Analyse Complexe : Maîtrise des Équations de Cauchy-Riemann

Réponse : C. Une fonction est holomorphe sur un ouvert si elle est complexe-dérivable en chaque point de cet ouvert. Les autres options décrivent des propriétés qui peuvent être vraies pour des fonctions holomorphes, mais ne sont pas la définition principale.

Réponse : D. Par définition, $f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+\Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{(z+\Delta z)^2 - z^2}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{z^2 + 2z\Delta z + (\Delta z)^2 - z^2}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} (2z + \Delta z) = 2z$. La fonction $f(z)=z^2$ est donc holomorphe.

Réponse : A. Ce sont les équations de Cauchy-Riemann. Elles sont une condition nécessaire pour l'holomorphie. Si les dérivées partielles sont continues, elles deviennent suffisantes.

Réponse : B. Ici, $u(x,y) = x^2$ et $v(x,y) = y^2$. On a $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$, $\frac{\partial v}{\partial y} = 2y$, $\frac{\partial u}{\partial y} = 0$, $\frac{\partial v}{\partial x} = 0$. Les équations $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ ne sont satisfaites que pour $x=0$ et $y=0$, donc pas sur un ouvert.

Réponse : A. Si $f$ est holomorphe, alors sa partie réelle $u$ et sa partie imaginaire $v$ sont des fonctions harmoniques, c'est-à-dire qu'elles satisfont l'équation de Laplace : $\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ et $\Delta v = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$. Ceci découle des équations de Cauchy-Riemann et de la continuité des dérivées d'ordre supérieur.

Réponse : D. La fonction exponentielle $f(z) = e^z = e^{x+iy} = e^x (\co y + i \sin y)$ a pour partie réelle $u(x,y) = e^x \cos y$ et partie imaginaire $v(x,y) = e^x \sin y$. Les dérivées partielles satisfont les équations de Cauchy-Riemann et sont continues partout. Les autres fonctions ne sont pas holomorphes sur tout $\mathbb{C}$. $f(z)=\bar{z}$ n'est pas dérivable. $f(z)=1/z$ a une singularité en $z=0$. $f(z)=e^{\bar{z}}$ ne vérifie pas Cauchy-Riemann.

Réponse : B. La branche principale du logarithme complexe $\ln(z)$ est définie pour $z \neq 0$ et est holomorphe sur le plan complexe privé de la demi-droite réelle négative (l'axe des réels négatifs et l'origine). La discontinuité est introduite par le choix de la coupure de branche.

Réponse : D. On a $\frac{\partial v}{\partial y} = 2y + x$ et $-\frac{\partial v}{\partial x} = -(2x - y) = y - 2x$. Pour que $f$ soit holomorphe, $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = 2y+x$ et $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} = y-2x$. En intégrant $\frac{\partial u}{\partial x}$ par rapport à $x$, on obtient $u(x,y) = 2xy + \frac{x^2}{2} + g(y)$. En dérivant par rapport à $y$, $\frac{\partial u}{\partial y} = 2x + g'(y)$. En égalant avec $y-2x$, on obtient $2x + g'(y) = y-2x$, donc $g'(y) = y - 4x$, ce qui n'est pas possible car $g'(y)$ ne doit dépendre que de $y$. Il y a une erreur dans mon calcul. Reprenons. $\frac{\partial u}{\partial x} = 2y + x$. Donc $u(x,y) = \int (2y+x) dx = 2xy + \frac{x^2}{2} + h(y)$. $\frac{\partial u}{\partial y} = 2x + h'(y)$. On doit avoir $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$. Ici, $v(x,y) = x^2 - y^2 + xy$. Donc $\frac{\partial v}{\partial x} = 2x + y$. On a donc $2x + h'(y) = -(2x+y) = -2x - y$. $h'(y) = -4x - y$. Ceci implique $h'(y)$ dépend de $x$, ce qui est impossible pour une fonction de $y$ seule. Vérifions les dérivées de $v$. $v(x,y) = x^2 - y^2 + xy$. $\frac{\partial v}{\partial x} = 2x + y$. $\frac{\partial v}{\partial y} = -2y + x$. Les équations de Cauchy-Riemann sont : $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = -2y + x$. $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} = -(2x + y) = -2x - y$. Intégrons $\frac{\partial u}{\partial x}$ par rapport à $x$: $u(x,y) = \int (-2y+x) dx = -2xy + \frac{x^2}{2} + h(y)$. Dérivons par rapport à $y$: $\frac{\partial u}{\partial y} = -2x + h'(y)$. On doit avoir $\frac{\partial u}{\partial y} = -2x - y$. Donc, $-2x + h'(y) = -2x - y$. Cela implique $h'(y) = -y$. En intégrant $h'(y)$, on obtient $h(y) = -\frac{y^2}{2} + C$. Donc, $u(x,y) = -2xy + \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} + C$. Aucune des options ne correspond exactement. L'option D a des coefficients incorrects. Il semble y avoir une erreur dans les options proposées ou dans ma résolution. Refaisons avec l'option D proposée : $u(x,y) = \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}x^2 + xy + C$. $\frac{\partial u}{\partial x} = -x + y$. $\frac{\partial u}{\partial y} = y - \frac{1}{2}x^2$ non, $\frac{\partial u}{\partial y} = y + x$. Comparons avec $\frac{\partial v}{\partial y} = -2y + x$ et $-\frac{\partial v}{\partial x} = -2x - y$. $\frac{\partial u}{\partial x} = -x + y$ doit être égal à $-2y+x$. $-x+y = -2y+x \implies 3y = 2x$. Ce n'est pas général. Il y a une erreur dans la question ou les options. Je vais proposer une fonction $v$ pour laquelle les calculs correspondent à une des options. Si $v(x,y) = 2xy + \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2}$, alors $\frac{\partial v}{\partial x} = 2y+x$ et $\frac{\partial v}{\partial y} = 2x-y$. Alors $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x-y \implies u(x,y) = x^2-xy+h(y)$. $\frac{\partial u}{\partial y} = -x+h'(y)$. Doit être égal à $-\frac{\partial v}{\partial x} = -(2y+x) = -2y-x$. Donc $-x+h'(y) = -2y-x$. $h'(y) = -2y$. $h(y) = -y^2+C$. $u(x,y) = x^2-xy-y^2+C$. Aucune des options ne correspond. Reprenons la question originale avec $v(x,y) = x^2 - y^2 + xy$. $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = -2y + x$. $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} = -(2x + y) = -2x - y$. Intégrons $\frac{\partial u}{\partial x}$: $u(x,y) = \int (-2y+x) dx = -2xy + \frac{x^2}{2} + h(y)$. Dérivons par rapport à $y$: $\frac{\partial u}{\partial y} = -2x + h'(y)$. On doit avoir $\frac{\partial u}{\partial y} = -2x - y$. Donc, $-2x + h'(y) = -2x - y \implies h'(y) = -y$. Intégrons $h'(y)$: $h(y) = -\frac{y^2}{2} + C$. Donc, $u(x,y) = -2xy + \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} + C$. Je vais devoir corriger la question ou les options. Je vais créer une nouvelle question. Nouvelle question 8 : Soit $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ une fonction holomorphe. Si $v(x,y) = e^x \sin y$, quelle est la forme de $u(x,y)$ ? Options : A. $u(x,y) = e^x \cos y + C$ B. $u(x,y) = -e^x \cos y + C$ C. $u(x,y) = e^y \cos x + C$ D. $u(x,y) = e^x \sin y + C$ Correction : $v(x,y) = e^x \sin y$. $\frac{\partial v}{\partial x} = e^x \sin y$. $\frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y$. Équations de Cauchy-Riemann : $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y$. $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} = -e^x \sin y$. Intégrons $\frac{\partial u}{\partial x}$ par rapport à $x$: $u(x,y) = \int e^x \cos y dx = e^x \cos y + h(y)$. Dérivons par rapport à $y$: $\frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y + h'(y)$. On doit avoir $\frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y$. Donc, $-e^x \sin y + h'(y) = -e^x \sin y \implies h'(y) = 0$. En intégrant $h'(y)$, on obtient $h(y) = C$. Donc, $u(x,y) = e^x \cos y + C$. L'option A est correcte. Je vais remplacer la question 8 par celle-ci.

Réponse : A. Pour que $f$ soit holomorphe, les équations de Cauchy-Riemann doivent être satisfaites : $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$. Ici, $v(x,y) = e^x \sin y$, donc $\frac{\partial v}{\partial x} = e^x \sin y$ et $\frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y$. On obtient $\frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y$ et $\frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y$. L'intégration de $\frac{\partial u}{\partial x}$ par rapport à $x$ donne $u(x,y) = e^x \cos y + h(y)$. La dérivée par rapport à $y$ est $-e^x \sin y + h'(y)$, qui doit égaler $-e^x \sin y$. Donc $h'(y)=0$, ce qui implique $h(y)=C$. Finalement, $u(x,y) = e^x \cos y + C$.

Réponse : C. L'holomorphie est une propriété très forte. Si une fonction est holomorphe sur un domaine, elle est non seulement dérivable une fois, mais elle est infiniment dérivable (holomorphe d'ordre n pour tout n) et peut être représentée par une série de Taylor dans ce domaine.

Réponse : D. C'est un résultat fondamental de l'analyse complexe : si une fonction est holomorphe sur un disque ouvert, alors elle y est développable en série de Taylor. La réciproque est aussi vraie : si une fonction est représentable par une série de Taylor dans un voisinage d'un point, alors elle est holomorphe en ce point.

Réponse : A. Pour $f(z) = x^2 + y^2$, on a $u(x,y) = x^2+y^2$ et $v(x,y) = 0$. Les équations de Cauchy-Riemann sont $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$. Ici, $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$, $\frac{\partial u}{\partial y} = 2y$, $\frac{\partial v}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial v}{\partial y} = 0$. Les équations deviennent $2x = 0$ et $2y = 0$. Ces conditions ne sont satisfaites que pour $x=0$ et $y=0$, c'est-à-dire au point $z=0$. La fonction n'est donc pas holomorphe sur un ouvert.

Réponse : C. Une propriété essentielle des fonctions holomorphes est que leur partie réelle et leur partie imaginaire sont des fonctions harmoniques, satisfaisant l'équation de Laplace. Cette propriété est utile pour construire des fonctions holomorphes ou pour résoudre certains problèmes.

Réponse : B. Une fonction constante $f(z) = c = c + i \cdot 0$ a $u(x,y) = c$ et $v(x,y) = 0$. Les dérivées partielles sont toutes nulles : $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial u}{\partial y} = 0$, $\frac{\partial v}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial v}{\partial y} = 0$. Les équations de Cauchy-Riemann ($0=0$ et $0=-0$) sont donc satisfaites partout, et les dérivées partielles sont continues. Par conséquent, une fonction constante est holomorphe sur tout le plan complexe.

Réponse : D. $f(z) = z \bar{z} = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2$. C'est une fonction réelle. Sa partie réelle est $u(x,y) = x^2+y^2$ et sa partie imaginaire est $v(x,y)=0$. Comme vu dans la question 11, les équations de Cauchy-Riemann ne sont satisfaites qu'en $z=0$. Pour qu'une fonction soit holomorphe sur un ouvert, elle doit vérifier ces conditions partout dans l'ouvert. Donc $f(z) = z \bar{z}$ n'est pas holomorphe sur un ouvert, et donc pas dérivable au sens complexe (sauf en $z=0$ où la dérivée est 0, mais ce n'est pas suffisant pour l'holomorphie sur un voisinage).