L'essentiel à connaître
Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon. Mathématiquement, une fonction f est continue en un point "a" si la limite de f(x) quand x tend vers "a" est égale à f(a). Cette notion est fondamentale car la plupart des théorèmes de l'analyse (dérivabilité, intégration, TVI) exigent que la fonction soit continue au préalable. Les fonctions usuelles (polynômes, sinus, cosinus, exponentielle, ln) sont toutes continues sur leurs intervalles de définition.
Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) stipule que si une fonction f est continue sur un intervalle [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c appartenant à [a ; b] tel que f(c) = k. En d'autres termes, la fonction passe par toutes les valeurs intermédiaires entre les images des bornes de l'intervalle.
Définition : f est continue sur I si elle est continue en tout point x de I. La continuité est une condition nécessaire (mais pas suffisante) pour la dérivabilité.
À retenir : Le TVI garantit l'existence d'une solution, mais il ne donne pas sa valeur exacte. Il permet de transformer un problème d'analyse en un problème d'existence.
Les points clés
Le corollaire du TVI (souvent appelé théorème de la bijection) est la version la plus utilisée en exercice. Si f est continue ET strictement monotone (croissante ou décroissante) sur [a ; b], alors pour tout k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k possèd'une UNIQUE solution dans [a ; b]. La monotonie stricte est ce qui garantit l'unicité de la solution. Dans une rédaction, il est impératif de citer ces trois conditions : continuité, stricte monotonie, et le fait que k soit dans l'intervalle image.
Attention aux pièges sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts. Si l'intervalle est ]a ; b[, on utilise les limites de la fonction aux bornes pour vérifier si k appartient à l'intervalle image. De plus, n'oublie pas qu'une fonction peut être continue sans être dérivable (comme la fonction valeur absolue en 0), mais une fonction dérivable est forcément continue.
Formule : f(x) = k admet une unique solution si f est continue et strictement monotone sur [a;b] et k ∈ [f(a); f(b)].
Piège classique : Utiliser le TVI pour conclure à l'unicité d'une solution sans avoir prouvé la stricte monotonie de la fonction.
Quiz : Teste tes connaissances
Question 1 : Graphiquement, une fonction continue est une fonction dont la courbe :
Réponse : A. La continuité signifie qu'il n'y a pas d'interruption dans le tracé. Les autres options sont des propriétés spécifiques qui ne s'appliquent pas à toutes les fonctions continues.
Question 2 : Laquelle de ces fonctions n'est PAS continue sur R ?
Réponse : B. La fonction inverse n'est pas définie en 0, elle présente donc une cassure infinie en ce point. Elle n'est continue que sur ]-∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ séparément.
Question 3 : Quelle est la condition indispensable pour appliquer le TVI sur [a;b] ?
Réponse : C. Sans continuité, la fonction pourrait "sauter" par-dessus la valeur k sans jamais l'atteindre. C'est l'hypothèse de base du théorème.
Question 4 : Le TVI permet de prouver :
Réponse : D. C'est un théorème d'existence. Il affirme qu'il y a "au moins une" solution, mais ne permet pas de la calculer précisément sans méthode supplémentaire (balayage, dichotomie).
Question 5 : Pour prouver l'UNICITÉ d'une solution f(x)=k, quelle condition faut-il ajouter ?
Réponse : B. Si la fonction monte sans jamais redescendre (ou inversement), elle ne peut passer qu'une seule fois par la valeur k.
Question 6 : Si f est continue sur [0;2], f(0)=-1 et f(2)=5. L'équation f(x)=0 admet-elle une solution ?
Réponse : A. Puisque 0 est compris entre -1 et 5, et que f est continue, la courbe doit forcément couper l'axe des abscisses (y=0) au moins une fois entre 0 et 2.
Question 7 : Toute fonction dérivable sur I est-elle continue sur I ?
Réponse : C. C'est un théorème du cours : la dérivabilité est une propriété plus forte qui implique nécessairement la continuité. L'inverse n'est pas vrai.
Question 8 : Que se passe-t-il si f n'est pas monotone sur [a;b] ?
Réponse : D. Le TVI s'applique toujours (existence), mais on perd la garantie de l'unicité. La fonction peut "osciller" et passer plusieurs fois par k.
Question 9 : Sur l'intervalle ]0 ; +∞[, l'image de la fonction ln est :
Réponse : B. La fonction ln est continue et strictement croissante de -∞ vers +∞. Elle prend donc toutes les valeurs réelles possibles.
Question 10 : La fonction valeur absolue f(x) = |x| est-elle continue en 0 ?
Réponse : A. Elle est continue en 0 car lim x->0 |x| = 0 = f(0). En revanche, elle n'est pas dérivable en 0 (elle présente un point anguleux).
Question 11 : On cherche à résoudre f(x)=3. On sait que le maximum de f est 2. Alors :
Réponse : D. Si le maximum est 2, la fonction ne peut jamais atteindre la valeur 3. Le TVI nous dit que k doit être entre les valeurs atteintes par la fonction.
Question 12 : La méthode de dichotomie permet de :
Réponse : C. C'est un algorithme qui réduit de moitié l'intervalle de recherche à chaque étape pour encadrer la solution garantie par le TVI.
Question 13 : Si f est continue sur [a;b], alors l'image de [a;b] par f est :
Réponse : A. L'image d'un intervalle fermé par une fonction continue est un intervalle fermé dont les bornes sont le minimum et le maximum de la fonction sur cet intervalle.
Question 14 : Une fonction qui fait un "saut" en x=1 :
Réponse : B. Le "saut" signifie que la limite à gauche est différente de la limite à droite ou de la valeur f(1), ce qui définit la discontinuité.
Question 15 : Pour f(x) = x³ + x + 1, combien de solutions possède f(x) = 0 sur R ?
Réponse : C. f est un polynôme (continue), sa dérivée f'(x)=3x²+1 est toujours strictement positive (strictement croissante). Ses limites en -∞ et +∞ sont -∞ et +∞. Par le corollaire du TVI, il y a une solution unique.
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