L'essentiel à connaître
Un point pondéré est un point muni d'un réel, son poids. Le barycentre de $(A_1,a_1),\dots,(A_n,a_n)$ existe dès que la somme $S$ des poids n'est pas nulle : c'est l'unique point $G$ tel que $a_1\overrightarrow{GA_1}+\dots+a_n\overrightarrow{GA_n}=\vec{0}$. Exemple : pour $(A,1)$ et $(B,2)$, $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, donc $G$ est plus près de $B$, le point le plus lourd.
Formule : pour placer $G$, pars de n'importe quel point $M$ : $\overrightarrow{MG}=\frac{1}{S}\left(a_1\overrightarrow{MA_1}+\dots+a_n\overrightarrow{MA_n}\right)$. Pour $(A,a)$ et $(B,b)$, avec $M=A$ : $\overrightarrow{AG}=\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$, le poids de $B$ au numérateur.
Multiplier tous les poids par un même réel non nul ne change pas $G$. À poids égaux, $G$ est l'isobarycentre : le milieu de deux points, le centre de gravité d'un triangle. L'associativité remplace un groupe de points par son barycentre partiel, affecté de la somme de leurs poids, si cette somme n'est pas nulle. Avec des poids tous positifs, $G$ reste dans le segment ou dans le triangle.
Piège classique : si la somme de tous les poids est nulle, le barycentre n'est pas défini, car $a_1\overrightarrow{MA_1}+\dots+a_n\overrightarrow{MA_n}$ ne dépend plus de $M$. Seule la somme totale décide : des points dont les poids s'annulent entre eux n'empêchent pas $G$ d'exister, mais tu ne peux pas les regrouper.
Une application $f$ est affine s'il existe une application linéaire $\varphi$, sa partie linéaire, telle que $\overrightarrow{f(A)f(B)}=\varphi(\overrightarrow{AB})$ pour tous points $A$ et $B$. Dans un repère du plan, chaque coordonnée de $f(x,y)$ s'écrit $\alpha\,x+\beta\,y+\gamma$. Si $\varphi=\mathrm{id}$, $f$ est une translation ; si $\varphi=k\,\mathrm{id}$ avec $k\notin\{0,1\}$, c'est l'homothétie de rapport $k$ centrée en son unique point fixe.
À retenir : $f$ est affine si et seulement si elle conserve les barycentres : $f(G)$ est le barycentre des $(f(A_i),a_i)$, avec les mêmes poids, que $f$ soit bijective ou non. Elle conserve donc l'alignement, le parallélisme, les milieux et les rapports de longueurs sur une droite, mais en général ni les longueurs ni les angles. La droite passant par $A$ dirigée par $\vec{u}$ a pour image une droite, ou le seul point $f(A)$ si $\varphi(\vec{u})=\vec{0}$.
En MPSI et MP2I, « tout développement général sur les barycentres est hors programme » (programme de 2021) : ce quiz suit plutôt un cours de licence, comme les notes de François Dumas (université Clermont Auvergne).
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : $A$ et $B$ sont deux points distincts. Le barycentre de $(A,1)$ et $(B,1)$ est :
Réponse : C. Avec deux poids égaux, $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\vec{0}$ : $G$ est le milieu de $[AB]$. Le piège A confond poids et distance : seul le rapport des poids compte.
Question 2 : $G$ est le barycentre de $(A,3)$ et $(B,1)$. Que vaut $\overrightarrow{AG}$ ?
Réponse : A. $\overrightarrow{AG}=\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3+1}\overrightarrow{AB}$, et $G$ est près de $A$, le point le plus lourd. Le piège $\frac{3}{4}$ met au numérateur le poids de $A$ et place $G$ près du point léger.
Question 3 : $A$, $B$, $C$ sont non alignés et $G$ est le barycentre de $(A,1)$, $(B,2)$, $(C,3)$. Où se trouve $G$ ?
Réponse : D. Les poids sont tous positifs : $H$, barycentre de $(B,2)$ et $(C,3)$, est sur $[BC]$, et par associativité $G$ est le barycentre de $(A,1)$ et $(H,5)$, donc strictement entre $A$ et $H$. $G$ ne serait sur $[BC]$ que si le poids de $A$ était nul.
Question 4 : $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(B,-1)$. Que vaut $\overrightarrow{AG}$ ?
Réponse : B. La somme des poids vaut $1$, donc $\overrightarrow{AG}=\frac{-1}{1}\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}$ : $G$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$. Le piège $2\overrightarrow{AB}$ vient de $\frac{a}{a+b}$ : au numérateur, il faut le poids de $B$.
Question 5 : $ABC$ est un triangle, $I$ le milieu de $[BC]$ et $G$ son centre de gravité. Alors :
Réponse : A. Par associativité, $(B,1)$ et $(C,1)$ se remplacent par $(I,2)$, donc $G$ est le barycentre de $(A,1)$ et $(I,2)$ : $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$. Le piège $\frac{1}{3}$ se mesure depuis $I$ : $\overrightarrow{IG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{IA}$.
Question 6 : $A$, $B$, $C$ sont non alignés et $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. $P$ est le barycentre de :
Réponse : C. Avec des poids de somme $1$ et $M=A$, ceux de $B$ et $C$ sont $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{3}$, et celui de $A$ vaut $1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ ; multipliés par $6$, ils donnent $(A,1),(B,3),(C,2)$. Le piège B oublie $A$ : la somme devient $5$ et donne $\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$.
Question 7 : $f$ est affine et $G$ est le barycentre de $(A,1)$, $(B,2)$, $(C,3)$. Alors $f(G)$ est le barycentre de :
Réponse : B. La preuve n'utilise que la linéarité de $\varphi$ : $\overrightarrow{f(A)f(G)}=\varphi(\overrightarrow{AG})=\frac{1}{6}\left(2\overrightarrow{f(A)f(B)}+3\overrightarrow{f(A)f(C)}\right)$. Le piège A exige une bijectivité dont la preuve n'a pas besoin : une projection sur une droite conserve elle aussi les barycentres.
Question 8 : Laquelle de ces propriétés une application affine ne conserve-t-elle pas en général ?
Réponse : D. Dans un repère, $f(x,y)=(2x\,;\,y)$ est affine et double les longueurs horizontales. Le piège C : le milieu semble une affaire de longueurs, mais c'est l'isobarycentre des extrémités, donc il est conservé, comme l'alignement et le parallélisme.
Question 9 : Par une application affine $f$ de partie linéaire $\varphi$, l'image d'une droite est :
Réponse : A. L'image de la droite passant par $A$ dirigée par $\vec{u}$ passe par $f(A)$ et est dirigée par $\varphi(\vec{u})$ : c'est une droite si ce vecteur n'est pas nul, sinon le seul point $f(A)$. La projection $(x,y)\mapsto(x\,;\,0)$ envoie ainsi la droite d'équation $x=1$ sur le point $(1\,;\,0)$. Le piège B n'est vrai que si $\varphi$ est injective.
Question 10 : Dans un repère, $f(x,y)=(x+2y\,;\,3x-y+1)$, $A(0\,;\,0)$ et $B(2\,;\,4)$. Quelles sont les coordonnées de $f(I)$, où $I$ est le milieu de $[AB]$ ?
Réponse : C. $I(1\,;\,2)$, donc $f(I)=(1+4\,;\,3-2+1)=(5\,;\,2)$, qui est bien le milieu de $f(A)=(0\,;\,1)$ et $f(B)=(10\,;\,3)$. Le piège D prend la moitié de $f(B)$ comme si $f$ était linéaire, ce que le $+1$ interdit.
Question 11 : Dans un repère, $f(x,y)=(2x+1\,;\,2y-3)$. Alors $f$ est :
Réponse : D. Sa partie linéaire est $2\,\mathrm{id}$, donc $f$ est l'homothétie de rapport $2$ centrée en son unique point fixe : $2x+1=x$ et $2y-3=y$ donnent $(-1\,;\,3)$. Le piège B prend le terme constant pour le centre, or $f(1,-3)=(3\,;\,-9)$.
Question 12 : $A$, $B$, $C$ sont non alignés et $I$ est le milieu de $[AB]$. Le barycentre de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,-2)$ :
Réponse : B. La somme $1+1-2$ est nulle et, pour tout $M$, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}-2\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{CI}$, un vecteur fixe et non nul puisque $C$ n'est pas sur $(AB)$ : aucun point ne convient. Le piège C applique la formule avec $M=C$ sans diviser par la somme : $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$ mène au symétrique de $C$ par rapport à $I$, mais il faudrait diviser par $0$.
Question 13 : $f$ est affine et bijective. Quel point du triangle $ABC$ a toujours pour image le point de même nom du triangle $f(A)f(B)f(C)$ ?
Réponse : A. Le centre de gravité est l'isobarycentre de $A$, $B$, $C$, donc son image est l'isobarycentre de $f(A)$, $f(B)$, $f(C)$. Le piège B : le centre du cercle inscrit est bien un barycentre, mais de poids $BC$, $CA$, $AB$, des longueurs que $f$ ne conserve pas.
Question 14 : $A$, $B$, $C$ sont non alignés. Que dire du barycentre $G$ de $(A,1)$, $(B,-1)$ et $(C,2)$ ?
Réponse : D. La somme totale vaut $1-1+2=2$, donc $G$ existe, et avec $M=C$ : $\overrightarrow{CG}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$. Le piège A regroupe $(A,1)$ et $(B,-1)$, de somme nulle, ce que l'associativité interdit : seule la somme de tous les poids décide.
Sources
Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I (annexe 1), ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021 : texte officiel.
François Dumas, « Géométrie affine », notes de cours de troisième année de licence de mathématiques, université Clermont Auvergne, 2021-2022 : notes de cours.