L'essentiel à connaître
Pour appliquer les matrices, tu traduis la situation en un produit de matrices, puis tu calcules : un inverse pour résoudre, une puissance pour répéter une étape. Exemple : le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$ s'écrit $AX = B$ avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$. Comme $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, tu obtiens $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, donc $x = 2$ et $y = 1$.
L'inverse vérifie $AA^{-1} = A^{-1}A = I_2$, la matrice identité ($1$ sur la diagonale, $0$ ailleurs). Le produit se calcule ligne par colonne et n'est pas commutatif : le côté où tu multiplies compte. Si $AX = B$, alors $X = A^{-1}B$ ; si $XA = B$, alors $X = BA^{-1}$. Quand $\det A = 0$, $A$ n'a pas d'inverse et le système $AX = B$ n'a jamais une solution unique : il n'en a aucune, ou il en a une infinité.
Formule : si $ad - bc \neq 0$, alors $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
La matrice d'une application linéaire du plan (une transformation qui respecte les sommes de vecteurs et les produits par un réel, comme une rotation de centre $O$) se lit en colonnes : la première est l'image de $e_1 = (1\,;\,0)$, la seconde celle de $e_2 = (0\,;\,1)$. Dans un repère orthonormé direct, la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ a ainsi pour matrice $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$. Appliquer $f$ puis $g$, de matrices $F$ et $G$, revient à multiplier par $GF$ : la transformation appliquée en premier se place à droite. Pour les puissances, une matrice diagonale s'élève coefficient par coefficient, et si $A = PDP^{-1}$, alors $A^n = PD^nP^{-1}$.
| Situation | Écriture | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|---|
| Système linéaire | $AX = B$ | une équation par ligne de $A$ |
| Transformation du plan | $X' = AX$ | les colonnes de $A$ sont les images de $e_1$ et $e_2$ |
| Suite récurrente | $U_{n+1} = AU_n$ | $U_n = A^nU_0$ |
| Graphe orienté | matrice d'adjacence $M$ : $m_{ij} = 1$ s'il existe un arc de $i$ vers $j$, $0$ sinon | le coefficient ligne $i$, colonne $j$ de $M^n$ compte les chemins de $n$ arcs allant de $i$ à $j$ |
| Chaîne de Markov | $\pi_{n+1} = \pi_nP$ | $\pi_n = \pi_0P^n$ |
Dans une chaîne de Markov (un système qui change d'état au hasard, la probabilité de l'état suivant ne dépendant que de l'état présent), $p_{ij}$ est la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$, et chaque ligne de $P$ a pour somme $1$. La distribution $\pi_n$ (les probabilités d'être dans chaque état après $n$ transitions) s'écrit en ligne, comme dans le programme de mathématiques expertes de terminale, d'où le produit $\pi_nP$ dans cet ordre. Une distribution invariante vérifie $\pi P = \pi$, avec des coefficients de somme $1$.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Le système $\begin{cases} 3x - y = 4 \\ x + 2y = 6 \end{cases}$ s'écrit $AX = B$, avec $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Quelle est la matrice $A$ ?
Réponse : B. Chaque ligne de $A$ reprend une équation : le coefficient de $x$, puis celui de $y$, soit $3$ et $-1$, puis $1$ et $2$. Le piège A range les équations en colonnes : $AX$ commencerait alors par $3x + y$, qui n'est pas la première équation.
Question 2 : Un graphe orienté a pour sommets $1$, $2$, $3$ et pour arcs $1 \to 2$, $1 \to 3$, $2 \to 3$ et $3 \to 1$. Quelle est la deuxième ligne de sa matrice d'adjacence $M$ ?
Réponse : D. La ligne 2 recense les arcs qui partent du sommet 2 : il n'y en a qu'un, vers 3. Le piège A recense les arcs qui arrivent en 2 : c'est la deuxième colonne de $M$, pas sa deuxième ligne.
Question 3 : Dans un repère orthonormé direct, la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ a pour matrice $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Quelle est l'image du point de coordonnées $(3\,;\,1)$ ?
Réponse : C. On multiplie $R$ par la colonne $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $0 \times 3 + (-1) \times 1 = -1$, puis $1 \times 3 + 0 \times 1 = 3$. Le piège A vient d'un produit fait avec les colonnes de $R$ au lieu de ses lignes : il donne la rotation d'angle $-\frac{\pi}{2}$.
Question 4 : Une suite de matrices colonnes vérifie $U_{n+1} = AU_n$ pour tout entier naturel $n$, avec $A$ carrée. Que vaut $U_n$ ?
Réponse : A. $U_1 = AU_0$, puis $U_2 = AU_1 = A^2U_0$ : chaque étape ajoute un facteur $A$ à gauche. Le piège C change de côté, et le produit $U_0A^n$ n'existe même pas : $U_0$ a une seule colonne, alors que $A^n$ a plusieurs lignes.
Question 5 : Quelle est la matrice inverse de $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, la matrice de la question 1 ?
Réponse : C. $\det A = 3 \times 2 - (-1) \times 1 = 7$ ; on échange ensuite $3$ et $2$, et on change le signe des deux autres coefficients. Le piège B calcule $6 - 1 = 5$ : le signe de $-1$ s'est perdu en route. Tu peux vérifier que $AA^{-1} = I_2$.
Question 6 : Une application linéaire $f$ du plan envoie $e_1 = (1\,;\,0)$ sur $(2\,;\,1)$ et $e_2 = (0\,;\,1)$ sur $(-1\,;\,3)$. Quelle est sa matrice ?
Réponse : B. La première colonne est l'image de $e_1$, la seconde celle de $e_2$. Le piège A range les images en lignes et donne la transposée. Retiens le contraste avec la question 1 : une équation remplit une ligne, une image remplit une colonne.
Question 7 : Une chaîne de Markov à deux états a pour matrice de transition $P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$. On part de l'état 1, soit $\pi_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$. Quelle est la distribution $\pi_2$ après deux transitions ?
Réponse : A. $\pi_1 = \pi_0P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}$, puis $\pi_2 = \pi_1P$ : $0{,}8 \times 0{,}8 + 0{,}2 \times 0{,}4 = 0{,}72$ et $0{,}8 \times 0{,}2 + 0{,}2 \times 0{,}6 = 0{,}28$. Le piège D lit une colonne de $P^2$ au lieu d'une ligne : ses coefficients ont pour somme $1{,}28$, impossible pour une distribution.
Question 8 : Avec la matrice de rotation $R$ de la question 3, que vaut $R^4$ ?
Réponse : D. $R^4$ enchaîne quatre quarts de tour, soit un tour complet : chaque point revient à sa place. Le calcul le confirme : $R^2 = -I_2$, donc $R^4 = (-I_2)^2 = I_2$. Le piège A s'arrête à $R^2$, le demi-tour.
Question 9 : Pour le graphe de la question 2, $M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Combien de chemins de 3 arcs vont du sommet 1 au sommet 1 ?
Réponse : B. Ce nombre est le coefficient ligne 1, colonne 1 de $M^3 = M^2M$ : $1 \times 0 + 0 \times 0 + 1 \times 1 = 1$, c'est le chemin $1 \to 2 \to 3 \to 1$. Le piège D compte les trois chemins de 3 arcs qui partent de 1, sans regarder où ils arrivent.
Question 10 : La matrice $A$ est inversible et la matrice inconnue $X$ vérifie $XA = B$. Que vaut $X$ ?
Réponse : A. On multiplie les deux membres à droite par $A^{-1}$ : $XAA^{-1} = BA^{-1}$, donc $X = BA^{-1}$. Le piège C multiplie à gauche, ce qui donne $A^{-1}XA$ et non $X$ : le produit n'étant pas commutatif, le côté compte.
Question 11 : On sait que $A = PDP^{-1}$, avec $P$ inversible et $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$. Que vaut $A^n$ ?
Réponse : A. Dans $A^2 = PDP^{-1}PDP^{-1}$, le produit $P^{-1}P$ du milieu vaut $I_2$, donc $A^2 = PD^2P^{-1}$, et de même $A^n = PD^nP^{-1}$, avec $D^n$ calculée coefficient par coefficient. Le piège B oublie $P$ et $P^{-1}$ : $A$ et $D$ ne sont pas la même matrice.
Question 12 : La symétrie par rapport à l'axe des abscisses a pour matrice $S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, et $R$ est la rotation de la question 3. On applique d'abord la symétrie, puis la rotation. Quelle matrice représente la transformation obtenue ?
Réponse : D. Le point $X$ devient $SX$, puis $R(SX) = (RS)X$ : la transformation appliquée en premier se place à droite, et $RS = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Le piège A calcule $SR$, qui fait tourner avant de symétriser : le point $(1\,;\,0)$ arriverait en $(0\,;\,-1)$ au lieu de $(0\,;\,1)$.
Question 13 : Pour la chaîne de Markov de la question 7, quelle est la distribution invariante $\pi$, celle qui vérifie $\pi P = \pi$ ?
Réponse : B. Avec $\pi = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$, la première coordonnée de $\pi P = \pi$ donne $0{,}8a + 0{,}4b = a$, soit $a = 2b$, puis $a + b = 1$ donne $b = \frac{1}{3}$. Le piège A résout $PX = X$ avec $X$ en colonne, alors que ce sont les lignes de $P$ qui ont pour somme $1$ : la distribution se place à gauche de $P$, en ligne. La proposition D oublie que les coefficients doivent avoir pour somme $1$.
Question 14 : Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, on a $\det A = 0$. Que dire du système $AX = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ ?
Réponse : C. La seconde équation, $2x + 4y = 6$, est le double de la première, $x + 2y = 3$ : tous les couples $(3 - 2y\,;\,y)$ conviennent. Le piège A confond « pas d'inverse » et « pas de solution » : sans inverse, le système n'a aucune solution ou en a une infinité, selon le second membre. B et D sont bien des solutions, mais pas les seules.
Sources
Ministère de l'Éducation nationale, programme de l'enseignement optionnel de mathématiques expertes de terminale générale, partie « Graphes et matrices » : texte du programme sur eduscol.