L'essentiel à connaître
Une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$, où $a$ est un nombre fixé appelé coefficient. Avec $f(x) = 3x$, l'image de $4$, c'est-à-dire le résultat $f(4)$, vaut $3 \times 4 = 12$. Dès qu'on ajoute un nombre non nul, comme dans $g(x) = 3x + 2$, la fonction est affine, mais plus linéaire.
Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité : $f(x)$ est proportionnel à $x$, et $a$ est le coefficient de proportionnalité. Sa courbe est une droite, qui passe par l'origine du repère puisque $f(0) = 0$. Un point $(x\,;\,y)$ est sur cette droite quand $y = f(x)$.
À retenir : À partir d'un point $(x\,;\,y)$ de la droite, avec $x \neq 0$, le coefficient vaut $a = \dfrac{y}{x}$ : l'ordonnée divisée par l'abscisse. L'antécédent de $y$, le nombre $x$ tel que $f(x) = y$, vaut $\dfrac{y}{a}$ si $a \neq 0$. Si $a > 0$, $f$ est croissante ($f(x)$ augmente quand $x$ augmente) ; si $a < 0$, elle est décroissante ; si $a = 0$, elle vaut $0$ partout.
Les pourcentages en sont l'exemple le plus courant. Augmenter de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; baisser de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$. Une hausse de $20\,\%$ est donc la fonction linéaire $f(x) = 1{,}2x$, et deux évolutions de suite se combinent en multipliant leurs coefficients.
Piège classique : développe et réduis avant de juger. $5(x - 1)$ n'est pas linéaire, puisque c'est $5x - 5$ ; en revanche, $5(x - 1) + 5 = 5x$ l'est.
Ce savoir vient du collège : le test de positionnement passé en début de seconde vérifie que tu sais modéliser la proportionnalité par une fonction, « notamment linéaire » (eduscol, septembre 2026).
Quiz : teste tes connaissances
Les premières questions servent d'échauffement ; les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Laquelle de ces fonctions est linéaire ?
Réponse : C. $f(x) = -4x$ a la forme $ax$ avec $a = -4$ : un coefficient négatif est permis. Le piège est $5x + 1$ : le « $+\,1$ » en fait une fonction affine, car $f(0) = 1$ au lieu de $0$.
Question 2 : Soit $f(x) = 7x$. Quelle est l'image de $3$ ?
Réponse : B. L'image de $3$ est $f(3) = 7 \times 3 = 21$. Le piège $\dfrac{3}{7}$ répond à une autre question : c'est l'antécédent de $3$, le nombre $x$ tel que $7x = 3$.
Question 3 : La courbe d'une fonction linéaire est toujours :
Réponse : A. Pour tout coefficient $a$, $f(0) = a \times 0 = 0$ : l'origine est toujours sur la courbe. Le piège B vient des fonctions affines $ax + b$ : c'est $b$ qui se lit sur l'axe des ordonnées, et ici $b = 0$. Quant à D, la droite descend dès que $a < 0$.
Question 4 : Soit $f(x) = -2x$. Que vaut $f(-5)$ ?
Réponse : D. $f(-5) = -2 \times (-5) = 10$, car le produit de deux nombres négatifs est positif. Le piège $-10$ vient d'un signe perdu en route.
Question 5 : Soit $f(x) = 4x$. Quel est l'antécédent de $2$ ?
Réponse : B. On cherche $x$ tel que $4x = 2$, donc $x = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$. Le piège $8$ est l'image de $2$ : c'est $f(2)$, alors qu'il fallait résoudre $f(x) = 2$.
Question 6 : Lequel de ces points est sur la droite qui représente $f(x) = 2x$ ?
Réponse : D. Un point $(x\,;\,y)$ est sur la droite quand $y = f(x)$, et ici $f(3) = 2 \times 3 = 6$. Le piège $(6\,;\,3)$ inverse les coordonnées : $f(6) = 12$, pas $3$.
Question 7 : Laquelle de ces fonctions linéaires est décroissante ?
Réponse : A. Une fonction linéaire est décroissante quand son coefficient est négatif, et seul $-0{,}2$ l'est. Le piège $0{,}5x$ : un coefficient entre $0$ et $1$ fait monter la droite moins vite, mais elle monte quand même.
Question 8 : Une fonction linéaire vérifie $f(3) = 12$. Que vaut $f(5)$ ?
Réponse : C. Le coefficient vaut $a = \dfrac{12}{3} = 4$, donc $f(5) = 4 \times 5 = 20$. Le piège $14$ ajoute $2$ à $12$ parce que $x$ passe de $3$ à $5$ : avec la proportionnalité, on multiplie par le coefficient, on n'ajoute pas l'écart.
Question 9 : Laquelle de ces situations se modélise par une fonction linéaire ?
Réponse : D. Pour un côté de longueur $c$, le périmètre vaut $4c$ : c'est la forme $ax$ avec $a = 4$. Le piège le plus tentant est le taxi : pour $x$ kilomètres, il coûte $1{,}5x + 4$ euros, et les $4$ euros du départ cassent la proportionnalité. L'aire, elle, vaut $c^2$, qui n'a pas la forme $ax$.
Question 10 : Une seule de ces fonctions est linéaire : laquelle ?
Réponse : A. En développant, $2(x + 3) - 6 = 2x + 6 - 6 = 2x$ : c'est la forme $ax$ avec $a = 2$. Le piège B ressemble à « $2$ fois quelque chose », mais $2(x + 3) = 2x + 6$ est affine, car $f(0) = 6$. C vaut $x^2 + 2x$ et D vaut $3$ : aucune des deux n'a la forme $ax$.
Question 11 : La droite d'une fonction linéaire passe par le point $(-2\,;\,3)$. Quel est son coefficient ?
Réponse : C. $a = \dfrac{y}{x} = \dfrac{3}{-2} = -1{,}5$, et on vérifie : $-1{,}5 \times (-2) = 3$. Le piège $-\dfrac{2}{3}$ divise l'abscisse par l'ordonnée, donc à l'envers ; $1{,}5$ oublie le signe de l'abscisse.
Question 12 : Un prix augmente de $10\,\%$, puis baisse de $10\,\%$. Au total, ce prix :
Réponse : B. On multiplie par $1{,}1$, puis par $0{,}9$, donc en tout par $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$ : c'est une baisse de $1\,\%$. Avec $100$ euros, on passe à $110$ euros, puis à $99$ euros. Le piège A oublie que la baisse de $10\,\%$ porte sur un prix déjà augmenté.
Sources
Ministère de l'Éducation nationale, « Test de positionnement, classe de seconde, mathématiques, voies générale et technologique », présentation des exercices et des compétences évaluées, eduscol, septembre 2026.