Maîtrise les Intégrales Généralisées : Le Quiz Essentiel

Réponse : C. La fonction $\frac{1}{\sqrt{x}}$ n'est pas définie en $0$ et tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $0$ : il faut passer par une limite. Le piège A fait peur à cause de $\frac{1}{x}$, mais cette fonction est continue sur $[1\,;\,2]$ : l'intégrale est ordinaire.

Réponse : A. On calcule $\int_0^{X} e^{-x}\,dx = \left[-e^{-x}\right]_0^{X} = 1 - e^{-X}$, qui tend vers $1$. Le piège B confond la limite de la fonction, $e^{-x} \to 0$, avec celle de l'intégrale.

Réponse : D. Pour $\alpha \neq 1$, $\int_1^{X} \frac{dx}{x^\alpha} = \frac{X^{1-\alpha} - 1}{1-\alpha}$ a une limite finie seulement si $1 - \alpha < 0$. Le piège A oublie le cas $\alpha = 1$ : on obtient $\ln X$, qui tend vers $+\infty$.

Réponse : B. En $0$, la règle s'inverse : pour $\alpha \neq 1$, $\int_\varepsilon^{1} \frac{dx}{x^\alpha} = \frac{1 - \varepsilon^{1-\alpha}}{1-\alpha}$ a une limite finie quand $\varepsilon \to 0$ seulement si $1 - \alpha > 0$. Le piège A recopie la règle de $+\infty$ ; C oublie que pour $\alpha = 1$, $-\ln \varepsilon$ tend vers $+\infty$.

Réponse : B. Une primitive de $\ln x$ est $x\ln x - x$ (intégration par parties), donc $\int_\varepsilon^{1} \ln x\,dx = -1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon$, qui tend vers $-1$ car $\varepsilon\ln\varepsilon \to 0$. Le piège A : $\ln x$ tend bien vers $-\infty$ en $0$, mais pas assez vite pour faire diverger l'intégrale.

Réponse : D. La référence $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2}$ converge et vaut $1$ : la comparaison donne la convergence et majore la valeur par $1$. Le piège A prend la valeur du majorant pour celle de l'intégrale, qui vaut en fait $\ln 2$.

Réponse : A. En $+\infty$, $\frac{\sqrt{x}}{x^2+1} \sim \frac{x^{1/2}}{x^2} = \frac{1}{x^{3/2}}$ ; la fonction est positive et $\frac{3}{2} > 1$, donc l'intégrale converge. Le piège D oublie le $\sqrt{x}$ du numérateur : la conclusion tombe juste, mais l'équivalent est faux.

Réponse : C. Par croissances comparées, $x^2 e^{-x^2} \to 0$ en $+\infty$, donc $e^{-x^2} = o\left(\frac{1}{x^2}\right)$ : la fonction est positive et $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2}$ converge, donc l'intégrale converge (sur $[0\,;\,1]$, la fonction est continue, rien à vérifier). Le piège D écrit une inégalité fausse sur $]0\,;\,1[$ : là, $x^2 < x$, donc $e^{-x^2} > e^{-x}$. Quant à A, elle ne prouve rien : $\frac{1}{x}$ tend aussi vers $0$, et son intégrale diverge.

Réponse : A. Comme $\left|\frac{\cos x}{x^2}\right| \le \frac{1}{x^2}$ et que $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2}$ converge, l'intégrale converge absolument, donc elle converge. Le piège D est faux, car le quotient des deux fonctions, $\cos x$, ne tend pas vers $1$.

Réponse : D. La fonction s'écrit $\frac{u'}{u}$ avec $u = \ln x$, donc $\int_2^{X} \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln X) - \ln(\ln 2)$, qui tend vers $+\infty$. Le piège A majore par $\frac{1}{x}$, dont l'intégrale diverge : cela ne prouve rien.

Réponse : C. C'est la réciproque de A, et elle est fausse : $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx$ converge, alors que $\int_1^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x}\,dx$ diverge. D est bien vraie : la comparaison de $|f|$ à $g$ donne la convergence absolue, qui entraîne la convergence.

Réponse : B. Les deux bornes posent problème, donc tu coupes en $1$ : $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2}$ converge, mais $\int_0^{1} \frac{dx}{x^2}$ diverge car $2 \ge 1$. Un seul morceau divergent suffit pour que tout diverge ; le piège A ne regarde que la borne $+\infty$.

Réponse : D. Sur $]-\infty\,;\,+\infty[$, chaque moitié doit converger seule. Or $\int_0^{X} \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln(1+X^2)$ tend vers $+\infty$, donc tout diverge. Le piège A : avec un seul $X$, les deux moitiés divergentes se compensent, ce que la définition interdit.

Réponse : A. La fonction n'est pas définie en $0$, à l'intérieur de l'intervalle : tu coupes en $0$, et $\int_0^{1} \frac{dx}{x^2}$ diverge (Riemann, $2 \ge 1$), donc tout diverge. Le piège B recopie le calcul, alors que $-2$ aurait dû alerter : une fonction positive n'a pas d'intégrale négative.