L'essentiel à connaître
Écris $z=x+iy$ et $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, avec $u$ et $v$ à valeurs réelles. Si $f$ est dérivable au sens complexe en un point, alors en ce point $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ : ce sont les équations de Cauchy-Riemann. Pour $f(z)=z^2$, on a $u=x^2-y^2$ et $v=2xy$, donc $\frac{\partial u}{\partial x}=2x=\frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y}=-2y=-\frac{\partial v}{\partial x}$ en tout point.
Définition : $f$ est dérivable au sens complexe en $z_0$ quand $\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$ a une limite, notée $f'(z_0)$, lorsque le nombre complexe $h$ tend vers $0$ de n'importe quelle façon dans le plan. Elle est holomorphe sur un ouvert $U$ quand elle l'est en chaque point de $U$.
Propriété : $f$ est dérivable au sens complexe en $z_0=x_0+iy_0$ si et seulement si $u$ et $v$ sont différentiables en $(x_0,y_0)$ et y vérifient les équations de Cauchy-Riemann (Thomas, proposition 2). On a alors $f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)$. En pratique, si $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $U$ et vérifient les équations sur tout $U$, alors $f$ est holomorphe sur $U$.
Une fonction holomorphe sur $U$ est développable en série entière sur tout disque ouvert inclus dans $U$, donc indéfiniment dérivable (Carlier, théorème 4.8). Ses parties $u$ et $v$ sont alors harmoniques, c'est-à-dire de laplacien nul : $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$, et de même pour $v$.
Sur un ouvert connexe (d'un seul tenant), si tu connais $v$, tu connais $u$ à une constante réelle près. Pour la retrouver, intègre $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ en $x$, ce qui laisse une fonction $h(y)$ inconnue, puis fixe $h$ avec la seconde équation. Cas extrême : une fonction holomorphe à valeurs réelles sur un ouvert connexe est constante.
Piège classique : des équations vraies en un point, ou le long d'une droite, ne rendent pas $f$ holomorphe : il les faut sur tout un ouvert. Elles ne suffisent pas non plus sans la différentiabilité de $u$ et $v$. Enfin, $u$ et $v$ harmoniques chacune de son côté ne garantissent pas les équations.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Que veut dire « $f$ est holomorphe sur l'ouvert $U$ » ?
Réponse : B. C'est la définition : en chaque point $z_0$ de $U$, le quotient $\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$ a une limite quand le complexe $h$ tend vers $0$. Le piège C est incomplet : à la différentiabilité réelle, il faut ajouter les équations de Cauchy-Riemann.
Question 2 : Pour $f=u+iv$, quelles sont les équations de Cauchy-Riemann ?
Réponse : D. Vérifie-les sur $z^2$ : $u=x^2-y^2$ et $v=2xy$ donnent $\frac{\partial u}{\partial x}=2x=\frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y}=-2y=-\frac{\partial v}{\partial x}$. Le piège C oublie le signe moins : pour $z^2$, holomorphe partout, il exigerait $-2y=2y$, faux hors de l'axe réel.
Question 3 : Pour $f(z)=\bar z$, on a $u=x$ et $v=-y$. Où $f$ est-elle dérivable au sens complexe ?
Réponse : A. On a $\frac{\partial u}{\partial x}=1$ et $\frac{\partial v}{\partial y}=-1$ : la première équation s'écrit $1=-1$, fausse en tout point. Le piège D confond régularité et dérivabilité complexe : sans les équations, être $C^1$ ne suffit pas.
Question 4 : La fonction $f(z)=e^z$ a pour parties $u=e^x\cos y$ et $v=e^x\sin y$. Avec $f'=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$, que vaut $f'(z)$ ?
Réponse : C. On a $\frac{\partial u}{\partial x}=e^x\cos y$ et $\frac{\partial v}{\partial x}=e^x\sin y$, donc $f'(z)=e^x(\cos y+i\sin y)=e^z$, comme en analyse réelle. Le piège B dérive par rapport à $y$ : $\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}$ vaut $ie^z$, pas $f'(z)$.
Question 5 : Laquelle de ces fonctions est holomorphe sur $\mathbb{C}$ ?
Réponse : C. C'est $z^3$ développé : $\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2=\frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy=-\frac{\partial v}{\partial x}$, avec des dérivées continues partout. Le piège A passe la première équation ($2x=2x$) mais pas la seconde : $2y=-2y$ n'a lieu que pour $y=0$.
Question 6 : Soit $f(x+iy)=x^2+iy^2$. En quels points $f$ est-elle dérivable au sens complexe ?
Réponse : A. $u=x^2$ et $v=y^2$ sont différentiables partout ; la première équation donne $2x=2y$, la seconde $0=0$. Donc $f$ est dérivable exactement sur la droite $y=x$, et holomorphe nulle part, car une droite ne contient aucun disque. Le piège C lit $2x=2y$ comme s'il fallait $x=0$ et $y=0$.
Question 7 : Une fonction $f$ holomorphe sur $\mathbb{C}$ a pour partie imaginaire $v(x,y)=2xy+y$. Que vaut sa partie réelle $u$, où $k$ désigne une constante réelle ?
Réponse : D. $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=2x+1$ donne $u=x^2+x+h(y)$, puis $\frac{\partial u}{\partial y}=h'(y)=-\frac{\partial v}{\partial x}=-2y$, donc $h(y)=-y^2+k$. On reconnaît $f(z)=z^2+z+k$. Le piège A oublie le signe moins de la seconde équation, le piège B oublie la fonction $h(y)$.
Question 8 : Laquelle de ces fonctions peut être la partie réelle d'une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}$ ?
Réponse : B. Une partie réelle doit être harmonique : ici $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=6x-6x=0$, et c'est bien la partie réelle de $z^3$ (question 5). Le piège A ressemble à $z^3$, mais son laplacien vaut $6x-6y$, non nul hors de la droite $y=x$.
Question 9 : Soit $f$ holomorphe sur un ouvert connexe $U$, à valeurs réelles, donc avec $v=0$. Que peux-tu affirmer ?
Réponse : A. Avec $v=0$, les équations donnent $\frac{\partial u}{\partial x}=0$ et $\frac{\partial u}{\partial y}=0$ : sur un ouvert connexe, $u$ est constante, donc $f$ aussi. Le piège B s'arrête en route : $u$ est bien harmonique, mais les équations imposent en plus un gradient nul.
Question 10 : $f$ est holomorphe sur tout $\mathbb{C}$. Quel est le rayon de convergence de sa série de Taylor en $0$ ?
Réponse : D. Holomorphe sur $\mathbb{C}$, $f$ est développable en série entière sur tout disque de centre $0$, aussi grand soit-il. Le piège C est un réflexe d'analyse réelle : $\frac{1}{1+x^2}$ est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$, mais sa série en $0$ a pour rayon $1$, car $\frac{1}{1+z^2}$ n'est pas définie en $\pm i$.
Question 11 : $f=u+iv$ est holomorphe. Comment écrire $f'$ avec les seules dérivées partielles de $u$ ?
Réponse : B. On part de $f'=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$ et on remplace $\frac{\partial v}{\partial x}$ par $-\frac{\partial u}{\partial y}$. Le piège A recopie le gradient de $u$ : pour $z^2$, il donne $2x-2iy=2\bar z$ au lieu de $2z$.
Question 12 : La fonction $f(z)=|z|^2=x^2+y^2$ est dérivable au sens complexe en $0$. Où est-elle holomorphe ?
Réponse : C. Avec $u=x^2+y^2$ et $v=0$, les équations donnent $2x=0$ et $2y=0$ : $f$ n'est dérivable qu'en $0$. Être holomorphe demande la dérivabilité sur tout un ouvert, et un point seul n'est pas un ouvert. Le piège B confond « dérivable en un point » et « holomorphe ».
Question 13 : Les fonctions $u=x^2-y^2$ et $v=-2xy$ sont toutes deux harmoniques. Où $f=u+iv$ est-elle dérivable au sens complexe ?
Réponse : D. Les équations donnent $2x=-2x$ et $-2y=2y$, vraies seulement pour $x=y=0$ : c'est $f(z)=\bar z^2$. Le piège A prend une conséquence de l'holomorphie pour une condition suffisante : deux fonctions harmoniques prises au hasard ne vérifient pas les équations.
Question 14 : Soit $f(x+iy)=\sqrt{|xy|}$, donc $u=\sqrt{|xy|}$ et $v=0$. Est-elle dérivable au sens complexe en $0$ ?
Réponse : A. Sur les axes, $f$ est nulle : ses quatre dérivées partielles valent $0$ en $0$ et les équations y tiennent. Mais pour $h=t(1+i)$ avec $t>0$, $\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{t}{t(1+i)}=\frac{1}{1+i}$, alors que ce quotient vaut $0$ sur l'axe réel : pas de limite. Les équations étant vraies, c'est la différentiabilité qui manque, et le piège C l'oublie.
Sources
Guillaume Carlier, Analyse complexe, notes de cours, L3, université Paris-Dauphine, 2012-2013, chapitre 4.
Pascal J. Thomas, Analyse complexe, parcours spécial L3, notes de cours, université de Toulouse, partie 1.