La Transformée de Fourier: Propriétés et Inversion Expliquées

Réponse : B. En $\omega=0$, l'exponentielle vaut $1$ : il reste l'intégrale de $f$. Le piège A est la formule d'inversion écrite en $t=0$ : quand elle s'applique, elle donne $f(0)$, pas $\hat{f}(0)$.

Réponse : D. L'inversion change le signe dans l'exponentielle et ajoute le facteur $\frac{1}{2\pi}$. Le piège A l'oublie : avec $e^{-i\omega t}$ dans la définition, cette intégrale vaut $2\pi f(t)$. Ce facteur ne disparaît qu'avec la convention en $e^{-2i\pi\nu t}$.

Réponse : A. Pour $f$ impaire, le terme en cosinus s'annule et $\hat{f}(\omega)=-2i\int_{0}^{+\infty}f(t)\sin(\omega t)\,dt$ : c'est $i$ fois un réel, qui change de signe avec $\omega$. Le piège B garde « réelle » par réflexe, ce qui n'est vrai que pour $f$ paire.

Réponse : C. Avec $s=t-t_0$, l'intégrale devient $\int_{-\infty}^{+\infty}f(s)\,e^{-i\omega(s+t_0)}\,ds=e^{-i\omega t_0}\,\hat{f}(\omega)$ : un retard ne change que la phase, pas $|\hat{f}|$. Le piège B confond avec la modulation, qui décale $\hat{f}$.

Réponse : B. Une intégration par parties donne $\widehat{f'}(\omega)=\left[f(t)\,e^{-i\omega t}\right]_{-\infty}^{+\infty}+i\omega\,\hat{f}(\omega)$, et le crochet est nul car $f$ tend vers $0$ en $\pm\infty$. Le piège A perd un signe : la dérivée de $e^{-i\omega t}$ apporte $-i\omega$, que le moins de l'intégration par parties compense.

Réponse : A. En intervertissant les deux intégrales (théorème de Fubini) puis en posant $u=t-s$, l'intégrale double se sépare en $\hat{f}(\omega)\,\hat{g}(\omega)$, sans constante dans cette convention. Le piège B inverse les rôles : c'est le produit $fg$ qui a pour transformée une convolution, $\frac{1}{2\pi}\,\hat{f}*\hat{g}$.

Réponse : D. Les exponentielles se regroupent : $\hat{g}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,e^{-i(\omega-\omega_0)t}\,dt=\hat{f}(\omega-\omega_0)$, le spectre glisse de $\omega_0$. Le piège A se trompe de signe ; B et C confondent avec le retard, qui agit sur la phase.

Réponse : C. Avec $u=2t$, donc $dt=\frac{du}{2}$, on obtient $\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)\,e^{-i\frac{\omega}{2}u}\,du=\frac{1}{2}\,\hat{f}\left(\frac{\omega}{2}\right)$ : comprimer $f$ dans le temps étale son spectre. Le piège B garde le $\frac{1}{2}$ mais multiplie $\omega$ par $2$ au lieu de le diviser.

Réponse : D. On intègre sur $[0\,;\,+\infty[$ : $\int_{0}^{+\infty}e^{-(a+i\omega)t}\,dt=\frac{1}{a+i\omega}$, car $|e^{-(a+i\omega)t}|=e^{-at}$ tend vers $0$. Le piège B est la transformée de $e^{-a|t|}$, qui a une seconde moitié sur $]-\infty\,;\,0]$. La C n'est que la partie réelle du résultat.

Réponse : A. $\int_{-a}^{a}e^{-i\omega t}\,dt=\frac{e^{ia\omega}-e^{-ia\omega}}{i\omega}=\frac{2\sin(a\omega)}{\omega}$, qui tend vers $2a$, l'aire de la porte, quand $\omega\to0$ : c'est le contrôle de la question 1. Le piège C tend vers $2$ : il oublie le $a$ de l'écriture $2a\,\frac{\sin(a\omega)}{a\omega}$.

Réponse : B. $f$ étant réelle, conjuguer sous l'intégrale donne $\overline{\hat{f}(\omega)}=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,e^{i\omega t}\,dt=\hat{f}(-\omega)$ ; en particulier, $|\hat{f}|$ est paire. Le piège A exige en plus $f$ paire : pour $e^{-t}H(t)$, la transformée $\frac{1}{1+i\omega}$ n'est pas paire.

Réponse : C. $g$ est $e^{-|t|}$ retardée de $1$ : on multiplie par $e^{-i\omega}$, et le module $\frac{2}{1+\omega^2}$ ne bouge pas. Le piège B décale le spectre, ce qui correspondrait à multiplier par $e^{it}$, pas à translater dans le temps.

Réponse : A. C'est le lemme de Riemann-Lebesgue. Le piège B est faux : $\Pi_a$ est intégrable, mais sa transformée $\frac{2\sin(a\omega)}{\omega}$ ne l'est pas. Avant d'écrire la formule d'inversion, vérifie que $\hat{f}$ est intégrable.

Réponse : D. $f(t)=e^{-|t|}$ est continue, paire et de transformée intégrable, donc $\hat{\hat{f}}(t)=2\pi f(-t)$ : la transformée de $\frac{2}{1+t^2}$ est $2\pi\,e^{-|\omega|}$. Celle de $g$ en est la moitié. Le piège B oublie le $2\pi$, le A oublie de diviser par $2$.

Réponse : B. $\int_{-\infty}^{+\infty}|\Pi_1(t)|^2\,dt=2$, donc $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{4\sin^2\omega}{\omega^2}\,d\omega=2\pi\times2=4\pi$, et l'intégrale cherchée vaut $\pi$. Le piège A vient d'un Plancherel écrit sans $2\pi$ ; la C oublie de diviser par le $4$ de $|\widehat{\Pi_1}|^2$.