Plonge dans la Combinatoire : Dénombrement Avancé

Réponse : A. C'est un problème d'arrangement avec répétition. Pour chaque position de lettre dans le mot de 5 lettres, il y a 26 choix possibles indépendamment des autres positions. Donc, le nombre total de mots est $26 \times 26 \times 26 \times 26 \times 26 = 26^5$. Les autres options correspondent à d'autres types de dénombrement (permutation simple, arrangement sans répétition, combinaison).

Réponse : C. Comme l'ordre n'a pas d'importance, il s'agit d'une combinaison. On choisit 3 personnes parmi 10. La formule pour les combinaisons est $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Donc ici, $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}$. L'option D représente les permutations (où l'ordre compte).

Réponse : D. Pour chaque position du code PIN à 4 chiffres, il y a 10 choix possibles (les chiffres de 0 à 9). Comme les répétitions sont autorisées et que l'ordre compte, on a $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4$ possibilités. C'est un arrangement avec répétition.

Réponse : A. Il s'agit d'une permutation avec répétitions. Si toutes les boules étaient distinctes, il y aurait $10!$ arrangements. Cependant, comme les boules de même couleur sont indiscernables, nous devons diviser par le nombre de permutations internes pour chaque couleur. La formule est $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$, où $n$ est le nombre total d'objets et $n_i$ est le nombre d'objets identiques de type $i$. Ici, $\frac{10!}{5!3!2!}$.

Réponse : B. C'est un problème classique de "stars and bars" pour les solutions entières positives. L'équation $x_1 + x_2 + \dots + x_k = n$ a $\binom{n-1}{k-1}$ solutions entières positives. Ici, $n=10$ et $k=3$. Donc, le nombre de solutions est $\binom{10-1}{3-1} = \binom{9}{2}$. Si on demandait des solutions entières non-négatives, ce serait $\binom{n+k-1}{k-1}$ ou $\binom{n+k-1}{n}$.

Réponse : D. On utilise le principe d'inclusion-exclusion pour deux ensembles : $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$. On cherche $|A \cap B|$. Donc, $|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 30 + 25 - 45 = 55 - 45 = 10$. Il y a 10 étudiants inscrits aux deux cours.

Réponse : C. Il s'agit d'un arrangement sans répétition. On choisit 3 chiffres parmi 5, et l'ordre compte (un nombre de 3 chiffres est différent selon l'ordre des chiffres). Le nombre de permutations de $k$ éléments choisis parmi $n$ est $P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$. Ici, $P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$. L'option A est une combinaison, l'option B est un arrangement avec répétition, et l'option D est une permutation de tous les éléments.

Réponse : A. C'est un problème de combinaison avec répétition. On distribue $n=7$ objets identiques à $k=4$ recipients. Le nombre de façons est donné par $\binom{n+k-1}{k-1}$. Ici, $\binom{7+4-1}{4-1} = \binom{10}{3}$. On peut aussi le voir comme le problème du nombre de solutions entières non-négatives de $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7$, qui est $\binom{7+4-1}{4-1} = \binom{10}{3}$.

Réponse : D. L'ordre compte car les postes sont distincts (président, vice-président, trésorier). De plus, les personnes ne peuvent pas être choisies plusieurs fois (une personne ne peut occuper qu'un seul poste). Il s'agit donc d'une permutation sans répétition. On choisit 3 personnes parmi 20 et on les arrange dans les 3 postes : $P(20, 3) = \frac{20!}{(20-3)!} = 20 \times 19 \times 18$. L'option C est également correcte car elle représente le même calcul : 20 choix pour le président, 19 pour le vice-président, 18 pour le trésorier.

Réponse : B. C'est un problème plus complexe car les lettres ne sont pas toutes distinctes et on forme un mot plus court que le mot d'origine. Il faut donc considérer les cas de composition des lettres dans le mot de 4 lettres : 1. 3 A, 1 N : $\frac{4!}{3!1!} = 4$ mots. 2. 3 A, 1 S : $\frac{4!}{3!1!} = 4$ mots. 3. 2 A, 2 N : $\frac{4!}{2!2!} = 6$ mots. 4. 2 A, 1 N, 1 S : $\frac{4!}{2!1!1!} = 12$ mots. Total : $4 + 4 + 6 + 12 = 26$ mots. L'option B indique la nécessité de considérer les cas, ce qui est la bonne approche.

Réponse : A. Une poignée de main implique deux personnes. L'ordre dans lequel les deux personnes se serrent la main n'a pas d'importance (la poignée de main entre A et B est la même que celle entre B et A). Il s'agit donc de choisir 2 personnes parmi 10. Le nombre de façons est $\binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$. L'option B correspondrait à un scénario où l'ordre compterait ou où l'on compterait les poignées de main d'une personne vers les autres (avec répétition ou non).

Réponse : C. Le nombre total d'applications de $\{1, 2, 3, 4\}$ vers $\{a, b\}$ est $2^4$ (chaque élément de l'ensemble de départ a 2 choix dans l'ensemble d'arrivée). Pour avoir une surjection, il faut que tous les éléments de l'ensemble d'arrivée soient atteints. Les applications qui ne sont pas des surjections sont celles qui n'atteignent que $a$, ou celles qui n'atteignent que $b$. Il y a 1 application qui n'atteint que $a$ (tous les éléments sont envoyés sur $a$), et 1 application qui n'atteint que $b$. Donc, le nombre de surjections est $2^4 - 2 = 16 - 2 = 14$. La formule générale pour le nombre de surjections de $A$ vers $B$ est $k! S(n, k)$, où $S(n, k)$ sont les nombres de Stirling de seconde espèce. Ici, $k=2$, $n=4$, et $S(4, 2) = 7$. Donc $2! \times 7 = 14$. Une autre formule est $\sum_{i=0}^k (-1)^i \binom{k}{i} (k-i)^n$. Pour $k=2, n=4$: $\binom{2}{0}(2-0)^4 - \binom{2}{1}(2-1)^4 + \binom{2}{2}(2-2)^4 = 1 \times 16 - 2 \times 1 + 1 \times 0 = 16 - 2 = 14$. L'option C est donc la bonne réponse basée sur le calcul total moins les cas non-surjectifs.

Réponse : A. Il s'agit d'une permutation simple. On utilise les 5 lettres disponibles pour former un mot de 5 lettres, et chaque lettre doit apparaître exactement une fois. C'est le nombre d'arrangements de 5 éléments distincts, soit $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. L'option B est un arrangement avec répétition. L'option C est 1, ce qui serait le nombre de façons de choisir 5 éléments parmi 5 sans ordre.

Réponse : C. Pour former le comité, nous devons choisir 2 hommes parmi les 6 disponibles ET choisir 2 femmes parmi les 5 disponibles. Le nombre de façons de choisir les hommes est $\binom{6}{2}$. Le nombre de façons de choisir les femmes est $\binom{5}{2}$. Puisque ces deux choix sont indépendants et que les deux doivent être réalisés, on multiplie les résultats : $\binom{6}{2} \times \binom{5}{2}$. L'option A est le nombre total de façons de choisir 4 personnes parmi 11 sans restriction. L'option B additionne les nombres de combinaisons, ce qui n'est pas correct car les deux conditions doivent être remplies simultanément.

Réponse : D. Le nombre total de mots de 4 lettres sans répétition à partir de {A, B, C, D, E} est $P(5,4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$. Soit $U$ l'ensemble de tous ces mots. $|U| = P(5,4)$. Soit $P_A$ la propriété "le mot commence par A". Soit $P_E$ la propriété "le mot contient E". Nous voulons calculer le nombre de mots qui ne commencent PAS par A ET ne contiennent PAS E. C'est $N(\overline{P_A} \cap \overline{P_E})$. Par le principe d'inclusion-exclusion, ceci est $|U| - N(P_A) - N(P_E) + N(P_A \cap P_E)$. Calculons :

• $|U| = P(5,4) = 120$.
• $N(P_A)$: mots commençant par A. Le premier est fixé (A). Il reste 4 lettres pour 3 places : $P(4,3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$.
• $N(P_E)$: mots contenant E. Il est plus simple de calculer ceux qui NE contiennent PAS E. Les lettres disponibles sont {A, B, C, D}. On forme un mot de 4 lettres avec ces 4 lettres : $P(4,4) = 4! = 24$. Donc $N(\overline{P_E}) = 24$.
• $N(\overline{P_A} \cap \overline{P_E})$: mots qui ne commencent PAS par A et ne contiennent PAS E. Les lettres disponibles sont {B, C, D}. On doit former un mot de 4 lettres. Ceci est impossible avec seulement 3 lettres.