L'essentiel à connaître
Pour trouver la fonction $y$ qui rend extrémale $J(y)=\int_a^bF(x,y,y')\,dx$, avec $y(a)$ et $y(b)$ imposés, tu résous l'équation d'Euler-Lagrange. $J$ est une fonctionnelle : elle associe un nombre à une fonction. Exemple : pour $F=y'^2$, l'équation donne $y''=0$, donc $y$ est affine et les deux bords la fixent.
Formule : $\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}=0$. Si $F$ ne dépend pas de $y$, $\frac{\partial F}{\partial y'}$ est constante. Si $F$ ne dépend pas de $x$, $F-y'\frac{\partial F}{\partial y'}$ est constante. Si $y(b)$ est libre, ajoute $\frac{\partial F}{\partial y'}=0$ en $x=b$ (polycopié du CEA).
Un problème isopérimétrique ajoute une contrainte intégrale, $\int_a^bG\,dx=\ell$ (une longueur fixée, par exemple). Tu appliques alors l'équation à $F-\lambda G$, où $\lambda$ est une constante, le multiplicateur de Lagrange, fixée à la fin par la contrainte. En mécanique, la même équation s'applique à l'action $\int\left(\frac12m\dot x^2-V(x)\right)dt$, le temps $t$ prenant la place de $x$.
Propriété : une courbe fermée du plan, de longueur $L$, entoure une aire $A$ telle que $4\pi A\le L^2$, avec égalité seulement pour le cercle. C'est l'inégalité isopérimétrique (Russ, 2017).
Piège classique : l'équation d'Euler-Lagrange n'est qu'une condition nécessaire. Elle donne des candidats, appelés extrémales, sans prouver qu'un minimum existe ni que l'extrémale en est un. Une seule fonction admissible (qui respecte bords et contraintes) donnant un $J$ plus petit suffit à réfuter un minimum.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Une fonctionnelle, comme $J(y)=\int_0^1y^2\,dx$, est :
Réponse : B. $J$ prend une fonction entière et rend un seul nombre : pour $y(x)=x$, $J(y)=\int_0^1x^2\,dx=\frac13$. La dérivation, en D, rend une fonction et non un nombre.
Question 2 : Pour $J(y)=\int_a^bF(x,y,y')\,dx$ avec $y(a)$ et $y(b)$ imposés, quelle équation vérifie une fonction $y$ de classe $C^2$ où $J$ atteint un extremum ?
Réponse : D. On dérive $F$ par rapport à $y$, puis on retranche la dérivée en $x$ de $\frac{\partial F}{\partial y'}$, calculée le long de la courbe. Le piège A échange $y$ et $y'$, l'erreur typique quand on écrit l'équation de mémoire.
Question 3 : Quelle fonction minimise $J(y)=\int_0^1y'^2\,dx$ avec $y(0)=0$ et $y(1)=2$ ?
Réponse : A. $F=y'^2$ ne dépend pas de $y$, donc $2y'$ est constante : $y$ est affine, et les bords donnent $y=2x$. C'est bien un minimum : si $h(0)=h(1)=0$, $J(2x+h)=4+\int_0^1h'^2\,dx\ge4$. Les trois autres fonctions respectent les bords, mais pas l'équation.
Question 4 : Une courbe fermée du plan, de longueur $L$, entoure une aire $A$. Quelle inégalité est toujours vraie, avec égalité pour le cercle seulement ?
Réponse : C. Pour un cercle de rayon $r$, $L^2=4\pi^2r^2=4\pi\times\pi r^2=4\pi A$ : c'est le cas d'égalité. Le piège A retourne l'inégalité : un carré de côté 1 donne $L^2=16$, plus que $4\pi A\approx12{,}6$.
Question 5 : À bords fixés, que donne l'équation d'Euler-Lagrange pour la longueur du graphe de $y$, $\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,dx$ ?
Réponse : C. $F$ ne dépend que de $y'$, donc $\frac{\partial F}{\partial y'}=\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}$ est constante, ce qui force $y'$ constante : le plus court chemin est le segment. Le piège A confond « $\frac{\partial F}{\partial y'}$ constante » avec « $y$ constante ».
Question 6 : Si $F$ ne dépend pas de $x$, quelle quantité reste constante le long d'une solution de l'équation d'Euler-Lagrange ?
Réponse : B. Quand $F$ ne dépend pas de $x$, la dérivée en $x$ de $F-y'\frac{\partial F}{\partial y'}$ vaut $y'\left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}\right)$, que l'équation annule. Le piège C ne vaut que si $F$ ne dépend pas de $y$.
Question 7 : Tu cherches un extremum de $\int_a^bF\,dx$ sous la contrainte $\int_a^bG\,dx=\ell$. Quelle méthode convient dans le cas général ?
Réponse : D. Une contrainte intégrale appelle un seul multiplicateur, une constante $\lambda$, que fixent ensuite la contrainte et les bords. Le piège A ignore la contrainte : l'extrémale de $F$ seul ne la vérifie pas en général.
Question 8 : Parmi les graphes de fonctions $y\ge0$ de longueur $\ell$ joignant $(-a\,;\,0)$ à $(a\,;\,0)$, avec $2a<\ell<\pi a$, lequel enferme avec l'axe des abscisses la plus grande aire ?
Réponse : A. On maximise $\int_{-a}^ay\,dx$ à longueur fixée : l'équation pour $y-\lambda\sqrt{1+y'^2}$ donne $\frac{d}{dx}\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=-\frac1\lambda$, une courbure constante, donc un arc de cercle. Le piège C, la chaînette, est la forme d'un fil pesant de longueur fixée, qui minimise son énergie potentielle.
Question 9 : Pour une particule de masse $m$ dans un potentiel $V$, l'action vaut $\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac12m\dot x^2-V(x)\right)dt$. Quelle équation donne Euler-Lagrange ?
Réponse : B. Avec $F=\frac12m\dot x^2-V(x)$, $\frac{\partial F}{\partial x}=-V'(x)$ et $\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial\dot x}=m\ddot x$ : c'est la relation fondamentale de la dynamique. Le piège A perd le signe moins qui vient de $-V(x)$.
Question 10 : Une bille part au repos de l'origine et glisse sans frottement le long d'une courbe $y(x)$, l'axe des $y$ orienté vers le bas : sa vitesse vaut $v=\sqrt{2gy}$. Quelle intégrale faut-il minimiser pour descendre le plus vite ?
Réponse : D. Le temps vaut $\int\frac{ds}{v}$, avec $ds=\sqrt{1+y'^2}\,dx$ l'élément de longueur. Le piège A minimise la longueur : il donne le segment, qui n'est pas le chemin le plus rapide.
Question 11 : Pour cette descente, on peut prendre $F=\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt y}$, qui ne dépend pas de $x$ (le facteur $\frac{1}{\sqrt{2g}}$ ne change pas la solution). Quelle équation obtiens-tu ?
Réponse : A. $F-y'\frac{\partial F}{\partial y'}=\frac{1}{\sqrt y\sqrt{1+y'^2}}$ est constante, d'où $y(1+y'^2)=k$ : c'est l'équation d'une cycloïde, la courbe que trace un point d'une roue qui roule. Le piège B écrit $\frac{\partial F}{\partial y'}$ constante, ce qui n'est permis que si $F$ ne dépend pas de $y$.
Question 12 : Quelle fonction minimise $J(y)=\int_0^1\left(y'^2+2y\right)dx$ parmi les $y$ telles que $y(0)=0$, sans condition sur $y(1)$ ?
Réponse : C. L'équation $2-2y''=0$ et $y(0)=0$ donnent $y=\frac{x^2}{2}+bx$. Le bout libre impose $\frac{\partial F}{\partial y'}=2y'=0$ en $x=1$, donc $b=-1$. Le piège B impose $y(1)=0$ : un bout libre n'est pas un bout nul.
Question 13 : Avec $y(0)=y(2\pi)=0$, la fonction nulle vérifie l'équation d'Euler-Lagrange de $J(y)=\int_0^{2\pi}\left(y'^2-y^2\right)dx$. Est-elle un minimum de $J$ ?
Réponse : D. Pour $y=\sin\frac{x}{2}$, $\int_0^{2\pi}y'^2\,dx=\frac{\pi}{4}$ et $\int_0^{2\pi}y^2\,dx=\pi$, d'où $J(y)=-\frac{3\pi}{4}<0=J(0)$. L'équation, ici $y''+y=0$, n'est qu'une condition nécessaire : le piège A la prend pour une preuve.
Question 14 : On minimise $J(y)=\int_{-1}^1x^2y'^2\,dx$ parmi les fonctions continues, $C^1$ par morceaux, telles que $y(-1)=-1$ et $y(1)=1$. Que dire du minimum ?
Réponse : B. $J(y)=0$ forcerait $y'=0$, donc $y$ constante, impossible avec ces bords : $J(y)>0$. Pourtant, avec $y=\frac{x}{\varepsilon}$ sur $[-\varepsilon\,;\,\varepsilon]$ et $y=\pm1$ ailleurs, $J(y)=\frac{2\varepsilon}{3}$, aussi petit que tu veux. Le piège C suppose qu'un minimum existe : les solutions de $(x^2y')'=0$ sont constantes ou non définies en $0$.
Question 15 : Une corde de longueur $\ell$ a ses deux bouts posés où tu veux sur une droite. Quelle forme enferme avec la droite la plus grande aire ?
Réponse : A. Ajoute le symétrique de la figure par rapport à la droite : tu obtiens une courbe fermée de longueur $2\ell$ et d'aire $2A$, donc $4\pi\times2A\le(2\ell)^2$, soit $A\le\frac{\ell^2}{2\pi}$, avec égalité pour le demi-cercle. Le piège C applique l'inégalité à la corde seule et oublie que la droite fournit une partie du bord.
Sources
- CEA (Iramis), polycopié « Calcul des variations », chapitre 2 : équation d'Euler-Lagrange, cas particuliers, extrémité libre, contrainte et multiplicateur de Lagrange. Lire le chapitre
- Emmanuel Russ, « Inégalités isopérimétriques et isodiamétriques », Journées mathématiques X-UPS, 2017, proposition 8.2. Lire l'article