L'essentiel à connaître
Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et si $a\in I$, la fonction $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est dérivable sur $I$, avec $F'(x)=f(x)$ et $F(a)=0$ : c'est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ (théorème fondamental de l'analyse). Par exemple, $F(x)=\int_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t}$ a pour dérivée $\frac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ et s'annule en $1$ : c'est $\ln x$. Comme $F(a)=0$, le quotient $\frac{1}{x-a}\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est un taux d'accroissement de $F$ : il tend vers $F'(a)=f(a)$ quand $x$ tend vers $a$.
Propriété : si $f$ est continue sur $I$, et si $u$ et $v$ sont dérivables à valeurs dans $I$, alors $G(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,\mathrm{d}t$ a pour dérivée $G'(x)=v'(x)\,f\big(v(x)\big)-u'(x)\,f\big(u(x)\big)$. Cela vient de $G(x)=F\big(v(x)\big)-F\big(u(x)\big)$ et de la dérivée d'une composée.
Pour étudier $F$, tout se lit sur $f$. Le signe de $f$ donne les variations de $F$. Un encadrement $m\le f(t)\le M$ sur $[a\,;x]$, avec $a\le x$, donne $m(x-a)\le F(x)\le M(x-a)$ par croissance de l'intégrale. Si $x\lt a$, les bornes sont à l'envers : $F(x)=-\int_x^a f(t)\,\mathrm{d}t$, donc le signe s'inverse. Avec $a=0$, une $f$ impaire donne une $F$ paire, et une $f$ paire une $F$ impaire.
Enfin, dans ton cours, $F(x)$ n'a de sens que si $f$ est continue, ou continue par morceaux (continue sauf en un nombre fini de sauts), sur tout le segment entre $a$ et $x$. Avec $f(t)=\frac{1}{t}$ et $a=1$, impossible de franchir $0$ : $F$ n'est définie que sur $]0\,;+\infty[$. Là où $f$ fait un saut, $F$ reste continue mais n'est pas dérivable : ses dérivées à gauche et à droite valent les limites de $f$ à gauche et à droite, qui diffèrent.
Piège classique : si $x$ apparaît aussi dans l'intégrande (la fonction qu'on intègre), le théorème ne s'applique pas tel quel. Dans $\int_0^x x\,g(t)\,\mathrm{d}t$, sors d'abord $x$ de l'intégrale, puis dérive le produit $x\int_0^x g(t)\,\mathrm{d}t$.
La dérivation de $x\mapsto\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ pour $f$ continue figure au programme officiel de première année de MPSI et MP2I (2021), partie « Intégration ».
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Soit $F(x)=\int_1^x t^2\,\mathrm{d}t$. Que vaut $F'(x)$ ?
Réponse : B. $t\mapsto t^2$ est continue, donc $F'(x)=x^2$ : on remplace $t$ par la borne $x$, sans rien dériver ni intégrer. C dérive l'intégrande, et A donne $F(x)$ elle-même.
Question 2 : Quelle fonction est la primitive de $t\mapsto\sqrt{1+t^4}$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en $3$ ?
Réponse : D. $t\mapsto\sqrt{1+t^4}$ est continue, donc $x\mapsto\int_3^x\sqrt{1+t^4}\,\mathrm{d}t$ en est une primitive, nulle en $3$. B s'annule aussi en $3$, mais sa dérivée vaut $-\sqrt{1+x^4}$ : c'est une primitive de l'opposé.
Question 3 : Soit $G(x)=\int_x^2 e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$. Que vaut $G'(x)$ ?
Réponse : A. La variable est en bas : $G(x)=-\int_2^x e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$, donc $G'(x)=-e^{-x^2}$. B oublie ce signe moins, qui vient de l'échange des bornes.
Question 4 : Soit $H(x)=\int_0^{x^2}\sin(t^2)\,\mathrm{d}t$. Que vaut $H'(x)$ ?
Réponse : C. Avec $v(x)=x^2$, $H'(x)=v'(x)\sin\big(v(x)^2\big)=2x\sin(x^4)$. A évalue bien en $x^2$ mais oublie le facteur $2x$ ; B multiplie par $2x$ mais évalue en $x$.
Question 5 : Soit $F(x)=\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$. Quel est son sens de variation sur $\mathbb{R}$ ?
Réponse : A. $F'(x)=e^{-x^2}>0$ pour tout réel $x$, donc $F$ est strictement croissante. C recopie les variations de $t\mapsto e^{-t^2}$ : ce sont celles de $F'$, pas de $F$.
Question 6 : Soit $f$ continue et strictement positive sur $\mathbb{R}$, et $F(x)=\int_1^x f(t)\,\mathrm{d}t$. Que peut-on affirmer sur $F(0)$ ?
Réponse : D. $F(0)=\int_1^0 f(t)\,\mathrm{d}t=-\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t$, et $\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t>0$ car $f>0$. C échange les bornes sans changer le signe ; A applique la positivité de l'intégrale à des bornes rangées dans le mauvais ordre.
Question 7 : Soit $F(x)=\int_0^x (t^2-1)\,\mathrm{d}t$. Quels sont ses extremums locaux ?
Réponse : B. $F'(x)=x^2-1$ est positive avant $-1$, négative entre $-1$ et $1$, positive après $1$ : $F$ croît, décroît, puis croît. A inverse les rôles : $F$ monte jusqu'en $-1$, c'est donc un maximum.
Question 8 : Soit $F(x)=\int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{2+\sin t}$. Quel encadrement est vrai pour tout $x\ge 0$ ?
Réponse : C. De $-1\le\sin t\le 1$, on tire $\frac{1}{3}\le\frac{1}{2+\sin t}\le 1$, puis on intègre sur $[0\,;x]$, de longueur $x$. A oublie cette longueur : son encadrement est faux en $x=0$, où $F(0)=0$.
Question 9 : Pour $x>0$, on pose $G(x)=\int_x^{2x}\frac{\mathrm{d}t}{t}$. Que vaut $G'(x)$ ?
Réponse : D. $G'(x)=2\times\frac{1}{2x}-1\times\frac{1}{x}=0$ : $G$ est constante, égale à $G(1)=\int_1^2\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln 2$. A oublie le facteur $2$, dérivée de la borne $2x$ ; B donne $G$, pas $G'$.
Question 10 : Que vaut $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_0^x\sqrt{4+t^2}\,\mathrm{d}t$ ?
Réponse : A. Avec $F(x)=\int_0^x\sqrt{4+t^2}\,\mathrm{d}t$, on a $F(0)=0$, donc le quotient est le taux d'accroissement $\frac{F(x)-F(0)}{x-0}$ : il tend vers $F'(0)=\sqrt{4}=2$. B ne regarde que le numérateur, qui tend vers $0$, en oubliant que le dénominateur tend aussi vers $0$.
Question 11 : Soit $F(x)=\int_0^x\sin(t^3)\,\mathrm{d}t$ sur $\mathbb{R}$. Quelle est la parité de $F$ ?
Réponse : C. En posant $t=-u$, $F(-x)=-\int_0^x\sin(-u^3)\,\mathrm{d}u=\int_0^x\sin(u^3)\,\mathrm{d}u=F(x)$. A suppose que $F$ garde la parité de la fonction intégrée : c'est l'inverse, comme $x^2$, primitive paire de la fonction impaire $2x$.
Question 12 : Sur quel ensemble la fonction $F(x)=\int_2^x\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}$ est-elle définie ?
Réponse : B. $F(x)$ exige une intégrande continue, ou continue par morceaux, sur tout le segment entre $2$ et $x$ ; or $t\mapsto\frac{1}{\ln t}$ n'a pas de limite finie en $1$, donc $x$ doit rester du même côté de $1$ que $2$. A est l'ensemble de définition de $t\mapsto\frac{1}{\ln t}$, mais pour $0\lt x\lt 1$, le segment $[x\,;2]$ contient $1$.
Question 13 : Soit $f(t)=0$ pour $t\lt 0$ et $f(t)=1$ pour $t\ge 0$, et $F(x)=\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$. Que dire de $F$ en $0$ ?
Réponse : D. Ici $F(x)=0$ pour $x\le 0$ et $F(x)=x$ pour $x\ge 0$ : $F$ est continue, mais sa dérivée vaut $0$ à gauche et $1$ à droite. B applique $F'(0)=f(0)$, alors que le théorème exige $f$ continue, et $f$ saute en $0$.
Question 14 : Soit $G(x)=\int_0^x x\,e^{t^2}\,\mathrm{d}t$. Que vaut $G'(x)$ ?
Réponse : A. Dans l'intégrale, $x$ est une constante : $G(x)=x\,F(x)$ avec $F(x)=\int_0^x e^{t^2}\,\mathrm{d}t$, donc $G'(x)=F(x)+x\,F'(x)$. B applique le théorème comme si l'intégrande ne dépendait que de $t$ : il oublie la dérivée du facteur $x$.
Sources
Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I (2021), partie « Intégration », paragraphe « Lien entre intégrale et primitive ».