L'essentiel à connaître
Pour une variable $X$ à densité, une probabilité est une aire : $P(a\le{X}\le{b})=\int_a^b{f(x)\,dx}=F(b)-F(a)$, où la densité $f$ est une fonction positive d'aire totale $1$ et $F(x)=P(X\le{x})$ la fonction de répartition. Pour la loi exponentielle, tout part de $P(X>t)=e^{-\lambda{t}}$ ; pour la loi normale, tout se ramène à $\mathcal{N}(0\,;\,1)$ en posant $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$. Exemple : si $X$ suit $\mathcal{N}(20\,;\,9)$ (espérance $20$, variance $9$), alors $\sigma=3$ et $P(X\le26)=P(Z\le2)\approx0{,}9772$.
L'aire au-dessus d'un seul point est nulle : $P(X=a)=0$, donc $P(X<a)=P(X\le{a})$. La valeur $f(x)$ n'est pas une probabilité, et une densité peut dépasser $1$. La médiane est le réel $m$ tel que $F(m)=\frac{1}{2}$.
Formule : $X$ suit la loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$, avec $\lambda>0$, si sa densité vaut $f(x)=\lambda{e^{-\lambda{x}}}$ pour $x\ge0$ et $0$ sinon. Pour $t\ge0$, $F(t)=1-e^{-\lambda{t}}$ ; $E(X)=\frac{1}{\lambda}$ et $V(X)=\frac{1}{\lambda^2}$. Elle est sans mémoire : $P(X>s+t\mid{X>s})=P(X>t)$ pour $s\ge0$ et $t\ge0$ (avoir déjà duré $s$ ne change rien à la suite).
Propriété : dans $\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma^2)$, $\mu$ est l'espérance et le second paramètre est la variance, pas l'écart-type $\sigma$. Si $X$ suit $\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma^2)$ et $a\neq0$, alors $aX+b$ suit $\mathcal{N}(a\mu+b\,;\,a^2\sigma^2)$. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, de lois $\mathcal{N}(\mu_1\,;\,\sigma_1^2)$ et $\mathcal{N}(\mu_2\,;\,\sigma_2^2)$, alors $X+Y$ suit $\mathcal{N}(\mu_1+\mu_2\,;\,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$ : les variances s'ajoutent, pas les écarts-types.
À retenir : on note $\Phi(z)=P(Z\le{z})$ quand $Z$ suit $\mathcal{N}(0\,;\,1)$. Sa densité est symétrique autour de $0$, d'où $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ et $P(-a\le{Z}\le{a})=2\Phi(a)-1$. D'après la table du NIST, $\Phi(1)\approx0{,}8413$, $\Phi(1{,}645)\approx0{,}95$, $\Phi(1{,}96)\approx0{,}975$ et $\Phi(2)\approx0{,}9772$.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : $X$ a pour densité $f$ et pour fonction de répartition $F$. Que vaut $P(X=2)$ ?
Réponse : B. L'aire au-dessus d'un seul point est nulle : $P(X=2)=\int_2^2{f(x)\,dx}=0$. Le piège, $f(2)$, est une valeur de la densité, pas une probabilité.
Question 2 : Avec les mêmes notations et $a<b$, que vaut $P(a\le{X}\le{b})$ ?
Réponse : D. $P(a\le{X}\le{b})=P(X\le{b})-P(X<a)=F(b)-F(a)$. La proposition C garde un réflexe des lois discrètes, où l'on rajoute $P(X=a)$ : ici cette probabilité est nulle, et elle ne vaut pas $f(a)$.
Question 3 : $X$ suit la loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. Que valent son espérance et sa variance ?
Réponse : C. Une intégration par parties donne $E(X)=\frac{1}{\lambda}$ et $V(X)=\frac{1}{\lambda^2}$, donc l'écart-type vaut $\frac{1}{\lambda}$. La proposition B prend cet écart-type pour la variance ; A vaut pour la loi de Poisson, qui est discrète.
Question 4 : $X$ suit $\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma^2)$, avec $\sigma>0$. Quelle variable suit $\mathcal{N}(0\,;\,1)$ ?
Réponse : A. On centre (on retire l'espérance $\mu$), puis on réduit (on divise par l'écart-type $\sigma$) : $\frac{X-\mu}{\sigma}$ a pour espérance $0$ et pour variance $1$. Diviser par $\sigma^2$, comme en B, donne une variance égale à $\frac{1}{\sigma^2}$.
Question 5 : $Z$ suit $\mathcal{N}(0\,;\,1)$ et $\Phi(1)\approx0{,}8413$. Que vaut environ $P(Z\le-1)$ ?
Réponse : C. Par symétrie, $P(Z\le-1)=P(Z\ge1)=1-\Phi(1)\approx0{,}1587$. Le piège, $0{,}8413$, est $P(Z\le1)$ : le signe moins fait passer de l'autre côté de $0$.
Question 6 : $X$ suit $\mathcal{E}(2)$. Que vaut $P(X>1)$ ?
Réponse : B. $P(X>t)=e^{-\lambda{t}}$, ici $e^{-2\times1}=e^{-2}\approx0{,}135$. La proposition A est $P(X\le1)$, et C la densité $f(1)$, qui n'est pas une probabilité.
Question 7 : La durée de vie $X$ d'un composant, en heures, suit une loi exponentielle d'espérance $200$ heures. Que vaut $P(X>200)$ ?
Réponse : D. $\frac{1}{\lambda}=200$ donne $\lambda=0{,}005$ par heure, puis $P(X>200)=e^{-0{,}005\times200}=e^{-1}\approx0{,}37$. Le piège, $0{,}5$, confond espérance et médiane : la densité exponentielle n'est pas symétrique.
Question 8 : $X$ suit $\mathcal{N}(10\,;\,4)$ et $Y=3X-5$. Quelle est la loi de $Y$ ?
Réponse : C. $E(Y)=3\times10-5=25$ et $V(Y)=3^2\times4=36$ : la constante $-5$ ne change pas la variance. La proposition A oublie de mettre $3$ au carré, et D donne l'écart-type $6$ au lieu de la variance.
Question 9 : $Z$ suit $\mathcal{N}(0\,;\,1)$. Que vaut environ $P(-1{,}96\le{Z}\le1{,}96)$ ?
Réponse : D. $P(-a\le{Z}\le{a})=2\Phi(a)-1$, soit $2\times0{,}975-1=0{,}95$. La proposition A est $P(Z\le1{,}96)$ : il fallait encore retirer la partie à gauche de $-1{,}96$.
Question 10 : $X$ suit $\mathcal{E}(\lambda)$. Que vaut $P(X>5\mid{X>3})$ ?
Réponse : A. L'événement $X>5$ est inclus dans $X>3$, donc $P(X>5\mid{X>3})=\frac{P(X>5)}{P(X>3)}=\frac{e^{-5\lambda}}{e^{-3\lambda}}=e^{-2\lambda}$, soit $P(X>2)$ : c'est l'absence de mémoire. Répondre $e^{-5\lambda}$, c'est oublier la condition.
Question 11 : $X$ suit $\mathcal{E}(4)$, de densité $f$. Que vaut $f(0)$ ?
Réponse : C. $f(x)=4e^{-4x}$ pour $x\ge0$, donc $f(0)=4e^{0}=4$. Répondre $1$, c'est oublier le facteur $\lambda$ ou croire qu'une densité reste sous $1$ : seule l'aire sous la courbe est une probabilité.
Question 12 : $X$ suit $\mathcal{E}(\lambda)$. Que vaut sa médiane $m$, le réel tel que $P(X\le{m})=\frac{1}{2}$ ?
Réponse : B. $1-e^{-\lambda{m}}=\frac{1}{2}$ donne $e^{-\lambda{m}}=\frac{1}{2}$, puis $\lambda{m}=\ln2$, soit $m=\frac{\ln2}{\lambda}$. La proposition A est l'espérance, plus grande ici car $\ln2\approx0{,}69<1$.
Question 13 : $X$ suit $\mathcal{N}(50\,;\,25)$. Que vaut environ $P(X\le60)$ ?
Réponse : D. Le second paramètre est la variance, donc $\sigma=5$ et $P(X\le60)=\Phi\left(\frac{60-50}{5}\right)=\Phi(2)\approx0{,}9772$. La proposition A divise par la variance : $\frac{60-50}{25}=0{,}4$ et $\Phi(0{,}4)\approx0{,}6554$.
Question 14 : $Z$ suit $\mathcal{N}(0\,;\,1)$. Que vaut environ le réel $z$ tel que $P(Z\le{z})=0{,}95$ ?
Réponse : B. On cherche $z$ tel que $\Phi(z)=0{,}95$, et la table donne $\Phi(1{,}645)\approx0{,}95$. Le piège, $1{,}96$, vaut pour l'intervalle centré : $P(-1{,}96\le{Z}\le1{,}96)\approx0{,}95$. Ici, on ne coupe que d'un côté.
Question 15 : $X$ suit $\mathcal{N}(1\,;\,9)$, $Y$ suit $\mathcal{N}(2\,;\,16)$, et $X$ et $Y$ sont indépendantes. Quelle est la loi de $X+Y$ ?
Réponse : A. Pour des variables indépendantes, les variances s'ajoutent : $9+16=25$, donc $X+Y$ suit $\mathcal{N}(3\,;\,25)$, d'écart-type $5$. La proposition B additionne les écarts-types, $3+4=7$, puis élève au carré.
Sources
Table de $\Phi$ : NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.6.7.1 (en anglais), qui donne l'aire entre $0$ et $z$, soit $\Phi(z)-0{,}5$.
Loi exponentielle : même ouvrage, section 1.3.6.6.7 (en anglais), avec $\beta=\frac{1}{\lambda}$.