L'essentiel à connaître
Règle : Une équation aux dérivées partielles (EDP) linéaire d'ordre 2 en deux variables, $A\,u_{xx} + B\,u_{xy} + C\,u_{yy} + (\text{termes d'ordre} \leq 1) = 0$, est hyperbolique si $B^2 - 4AC > 0$, parabolique si $B^2 - 4AC = 0$, elliptique si $B^2 - 4AC < 0$.
Ici $u_{xy}$ note la dérivée seconde $\frac{\partial^2 u}{\partial x\,\partial y}$. Exemple : l'équation des ondes $u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0$ ($c > 0$, $t$ jouant le rôle de $y$) a $A = -c^2$, $B = 0$, $C = 1$, donc $B^2 - 4AC = 4c^2 > 0$ : elle est hyperbolique (critère du cours de Méhats, Rennes 1). Au premier ordre, l'équation de transport $u_t + a\,u_x = 0$ est aussi dite hyperbolique : sa solution $u(x,t) = u_0(x - at)$, où $u_0(x) = u(x,0)$, est le profil initial décalé à la vitesse $a$.
Piège classique : Le signe de $A$ et de $C$ ne suffit pas, le terme croisé compte. Et si $A$, $B$, $C$ dépendent du point, le type se lit point par point : il peut changer d'une région du plan à l'autre.
Dans $u_{tt} = c^2 u_{xx}$, $c$ est la vitesse de propagation. Les caractéristiques, droites du plan $(x,t)$ le long desquelles l'information voyage, sont $x - ct = \text{cste}$ et $x + ct = \text{cste}$. Avec $\xi = x + ct$ et $\eta = x - ct$, l'équation devient $u_{\xi\eta} = 0$, d'où $u(x,t) = F(x - ct) + G(x + ct)$ : le profil $F$ avance vers la droite à la vitesse $c$, le profil $G$ vers la gauche.
Formule : L'équation étant d'ordre 2 en temps, il faut sur $\mathbb{R}$ deux données, la position $u(x,0) = \varphi(x)$ et la vitesse $u_t(x,0) = \psi(x)$. La formule de d'Alembert donne alors (cours de Helffer et Ramond, Paris-Sud) :
$$u(x,t) = \frac{\varphi(x - ct) + \varphi(x + ct)}{2} + \frac{1}{2c}\int_{x - ct}^{x + ct} \psi(s)\,ds$$
Conséquences : $u(x_0, t_0)$ ne dépend que des données sur $[x_0 - ct_0\,;\,x_0 + ct_0]$, son domaine de dépendance. La solution n'est jamais plus régulière que ses données : un saut ne se lisse pas, il suit les caractéristiques, alors que l'équation de la chaleur, parabolique, rend la solution lisse dès $t > 0$ (cours de Koepfler, Paris Descartes). Si les données sont nulles hors d'un intervalle borné, l'énergie $E(t) = \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}} \left(u_t^2 + c^2 u_x^2\right) dx$ reste constante.
Pour une corde de longueur $L$ fixée aux deux bouts, $u(0,t) = u(L,t) = 0$. La séparation des variables, $u(x,t) = X(x)\,T(t)$, donne les modes $\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$, $n \geq 1$, qui vibrent à la pulsation $\omega_n = \frac{n\pi c}{L}$, soit à la fréquence $f_n = \frac{nc}{2L}$.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Laquelle de ces équations est l'équation des ondes en dimension 1, de vitesse $c > 0$ ?
Réponse : B. L'équation des ondes est d'ordre 2 en temps comme en espace. Le piège A, d'ordre 1 en temps, a la forme de l'équation de la chaleur, parabolique. La D, avec son signe $+$, donne $B^2 - 4AC = -4c^2 < 0$ : elle est elliptique.
Question 2 : Quel est le type de l'équation $u_{xx} + 3\,u_{xy} + u_{yy} = 0$ ?
Réponse : D. Avec $A = 1$, $B = 3$, $C = 1$ : $B^2 - 4AC = 9 - 4 = 5 > 0$. Le piège A oublie le terme croisé : ici $B^2 = 9$ l'emporte sur $4AC = 4$. La C oublie d'élever $B$ au carré.
Question 3 : Quelles sont les caractéristiques de l'équation $u_{tt} = 9\,u_{xx}$ ?
Réponse : A. Ici $c^2 = 9$, donc $c = 3$, et les caractéristiques sont $x \pm ct = \text{cste}$. Le piège B prend $c^2$ pour $c$. La D confond le nom « hyperbolique » avec la forme des courbes : ce sont des droites.
Question 4 : Avec $c > 0$, le profil $F(x - ct)$ a son sommet en $x = 0$ à $t = 0$. Où est ce sommet à l'instant $t$ ?
Réponse : C. Le sommet est là où l'argument s'annule : $x - ct = 0$, soit $x = ct$, donc le profil avance vers la droite. Le piège A lit le signe moins comme un départ vers la gauche, alors que c'est $G(x + ct)$ qui part à gauche.
Question 5 : Pour résoudre $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ sur $\mathbb{R}$ de façon unique, quelles données initiales faut-il ?
Réponse : B. L'équation est d'ordre 2 en temps : comme pour une équation différentielle d'ordre 2, il faut la position et la vitesse initiales. Le piège C n'apporte rien de neuf, car $u_x(x,0)$ se déduit de $u(x,0)$.
Question 6 : On résout l'équation de transport $u_t + 2\,u_x = 0$ avec $u(x,0) = e^{-x^2}$. Que vaut $u(x,t)$ ?
Réponse : D. La solution est $u_0(x - at)$ avec $a = 2$ : le profil glisse vers la droite à la vitesse $2$. Le piège A se trompe de sens. La C applique la formule de d'Alembert, qui vaut pour les ondes, pas pour le transport, où tout part dans un seul sens.
Question 7 : On résout $u_{tt} = 4\,u_{xx}$ sur $\mathbb{R}$ avec $u(x,0) = \sin x$ et $u_t(x,0) = 0$. Que vaut $u(x,t)$ ?
Réponse : A. Ici $c = 2$ et $\psi = 0$, donc $u = \frac{\sin(x - 2t) + \sin(x + 2t)}{2} = \sin x \cos 2t$. Le piège C oublie le $\frac{1}{2}$ : à $t = 0$, il donnerait $2\sin x$ au lieu de $\sin x$. La D prend $c^2$ pour $c$.
Question 8 : Pour $u_{tt} = 4\,u_{xx}$ sur $\mathbb{R}$, la valeur $u(1, 3)$ ne dépend des données initiales que sur quel intervalle ?
Réponse : A. Le domaine de dépendance est $[x_0 - ct_0\,;\,x_0 + ct_0]$, ici $[1 - 6\,;\,1 + 6] = [-5\,;\,7]$ car $c = 2$. Le piège B prend $c^2 = 4$ pour $c$, la C oublie $c$ et la D divise par $c$ au lieu de multiplier.
Question 9 : On résout $u_{tt} = u_{xx}$ sur $\mathbb{R}$ avec $u(x,0) = 0$ et $u_t(x,0) = \cos x$. Que vaut $u(x,t)$ ?
Réponse : D. Avec $c = 1$ et $\varphi = 0$ : $u = \frac{1}{2}\int_{x - t}^{x + t} \cos s\,ds = \frac{\sin(x + t) - \sin(x - t)}{2} = \cos x \sin t$. Le piège A prend $\cos x$ pour une position initiale, alors que c'est une vitesse : avec A, $u(x,0)$ vaudrait $\cos x$ et non $0$.
Question 10 : Les données de $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ sont nulles hors d'un intervalle borné. Que fait l'énergie $E(t) = \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}} \left(u_t^2 + c^2 u_x^2\right) dx$ quand $t$ augmente ?
Réponse : C. En dérivant $E$ puis en intégrant par parties, on trouve $E'(t) = 0$ : l'équation des ondes conserve l'énergie. Le piège A pense à une onde amortie, dont l'équation contient un terme en $u_t$ absent ici.
Question 11 : Une corde de longueur $L = 2$ m, fixée aux deux bouts, porte des ondes de vitesse $c = 100$ m/s. Quelle est la fréquence de son mode fondamental, $n = 1$ ?
Réponse : B. $f_1 = \frac{c}{2L} = \frac{100}{4} = 25$ Hz. Le piège A oublie le $2$ : la longueur d'onde du mode fondamental vaut $2L$, pas $L$. La C donne la pulsation $\omega_1 = 50\pi$ rad/s, et la D la période $\frac{2L}{c} = 0{,}04$ s.
Question 12 : Laquelle de ces équations est hyperbolique ?
Réponse : C. Pour $u_{xy} = 0$ : $A = C = 0$ et $B = 1$, donc $B^2 - 4AC = 1 > 0$ ; c'est l'équation des ondes écrite avec $\xi$ et $\eta$. Le piège B a bien un terme croisé, mais $4 - 4 = 0$ : elle est parabolique. La D donne $1 - 4 = -3$ : elliptique.
Question 13 : Quel est le type de l'équation $u_{xx} + x\,u_{yy} = 0$ dans le plan ?
Réponse : A. Ici $A = 1$, $B = 0$, $C = x$, donc $B^2 - 4AC = -4x$ : hyperbolique pour $x < 0$, elliptique pour $x > 0$, parabolique sur la droite $x = 0$. Le piège B se fie au signe écrit, alors que le coefficient $x$ est négatif dans le demi-plan $x < 0$.
Question 14 : On applique la formule de d'Alembert à $u_{tt} = u_{xx}$, avec $u_t(x,0) = 0$ et $u(x,0) = 1$ sur $[-1\,;\,1]$, $0$ ailleurs. Que vaut $u$ à l'instant $t = 3$ ?
Réponse : B. Ici $u(x,3) = \frac{\varphi(x - 3) + \varphi(x + 3)}{2}$ : le créneau se coupe en deux moitiés de hauteur $\frac{1}{2}$, décalées de $3$ vers la droite et vers la gauche. Le piège C oublie le $\frac{1}{2}$. La D raisonne comme pour l'équation de la chaleur : ici, les sauts ne se lissent pas, ils suivent les caractéristiques.
Sources
Bernard Helffer, d'après Thierry Ramond, « Introduction aux équations aux dérivées partielles », Université Paris-Sud, 2008, chapitre 4.
Georges Koepfler, « Équations aux dérivées partielles : approfondissement », Master 1, Université Paris Descartes, 2009-2010, chapitre 2.
Florian Méhats, notes de Téofil Adamski, « Équations aux dérivées partielles », Master 1, Université de Rennes 1, 2021, chapitre 1.