Maîtrise les Intégrales Généralisées : Le Quiz Essentiel

Réponse : A. Une intégrale généralisée de type 1, comme $\int_a^{+\infty} f(x) dx$, est définie comme $\lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) dx$. L'option B décrit plutôt une intégrale généralisée de type 2, et les options C et D sont incorrectes par définition.

Réponse : C. C'est un résultat fondamental : l'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$ converge si et seulement si $\alpha > 1$. Pour $\alpha=1$, on obtient $\ln(x)$ qui tend vers l'infini. Pour $\alpha < 1$, la fonction est "trop grande" en l'infini pour converger.

Réponse : B. L'intégrale $\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx$ converge si et seulement si $\alpha < 1$. Lorsque $\alpha \geq 1$, la fonction est "trop grande" près de 0 pour que l'intégrale converge. La primitive est $\frac{x^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}$ pour $\alpha \neq 1$. Si $\alpha=1$, c'est $\ln(x)$ qui diverge en 0.

Réponse : D. Pour les fonctions positives, les critères de comparaison sont des outils puissants. Si $0 \le f(x) \le g(x)$ et $\int g(x) dx$ converge, alors $\int f(x) dx$ converge. Si $\int f(x) dx$ diverge et $0 \le g(x) \le f(x)$, alors $\int g(x) dx$ diverge. Les autres options ne correspondent pas aux méthodes standards.

Réponse : A. $\int_0^{+\infty} e^{-x} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_0^b e^{-x} dx = \lim_{b \to +\infty} [-e^{-x}]_0^b = \lim_{b \to +\infty} (-e^{-b} - (-e^0)) = \lim_{b \to +\infty} (1 - e^{-b}) = 1 - 0 = 1$. L'intégrale converge donc vers 1.

Réponse : D. L'intégrale est généralisée car la fonction $f(x) = 1/x$ présente une singularité en $x=0$, qui est la borne inférieure de l'intégration. Elle tend vers $+\infty$ quand $x \to 0^+$. C'est une intégrale généralisée de type 2.

Réponse : B. La formule de Stirling donne une approximation de la fonction Gamma pour de grandes valeurs de $z$ (positive). Elle est cruciale en probabilités et en physique statistique, et montre que la fonction Gamma est bien définie pour $z>0$ (où l'intégrale converge).

Réponse : A. On peut calculer $\int_0^1 \ln(x) dx = \lim_{a \to 0^+} \int_a^1 \ln(x) dx$. En intégrant par parties, on obtient $[x\ln(x) - x]_a^1 = (1\ln(1) - 1) - (a\ln(a) - a) = -1 - a\ln(a) + a$. Comme $\lim_{a \to 0^+} a\ln(a) = 0$ et $\lim_{a \to 0^+} a = 0$, la limite est -1. L'intégrale converge donc vers -1.

Réponse : C. Si $f(x) \sim g(x)$ pour $x \to +\infty$ (c'est-à-dire $\frac{f(x)}{g(x)} \to 1$) et que $f$ et $g$ sont positives, alors $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ et $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ ont la même nature (toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes). C'est le critère d'équivalence.

Réponse : D. La fonction $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ tend vers $+\infty$ lorsque $x \to 0^+$. Comme $x=0$ est la borne inférieure de l'intégration, cette intégrale est généralisée de type 2. Les autres sont des intégrales définies ordinaires.

Réponse : C. L'intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$ converge (sa valeur est $\pi/2$), mais l'intégrale de sa valeur absolue $\int_0^{+\infty} \left|\frac{\sin(x)}{x}\right| dx$ diverge. On dit donc qu'elle est simplement convergente. Une intégrale absolument convergente est nécessairement convergente.

Réponse : A. La primitive de $\frac{1}{x \ln(x)}$ est $\ln(\ln(x))$. Donc $\int_2^{b} \frac{1}{x \ln(x)} dx = [\ln(\ln(x))]_2^b = \ln(\ln(b)) - \ln(\ln(2))$. Quand $b \to +\infty$, $\ln(b) \to +\infty$, donc $\ln(\ln(b)) \to +\infty$. L'intégrale diverge.

Réponse : B. La primitive de $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ est $\arcsin(x)$. Donc $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \lim_{b \to 1^-} [\arcsin(x)]_0^b = \lim_{b \to 1^-} (\arcsin(b) - \arcsin(0)) = \arcsin(1) - 0 = \frac{\pi}{2}$. L'intégrale converge vers $\pi/2$.

Réponse : A. Par définition, une intégrale $\int f(x) dx$ est absolument convergente si $\int |f(x)| dx$ converge. Si $\int |f(x)| dx$ converge, alors $\int f(x) dx$ converge nécessairement. C'est une propriété fondamentale des intégrales.