\det A = 2$. Calcule $\det(3A)$, $\det(-A)$, $\det(A^{-1})$ et $\det(A^\top A)$.
Correction :
Chacune des trois colonnes de $3A$ sort un facteur 3 : $\det(3A) = 3^3 \times 2 = 54$. Répondre 6 est le piège.
De même, $\det(-A) = (-1)^3 \times 2 = -2$.
Comme $\det A \neq 0$, $A$ est inversible et $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{2}$.
Enfin, $\det(A^\top A) = \det(A^\top) \times \det A = 2 \times 2 = 4$.
Exercice 4 : Pour quelles valeurs du réel $m$ la matrice $M_m = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix}$ est-elle inversible ?
Correction :
On cherche quand $\det M_m \neq 0$. Chaque ligne a pour somme $m + 2$ : l'opération $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$, qui ne change pas le déterminant, remplit la première colonne de $m + 2$. On sort ce facteur par linéarité :
$$\det M_m = (m+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{vmatrix}$$
Avec $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$, la matrice devient triangulaire, de coefficients diagonaux $1$, $m - 1$ et $m - 1$. Donc $\det M_m = (m+2)(m-1)^2$.
Ce déterminant s'annule pour $m = -2$ et pour $m = 1$ : $M_m$ est inversible si et seulement si $m$ est différent de $-2$ et de $1$. Contrôle : pour $m = 1$, les trois lignes sont égales, et le déterminant est bien nul.
À retenir
À retenir :
- $(AB)_{i,j}$ : ligne $i$ de $A$ par colonne $j$ de $B$, et en général $AB \neq BA$.
- Le déterminant est $n$-linéaire, alterné et vaut 1 en $I_n$ : en taille 2, c'est une aire orientée.
- $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ ne change rien, un échange change le signe, $L_i \leftarrow \lambda L_i$ multiplie par $\lambda$.
- Matrice triangulaire : produit des coefficients diagonaux.
- $\det(AB) = \det A \det B$ et $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$, mais $\det(A+B) \neq \det A + \det B$ en général.
- $A$ inversible $\iff \det A \neq 0 \iff \mathrm{rg}(A) = n$.
Sources
- Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I, ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021 : texte sur education.gouv.fr.
- Programme de mathématiques des classes préparatoires MP et MPI, même ministère, 2021 : texte sur education.gouv.fr.