Maîtrise les Congruences et l'Anneau Z/nZ

Réponse : C. La définition fondamentale de la congruence $a \equiv b \pmod{n}$ est que $n$ divise la différence $a-b$. L'option B est une conséquence de cette définition, mais la C est la définition directe. Les options A et D sont incorrectes car elles introduisent des puissances de $n$ ou une condition sur le produit, ce qui n'est pas la définition.

Réponse : A. Cette propriété montre que l'on peut additionner les membres de deux congruences tout en conservant la congruence modulo $n$. C'est la compatibilité de la relation de congruence avec l'opération d'addition. La transitivité, réflexivité et antisymétrie sont d'autres propriétés des relations d'équivalence.

Réponse : D. La division euclidienne d'un entier par $n$ donne un reste $r$ tel que $0 \le r < n$. Pour $n=5$, les restes possibles sont donc $0, 1, 2, 3, 4$. L'ensemble de ces restes définit les éléments de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$.

Réponse : B. Pour trouver la classe de 23 modulo 7, on effectue la division euclidienne de 23 par 7. On a $23 = 3 \times 7 + 2$. Le reste est 2. Donc, $23 \equiv 2 \pmod{7}$. La classe de 23 est la classe de 2.

Réponse : A. L'existence d'un inverse pour $a$ modulo $n$ est équivalente à l'existence d'un entier $x$ tel que $ax \equiv 1 \pmod{n}$. Ceci est une équation diophantienne linéaire de la forme $ax + ny = 1$, qui admet des solutions si et seulement si $\text{pgcd}(a, n)$ divise 1, c'est-à-dire $\text{pgcd}(a, n) = 1$. Les autres options ne sont pas des conditions suffisantes ou nécessaires.

Réponse : C. Les éléments inversibles dans $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ sont ceux qui sont premiers avec 10. Le $\text{pgcd}(x, 10)=1$. Les éléments de $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ sont $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Ceux premiers avec 10 sont $\{1, 3, 7, 9\}$. Les autres ont un diviseur commun avec 10 (2 ou 5).

Réponse : B. On cherche un $x$ tel que $x = 3k+2$ et $x=5j+3$. En substituant la première dans la seconde, $3k+2 \equiv 3 \pmod{5}$. $3k \equiv 1 \pmod{5}$. L'inverse de 3 modulo 5 est 2 (car $3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$). Donc $k \equiv 1 \times 2 \equiv 2 \pmod{5}$. $k=5m+2$. En substituant dans $x=3k+2$, on obtient $x=3(5m+2)+2 = 15m+6+2 = 15m+8$. Il y a une erreur dans mon calcul. Reprenons. $3k \equiv 1 \pmod{5}$. L'inverse de 3 mod 5 est 2. Donc $k \equiv 2 \pmod{5}$. $k=5m+2$. $x=3(5m+2)+2 = 15m+6+2 = 15m+8$. Ah, j'ai fait une erreur dans la réponse attendue. Refaisons : $x \equiv 2 \pmod 3 \implies x \in \{2, 5, 8, 11, 14, .\}$. $x \equiv 3 \pmod 5 \implies x \in \{3, 8, 13, 18, .\}$. L'élément commun est 8. Donc $x \equiv 8 \pmod{15}$. L'option A est la bonne. Je vais corriger ma réponse.

Correction suite à une erreur de calcul initiale dans l'exemple : Reprenons : $x \equiv 2 \pmod{3}$ et $x \equiv 3 \pmod{5}$. De la première congruence, $x$ peut être $2, 5, 8, 11, 14, 17, \dots$. De la seconde congruence, $x$ peut être $3, 8, 13, 18, \dots$. L'élément commun est $8$. Donc $x \equiv 8 \pmod{15}$. L'option A est la bonne réponse. Je vais corriger la réponse.

Réponse corrigée : A. De la première congruence, $x$ peut être $2, 5, 8, 11, 14, \dots$. De la seconde congruence, $x$ peut être $3, 8, 13, 18, \dots$. L'élément commun est $8$. Donc $x \equiv 8 \pmod{15}$. Les autres options ne satisfont pas les deux congruences simultanément.

Réponse : D. $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est toujours un anneau unitaire et commutatif. C'est un corps si et seulement si $n$ est un nombre premier. Il possède également une structure de groupe abélien pour l'addition. L'option D englobe toutes ces caractérisations possibles selon la valeur de $n$. Bien que la question demande "quelle est", l'option D est la plus précise car elle couvre les différents cas.

Réponse : A. L'ordre d'un élément $a$ dans un groupe multiplicatif est le plus petit entier positif $k$ tel que $a^k$ soit l'élément neutre du groupe. Dans le groupe multiplicatif $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$, l'élément neutre est la classe de 1. Donc, c'est le plus petit $k>0$ tel que $a^k \equiv 1 \pmod{n}$. L'option C concerne l'inverse multiplicatif.

Réponse : C. L'équation $ax \equiv b \pmod{n}$ est équivalente à l'existence d'un entier $k$ tel que $ax - b = nk$, soit $ax - nk = b$. Cette équation diophantienne linéaire $ax' + ny' = b$ admet des solutions si et seulement si $\text{pgcd}(a, n)$ divise $b$. Ceci est une conséquence directe du Théorème de Bézout. Le Théorème des restes chinois traite des systèmes de congruences.

Réponse : B. Dans un corps, tout élément non nul est inversible. Puisque $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps lorsque $n$ est premier, cela signifie que pour tout $a \in \{1, 2, \dots, n-1\}$, il existe un $a^{-1} \in \{1, 2, \dots, n-1\}$ tel que $aa^{-1} \equiv 1 \pmod{n}$. Les diviseurs de zéro n'existent que si l'anneau n'est pas intègre (ce qui est le cas pour $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ quand $n$ n'est pas premier).

Réponse : A. L'ordre d'un élément est défini dans le contexte d'un groupe multiplicatif. Dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, les éléments premiers avec 6 sont 1 et 5. Donc $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})^\times = \{1, 5\}$. L'élément 3 n'appartient pas à ce groupe, il n'est donc pas inversible modulo 6 (car $\text{pgcd}(3,6)=3 \neq 1$). Par conséquent, son ordre dans ce groupe n'est pas défini. On pourrait parler de l'ordre de 3 dans le groupe additif $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, +)$, qui serait 2 ($3+3 \equiv 0 \pmod 6$). Mais la question implicite ici est sur le groupe multiplicatif.

Réponse : C. On cherche $2^{100} \pmod{5}$. Comme 5 est un nombre premier, on peut utiliser le Petit Théorème de Fermat : $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ pour tout $a$ non divisible par $p$. Ici, $2^{5-1} = 2^4 \equiv 1 \pmod{5}$. On écrit $100 = 4 \times 25$. Donc $2^{100} = (2^4)^{25} \equiv 1^{25} \equiv 1 \pmod{5}$. Il y a une erreur dans ma réponse. Reprenons. $2^1 \equiv 2 \pmod 5$, $2^2 \equiv 4 \pmod 5$, $2^3 \equiv 8 \equiv 3 \pmod 5$, $2^4 \equiv 16 \equiv 1 \pmod 5$. Donc l'ordre de 2 modulo 5 est 4. $100 = 4 \times 25$. $2^{100} = (2^4)^{25} \equiv 1^{25} \equiv 1 \pmod 5$. L'option B est donc la bonne. Je corrige la réponse.

Correction suite à une erreur de calcul initiale dans l'exemple : On cherche $2^{100} \pmod{5}$. Calculons les premières puissances de 2 modulo 5 : $2^1 \equiv 2 \pmod{5}$ $2^2 \equiv 4 \pmod{5}$ $2^3 \equiv 8 \equiv 3 \pmod{5}$ $2^4 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$ L'ordre de 2 modulo 5 est 4. Maintenant, divisons l'exposant 100 par 4 : $100 = 4 \times 25$. Donc, $2^{100} = (2^4)^{25} \equiv 1^{25} \equiv 1 \pmod{5}$. Le reste est donc 1.

Réponse corrigée : B. On calcule les puissances de 2 modulo 5 : $2^1 \equiv 2$, $2^2 \equiv 4$, $2^3 \equiv 3$, $2^4 \equiv 1 \pmod{5}$. L'ordre de 2 modulo 5 est 4. Comme $100$ est un multiple de 4 ($100 = 4 \times 25$), $2^{100} \equiv (2^4)^{25} \equiv 1^{25} \equiv 1 \pmod{5}$. Le reste est 1.

Réponse : D. La fonction indicatrice d'Euler $\phi(n)$ compte le nombre d'entiers positifs inférieurs ou égaux à $n$ qui sont premiers avec $n$. Si $p$ est un nombre premier, alors tous les entiers de 1 à $p-1$ sont premiers avec $p$. Il y en a donc $p-1$. L'option B est correcte, mais l'option D donne l'explication précise dans ce contexte.

Réponse : A. Le Théorème des restes chinois stipule que si $n_1, n_2, \dots, n_k$ sont des entiers deux à deux premiers entre eux, alors l'anneau $\mathbb{Z}/(n_1 n_2 \dots n_k)\mathbb{Z}$ est isomorphe au produit d'anneaux $\mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n_2\mathbb{Z} \times \dots \times \mathbb{Z}/n_k\mathbb{Z}$. Puisque $6 = 2 \times 3$ et que 2 et 3 sont premiers entre eux, on a $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Les autres décompositions ne respectent pas la condition de primalité des moduli.