L'essentiel à connaître
Pour trouver la tangente à une courbe paramétrée $\gamma(t)=(x(t),\,y(t))$ au point de paramètre $t_0$, calcule le vecteur dérivé $\gamma'(t_0)=(x'(t_0),\,y'(t_0))$. S'il n'est pas nul, le point est régulier et la tangente passe par $\gamma(t_0)$, dirigée par $\gamma'(t_0)$. Exemple : pour $\gamma(t)=(t^2,\,t^3)$, $\gamma'(-1)=(-2,\,3)$, donc la tangente au point $(1,\,-1)$ a pour pente $-\frac{3}{2}$.
Formule : en un point régulier, la tangente a pour équation $y'(t_0)\,(x-x(t_0))-x'(t_0)\,(y-y(t_0))=0$. Elle est horizontale si $y'(t_0)=0$, verticale si $x'(t_0)=0$.
Si $\gamma'(t_0)=\vec{0}$, le point est singulier, on dit aussi stationnaire : la vitesse s'annule. Appelle $p$ l'ordre de la première dérivée non nulle en $t_0$ ($p=1$ en un point régulier) : $\gamma^{(p)}(t_0)$ dirige la tangente. Appelle ensuite $q>p$ l'ordre de la première dérivée qui n'est pas colinéaire à $\gamma^{(p)}(t_0)$ ; une dérivée non nulle mais colinéaire ne compte pas.
La parité de $p$ dit si la courbe continue dans le même sens (impair) ou rebrousse chemin (pair), celle de $q$ si elle traverse sa tangente (impair) ou reste d'un seul côté (pair). Les quatre cas, d'après le cours d'Exo7 :
| $p$ | $q$ | Nature du point |
|---|---|---|
| impair | pair | point d'allure ordinaire |
| impair | impair | point d'inflexion |
| pair | impair | rebroussement de première espèce |
| pair | pair | rebroussement de seconde espèce |
Piège classique : les critères « $y'(t_0)=0$, tangente horizontale » et « $x'(t_0)=0$, tangente verticale » ne valent qu'en un point régulier. Et un point double, où la courbe passe deux fois, n'est pas pour autant un point singulier : chaque passage a son propre vecteur dérivé.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Pour $\gamma(t)=(t^2,\,t^3)$, que vaut le vecteur dérivé $\gamma'(2)$ ?
Réponse : B. $\gamma'(t)=(2t,\,3t^2)$, donc $\gamma'(2)=(4,\,12)$. La proposition A est le point $\gamma(2)$ lui-même : le point dit où l'on est, le vecteur dérivé dans quelle direction on part.
Question 2 : Toujours pour $\gamma(t)=(t^2,\,t^3)$, quelle est l'équation de la tangente au point $\gamma(1)=(1,\,1)$ ?
Réponse : D. $\gamma'(1)=(2,\,3)$, donc la pente vaut $\frac{y'(1)}{x'(1)}=\frac{3}{2}$ et la tangente passe par $(1,\,1)$. La proposition A inverse le quotient : la pente est $\frac{y'}{x'}$, pas $\frac{x'}{y'}$.
Question 3 : Quels paramètres donnent un point singulier pour $\gamma(t)=(t^2-2t,\,t^3-3t)$ ?
Réponse : A. $\gamma'(t)=(2t-2,\,3t^2-3)$, et ses deux coordonnées doivent s'annuler ensemble : $x'(t)=0$ impose $t=1$, où $y'(1)=0$ aussi. La proposition B ne résout que $y'(t)=0$ ; or $x'(-1)=-4$, donc le point de paramètre $-1$ est régulier.
Question 4 : Pour $\gamma(t)=(\cos t,\,\sin 2t)$ avec $t\in[0\,;\,\pi]$, en quels paramètres la tangente est-elle verticale ?
Réponse : C. $\gamma'(t)=(-\sin t,\,2\cos 2t)$ : $x'$ s'annule en $t=0$ et en $t=\pi$, où $y'$ vaut $2$. Ces points sont donc réguliers, à tangente verticale. La proposition A annule $y'$ : elle donne les tangentes horizontales.
Question 5 : Pour $\gamma(t)=(t^3,\,t^2)$, le point de paramètre $0$ est singulier. Quelle est sa tangente ?
Réponse : D. $\gamma''(t)=(6t,\,2)$, donc $\gamma''(0)=(0,\,2)$ : c'est la première dérivée non nulle, elle dirige la tangente, verticale et passant par l'origine. La proposition C s'arrête trop tôt : quand $\gamma'(t_0)=\vec{0}$, on passe à la dérivée suivante.
Question 6 : La cycloïde $\gamma(t)=(t-\sin t,\,1-\cos t)$ est la trajectoire d'un point du bord d'une roue de rayon $1$ qui roule sur une droite. Quels paramètres donnent ses points singuliers ($k\in\mathbb{Z}$) ?
Réponse : A. $\gamma'(t)=(1-\cos t,\,\sin t)$ est nul quand $\cos t=1$ et $\sin t=0$ ensemble, soit $t=2k\pi$. La proposition B n'annule que $\sin t$ : en $t=\pi$, $x'(\pi)=2$.
Question 7 : Toujours pour la cycloïde, en quels paramètres la tangente est-elle horizontale ($k\in\mathbb{Z}$) ?
Réponse : C. $y'(t)=\sin t$ s'annule en $t=k\pi$, mais en $t=2k\pi$ le point est singulier et le critère ne s'applique pas. Restent $t=\pi+2k\pi$, où $\gamma'=(2,\,0)$ : ce sont les sommets des arches. La proposition B oublie d'écarter les points singuliers.
Question 8 : En un point singulier, on trouve $p=2$. Que fait la courbe en ce point ?
Réponse : B. Le long de la tangente, le déplacement varie comme $(t-t_0)^2$, positif avant et après $t_0$ : la courbe arrive puis repart du même côté, elle rebrousse chemin. La proposition C confond les rôles : traverser la tangente dépend de $q$, pas de $p$.
Question 9 : Quelle est la nature du point de paramètre $0$ pour $\gamma(t)=(t^2,\,t^3)$ ?
Réponse : D. $\gamma''(0)=(2,\,0)$, puis $\gamma'''(0)=(0,\,6)$, qui ne lui est pas colinéaire : $p=2$ et $q=3$. La courbe rebrousse chemin en traversant sa tangente, c'est la pointe classique. La proposition B demanderait $q$ pair.
Question 10 : Et pour $\gamma(t)=(t^3,\,t^5)$, au paramètre $0$ ?
Réponse : A. Les premières dérivées utiles sont $\gamma'''(0)=(6,\,0)$ et $\gamma^{(5)}(0)=(0,\,120)$ : $p=3$ et $q=5$, tous deux impairs, donc un point d'inflexion à tangente horizontale. La proposition C vient du réflexe « point singulier, donc pointe » : avec $p$ impair, la courbe ne rebrousse pas chemin.
Question 11 : Pour la cycloïde de la question 6, quelles sont la nature et la tangente du point singulier de paramètre $0$ ?
Réponse : B. $\gamma''(t)=(\sin t,\,\cos t)$ donne $\gamma''(0)=(0,\,1)$, qui dirige une tangente verticale, et $\gamma'''(0)=(1,\,0)$ ne lui est pas colinéaire : $p=2$ et $q=3$. C'est la pointe où le point de la roue touche la droite. La proposition D lit $y'(0)=0$ comme une tangente horizontale, critère valable seulement en un point régulier.
Question 12 : Pour $\gamma(t)=(t^3,\,t^4)$, quelle est la nature du point de paramètre $0$ ?
Réponse : C. $\gamma'''(0)=(6,\,0)$ puis $\gamma^{(4)}(0)=(0,\,24)$ : $p=3$ est impair, la courbe continue dans le même sens ; $q=4$ est pair, elle reste du même côté de sa tangente horizontale. La proposition B oublie qu'une inflexion demande $q$ impair.
Question 13 : La courbe $\gamma(t)=(t^2,\,t^3-t)$ passe deux fois par le point $(1,\,0)$, en $t=-1$ et en $t=1$. Que dire de ce point ?
Réponse : A. $\gamma'(t)=(2t,\,3t^2-1)$ donne $\gamma'(1)=(2,\,2)$ et $\gamma'(-1)=(-2,\,2)$, non nuls : deux passages réguliers, de pentes $1$ et $-1$. La proposition B confond « la courbe se recoupe » et « la vitesse s'annule ». La D prend $y'$ pour la pente, sans diviser par $x'$.
Question 14 : Pour $\gamma(t)=(t^2+t^3,\,t^4)$, quelle est la nature du point de paramètre $0$ ?
Réponse : D. $\gamma''(0)=(2,\,0)$ donne $p=2$. Le piège : $\gamma'''(0)=(6,\,0)$ est non nul mais colinéaire à $\gamma''(0)$, il ne compte pas ; la première dérivée non colinéaire est $\gamma^{(4)}(0)=(0,\,24)$, donc $q=4$. Avec $p$ et $q$ pairs, c'est un rebroussement de seconde espèce. La proposition A prend $q=3$ sans vérifier la colinéarité.
Question 15 : Pour $\gamma(t)=(t,\,t^4)$, on a $\gamma''(0)=\vec{0}$. Quelle est la nature du point de paramètre $0$ ?
Réponse : B. $\gamma'(0)=(1,\,0)$ n'est pas nul : le point est régulier, $p=1$. La première dérivée non colinéaire est $\gamma^{(4)}(0)=(0,\,24)$, donc $q=4$, pair : la courbe reste au-dessus de sa tangente, comme $y=x^4$. La proposition A est l'erreur classique : $\gamma''(0)=\vec{0}$ ne suffit pas pour une inflexion, il faut $q$ impair.
Sources
Exo7, cours « Courbes paramétrées », parties 2 et 3 (tangente, points singuliers, position de la courbe par rapport à sa tangente) : exo7.emath.fr/cours/ch_courbes.pdf.