L'essentiel à connaître
Une implication $P \Rightarrow Q$ n'est fausse que si $P$ est vraie et $Q$ fausse : sa négation est « $P$ et $\text{non } Q$ ». Elle équivaut à sa contraposée $\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$, mais pas à sa réciproque $Q \Rightarrow P$. Exemple : pour prouver « si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair », tu prouves sa contraposée « si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair », et $n = 2k$ donne $n^2 = 2(2k^2)$.
Définition : Quand $P \Rightarrow Q$ est vraie, $Q$ est une condition nécessaire pour $P$ et $P$ une condition suffisante pour $Q$. L'équivalence $P \iff Q$ réunit $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$.
Les quantificateurs $\forall$ (« pour tout ») et $\exists$ (« il existe ») se lisent dans l'ordre. Dans $\forall x,\ \exists y$, le $y$ peut dépendre de $x$ ; dans $\exists y,\ \forall x$, le même $y$ sert pour tous les $x$.
À retenir : Pour nier une phrase quantifiée, tu échanges $\forall$ et $\exists$, tu gardes les ensembles et tu nies la fin : la négation de $\forall x \in E,\ P(x)$ est $\exists x \in E,\ \text{non } P(x)$. Un seul contre-exemple suffit donc à faire tomber un « pour tout ».
La disjonction des cas traite séparément des cas qui couvrent toutes les situations ($n$ pair, $n$ impair). Le raisonnement par l'absurde suppose le contraire de ce qu'on veut prouver et aboutit à une contradiction. L'analyse-synthèse cherche les solutions d'un problème : l'analyse suppose qu'une solution existe et en tire des conditions nécessaires, souvent une seule forme possible (l'unicité) ; la synthèse vérifie ensuite que cette forme convient (l'existence). Élever une équation au carré ne donne, de même, qu'une implication : chaque solution trouvée se vérifie.
Règle : Pour prouver $P(n)$ pour tout entier $n \ge n_0$, la récurrence simple vérifie $P(n_0)$ (l'initialisation), puis montre $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ (l'hérédité). La récurrence double vérifie $P(n_0)$ et $P(n_0+1)$, puis montre que $P(n)$ et $P(n+1)$ entraînent $P(n+2)$. La récurrence forte suppose $P(n_0), \dots, P(n)$ vraies pour obtenir $P(n+1)$. Sans initialisation, l'hérédité ne prouve rien.
Ces outils forment les « rudiments de logique » du programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I (2021).
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Avec $P$ : « $f$ est dérivable en $a$ » et $Q$ : « $f$ est continue en $a$ », quelle est la contraposée de $P \Rightarrow Q$ ?
Réponse : C. Tu nies les deux propositions et tu les échanges. Le piège B nie sans échanger : il équivaut à la réciproque A, fausse ici, car $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ sans y être dérivable.
Question 2 : Pour un réel $x$, quelle est la négation de « si $x > 2$, alors $x^2 > 4$ » ?
Réponse : A. L'implication n'est fausse que si l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse. Le piège B garde le « si… alors » : pour $x = 0$, B est vraie comme l'énoncé de départ, donc ce n'est pas sa négation.
Question 3 : Pour un entier $n$, « $n$ est pair » est, pour « $n$ est divisible par $6$ », une condition :
Réponse : B. Un multiple de $6$ est pair : la condition est nécessaire. Mais $4$ est pair sans être multiple de $6$ : elle n'est pas suffisante. Le piège A inverse les rôles : dans $P \Rightarrow Q$, c'est $Q$ qui est nécessaire.
Question 4 : Avec $P(n)$ : « $n^2 + n + 41$ est premier », quelle est la négation de $\forall n \in \mathbb{N},\ P(n)$ ?
Réponse : D. « Pour tout » devient « il existe », $\mathbb{N}$ ne bouge pas, et on nie $P(n)$. Un contre-exemple suffit donc : $40^2 + 40 + 41 = 1681 = 41^2$. Le piège A confond « pas tous » et « aucun ».
Question 5 : Pour montrer que $n^2 + n$ est pair pour tout entier $n$, on distingue $n$ pair et $n$ impair. Si $n = 2k + 1$, que vaut $n^2 + n$ ?
Réponse : D. $(2k+1)^2 + (2k+1) = 4k^2 + 6k + 2 = 2(2k^2 + 3k + 1)$, qui est pair, et le cas $n = 2k$ donne $2(2k^2 + k)$. C vient d'un $+1$ oublié et ferait croire, à tort, que $n^2 + n$ est impair.
Question 6 : Pour prouver par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel, que suppose-t-on au départ ?
Réponse : C. On suppose le contraire, $\sqrt{2}$ rationnel, écrit sous forme irréductible. Alors $p^2 = 2q^2$ rend $p$ pair, puis $q$ pair : contradiction. Le piège A part de ce qu'on veut prouver : c'est l'inverse de l'absurde.
Question 7 : Avec $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$, quelle proposition est vraie ?
Réponse : B. Dans B, $M$ est choisi après $x$ : $M = x^2$ convient. Dans A, le même $M$ doit servir pour tous les $x$, ce qui est faux : $x = |M| + 1$ donne $x^2 > M$. D tombe avec $M = 0$, car aucun carré n'est strictement négatif.
Question 8 : On pose $u_0 = 2$, $u_1 = 3$ et $u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n$. Pour prouver $u_n = 2^n + 1$ par récurrence double, que faut-il vérifier au départ ?
Réponse : A. L'hérédité part des rangs $n$ et $n + 1$ : $3(2^{n+1} + 1) - 2(2^n + 1) = 2^{n+2} + 1$. Il faut donc deux rangs de départ, ici $2 = 2^0 + 1$ et $3 = 2^1 + 1$. Avec $u_0$ seul (B), l'hérédité ne démarre pas, faute de $u_1$.
Question 9 : Pour prouver que tout entier $n \ge 2$ a un diviseur premier, quelle méthode convient ?
Réponse : C. Si $n + 1$ est premier, c'est fini. Sinon, il s'écrit $ab$ avec $2 \le a \le n$, et un diviseur premier de $a$ convient : il faut la propriété au rang $a$, quel qu'il soit. La récurrence simple (A) ne donne que le cas de $n$, or un diviseur premier de $n$ ne divise jamais $n + 1$.
Question 10 : Pour écrire $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ comme $g + h$, avec $g$ paire et $h$ impaire, l'analyse donne $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ et $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$. Qu'a-t-on prouvé à ce stade ?
Réponse : A. L'analyse dit : si une décomposition existe, c'est forcément celle-là. L'existence vient de la synthèse, qui vérifie que $g$ est paire, $h$ impaire et $g + h = f$. Le piège B confond les deux étapes : trouver une formule ne prouve pas qu'elle convient.
Question 11 : Pour démontrer $P \iff Q$, quelle démarche ne suffit pas ?
Réponse : D. $\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$ est la contraposée de $P \Rightarrow Q$ : D prouve deux fois la même implication. B et C, eux, suffisent, car $\text{non } P \Rightarrow \text{non } Q$ est la contraposée de $Q \Rightarrow P$.
Question 12 : « $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ » s'écrit $\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2,\ x \le y \Rightarrow f(x) \le f(y)$. Quelle est sa négation ?
Réponse : B. « Pour tout » devient « il existe », et l'implication se nie en « $x \le y$ et $f(x) > f(y)$ ». Le piège A dit « $f$ est décroissante », or $x \mapsto x^2$ n'est ni croissante ni décroissante sur $\mathbb{R}$. D garde l'implication et devient toujours vraie : il suffit de prendre $x > y$.
Question 13 : Soit $P(n)$ : « $10^n + 1$ est divisible par $9$ ». L'hérédité est juste, car $10^{n+1} + 1 = 10(10^n + 1) - 9$. Qu'en est-il de $P(n)$ ?
Réponse : C. Aucune initialisation ne marche : $10^n - 1$ ($0$, $9$, $99$…) est toujours divisible par $9$, donc $10^n + 1$ laisse le reste $2$. Le piège A croit que l'hérédité suffit : sans un rang de départ vrai, elle ne prouve rien.
Question 14 : On résout $\sqrt{x + 2} = x$ sur $[-2\,;\,+\infty[$. En élevant au carré, on obtient $x^2 - x - 2 = 0$, de racines $-1$ et $2$. Quel est l'ensemble des solutions ?
Réponse : A. Élever au carré ne donne qu'une implication : $-1$ et $2$ sont des candidats à vérifier. $\sqrt{4} = 2$ convient, mais $\sqrt{1} = 1 \neq -1$. Le piège B les garde tous les deux, comme si l'on avait une équivalence.
Sources
Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I (2021), partie « Raisonnement et vocabulaire ensembliste ».