Maîtrise la Géométrie Affine : Barycentres et Applications

Réponse : B. Le barycentre de $(A, 1)$ et $(B, 1)$ est le point $G$ tel que $1\vec{GA} + 1\vec{GB} = \vec{0}$, soit $\vec{GA} = -\vec{GB}$. Cela signifie que $G$ est le milieu du segment $[AB]$.

Réponse : C. Comme les poids $1, 2, 3$ sont tous positifs et que leur somme $1+2+3=6 \neq 0$, le barycentre $G$ est situé à l'intérieur du triangle $ABC$. Plus précisément, il vérifie $6\vec{GA} + 2\vec{GB} + 3\vec{GC} = \vec{0}$.

Réponse : A. C'est la propriété fondamentale des applications affines : elles transforment les barycentres en barycentres avec les mêmes poids. L'option D est incorrecte car les points sont transformés par $f$, et les options B et C modifient les poids de manière erronée.

Réponse : D. Par définition, le barycentre $G$ de $(A, a)$ et $(B, b)$ vérifie $a\vec{GA} + b\vec{GB} = \vec{0}$. Ici, $a=2$ et $b=-1$, donc $2\vec{GA} - 1\vec{GB} = \vec{0}$. Attention à ne pas confondre avec l'expression du vecteur $\vec{AG}$ en fonction de $\vec{AB}$.

Réponse : C. Une application affine $f$ peut être décomposée en une application linéaire $\phi$ appliquée à $M$, puis on ajoute un vecteur fixe $\vec{v}$ (la translation). $f(M) = \phi(M) + \vec{v}$. La translation pure correspond au cas où $\phi$ est l'application identité et $\vec{v}$ est le vecteur de translation.

Réponse : B. La somme des poids est $1 + 1 + (-2) = 0$. Dans ce cas, le barycentre n'est pas défini au sens habituel. Si l'on considérait la relation $\sum a_i \vec{MA_i} = S \vec{MG}$ avec $S=0$, cela impliquerait que $\sum a_i \vec{MA_i} = \vec{0}$ pour tout $M$, ce qui n'est possible que si tous les $a_i$ sont nuls, ce qui n'est pas le cas ici.

Réponse : A. Comme mentionné précédemment, les applications affines conservent les barycentres avec les mêmes poids. Donc, si $G$ est le barycentre de $(A,1), (B,2), (C,3)$, alors $f(G)$ sera le barycentre de $(f(A),1), (f(B),2), (f(C),3)$, c'est-à-dire $(A',1), (B',2), (C',3)$.

Réponse : D. Les applications affines préservent le parallélisme et la collinearité. Elles préservent aussi le rapport des distances sur une même droite (par exemple, si $M$ est le milieu de $[AB]$, alors $f(M)$ est le milieu de $[f(A)f(B)]$). Cependant, elles ne préservent pas les longueurs des segments en général (sauf s'il s'agit d'une isométrie ou d'une similitude directe). Une simple compression peut transformer un carré en un rectangle sans changer le rapport des côtés.

Réponse : B. On a $a\vec{GA} + b\vec{GB} = \vec{0}$. En introduisant le point $A$ : $a\vec{GA} + b(\vec{GA} + \vec{AB}) = \vec{0}$. D'où $(a+b)\vec{GA} + b\vec{AB} = \vec{0}$, soit $\vec{GA} = -\frac{b}{a+b}\vec{AB}$. En prenant l'opposé, $\vec{AG} = \frac{b}{a+b}\vec{AB}$.

Réponse : C. Le centre de masse d'un système de particules est précisément le barycentre de ces particules, où les poids sont les masses des particules. C'est une application directe de la définition du barycentre.

Réponse : D. En introduisant le point $A$ comme origine, on a $\vec{P} - \vec{A} = \frac{1}{2}(\vec{B} - \vec{A}) + \frac{1}{3}(\vec{C} - \vec{A})$. Cela donne $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$. En réarrangeant pour obtenir la forme barycentrique $\sum a_i \vec{M A_i} = \vec{0}$, on trouve que $P$ est le barycentre de $(A, 1-1/2-1/3), (B, 1/2), (C, 1/3)$. Les poids sont $1/6, 1/2, 1/3$. En multipliant par 6, on obtient $(A,1), (B,3), (C,2)$. L'option D est incorrecte, recalculons. En utilisant $\vec{OP} = \frac{a\vec{OA} + b\vec{OB} + c\vec{OC}}{a+b+c}$. Ici $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$. En exprimant $\vec{AP}$ en fonction de $\vec{AA}, \vec{AB}, \vec{AC}$: $\vec{AP} = 0 \cdot \vec{AA} + \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC}$. Ce n'est pas la forme standard. Reprenons: $\vec{OP} = \frac{a\vec{OA}+b\vec{OB}}{a+b}$. Pour 3 points : $\vec{OP} = \frac{a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}}{a+b+c}$. On a $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$. On veut trouver $a, b, c$ tels que $\vec{AP} = \frac{a\vec{AB} + b\vec{AC}}{a+b+c}$. On peut poser $a+b+c=1$. Alors $\vec{AP} = a\vec{AB} + b\vec{AC}$. Donc on aurait $a=1/2, b=1/3$. $c = 1 - 1/2 - 1/3 = 1/6$. Les poids sont donc $(A, 1/6), (B, 1/2), (C, 1/3)$. En multipliant par 6 pour avoir des entiers, on obtient $(A,1), (B,3), (C,2)$. L'option D est $(A,1), (B,3/2), (C,1)$. Recalculons à nouveau. Si $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$, alors $P$ est le barycentre de $(A, w_A), (B, w_B), (C, w_C)$ avec $\vec{AP} = \frac{w_B \vec{AB} + w_C \vec{AC}}{w_A+w_B+w_C}$. On peut poser $w_A+w_B+w_C=1$. Alors $\vec{AP} = w_B \vec{AB} + w_C \vec{AC}$. Dans ce cas, $w_B = 1/2$ et $w_C = 1/3$. Donc $w_A = 1 - 1/2 - 1/3 = 1/6$. Les poids sont $(A, 1/6), (B, 1/2), (C, 1/3)$. En multipliant par 6, on obtient $(A, 1), (B, 3), (C, 2)$. L'option D est $(A,1), (B,3/2), (C,1)$. Il semble y avoir une erreur dans les options ou le calcul. Reconsidérons : $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$. Cela signifie que $P$ est tel que si l'on considère $A$ comme origine, $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$. On peut écrire $\vec{AP} = \frac{3\vec{AB} + 2\vec{AC}}{6}$. En posant $w_A+w_B+w_C = 6$, on aurait $w_B=3$ et $w_C=2$. Alors $w_A = 6-3-2=1$. Donc $P$ est le barycentre de $(A,1), (B,3), (C,2)$. Il manque cette option. Vérifions l'option D : $(A,1), (B,3/2), (C,1)$. Somme des poids = $1+3/2+1 = 7/2$. $\vec{AP} = \frac{1 \cdot \vec{AB} + (3/2) \cdot \vec{AC}}{7/2} = \frac{2}{7} \vec{AB} + \frac{3}{7} \vec{AC}$. Ce n'est pas $\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$. Il y a une erreur dans les options proposées. Le bon barycentre est $(A,1), (B,3), (C,2)$. Pour les besoins du quiz, je vais choisir une option qui est la plus proche ou réécrire la question. Je vais reformuler la question pour que l'option D soit correcte. Si $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$, et que l'on cherche une option de la forme $(A, w_A), (B, w_B), (C, w_C)$, alors $\vec{AP} = \frac{w_B \vec{AB} + w_C \vec{AC}}{w_A+w_B+w_C}$. Si nous choisissons $w_A=1$, alors $1+w_B+w_C = \text{somme totale}$. Reprenons l'option D: $(A,1), (B,3/2), (C,1)$. Somme $1+3/2+1 = 7/2$. $\vec{AP} = \frac{1 \cdot \vec{AB} + (3/2) \cdot \vec{AC}}{7/2} = \frac{2}{7}\vec{AB} + \frac{3}{7}\vec{AC}$. Ce n'est pas correct. Si la question était : Soient $A, B, C$ trois points non alignés. Le point $P$ défini par $\vec{AP} = \frac{3}{5}\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC}$ est le barycentre de : Alors, si $w_A+w_B+w_C=5$, on aurait $w_B=3, w_C=2$, donc $w_A=0$. C'est le barycentre de $(B,3), (C,2)$. Si l'on veut que $A$ soit inclus, prenons $\vec{AP} = w_A \vec{AA} + w_B \vec{AB} + w_C \vec{AC}$ avec $w_A+w_B+w_C=1$. Je vais modifier la question pour qu'elle corresponde à une des options, ou modifier une option. Modifions la question pour qu'elle corresponde à l'option D. Si l'option D est $(A,1), (B,3/2), (C,1)$, la somme des poids est $7/2$. Alors $\vec{AP} = \frac{1\cdot \vec{AB} + (3/2)\cdot \vec{AC}}{7/2} = \frac{2}{7}\vec{AB} + \frac{3}{7}\vec{AC}$. Donc, la question devrait être : Le point $P$ défini par $\vec{AP} = \frac{2}{7}\vec{AB} + \frac{3}{7}\vec{AC}$ est le barycentre de : Je vais garder la question originale et modifier l'option D pour qu'elle soit correcte. L'option correcte est $(A,1), (B,3), (C,2)$. Je vais changer l'option D à : D. $(A,1), (B,3), (C,2)$

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