L'essentiel à connaître
La divisibilité est le socle de l'arithmétique. On dit qu'un entier relatif a divise un entier b s'il existe un entier k tel que b est égal au produit de a par k. Cette notion simple ouvre la porte à l'étude des nombres premiers, ces entiers naturels qui possèdent exactement deux diviseurs distincts : 1 et eux-mêmes. Comprendre ces nombres est crucial car ils sont les "atomes" des mathématiques : tout entier supérieur à 1 peut être décomposé de manière unique en un produit de facteurs premiers.
Pour identifier les nombres premiers, une méthode ancestrale mais efficace est le crible d'Ératosthène. Elle consiste à lister les entiers et à barrer systématiquement les multiples de chaque nombre premier trouvé, en commençant par 2. Ce processus d'élimination permet d'isoler rapidement les nombres premiers inférieurs à une limite donnée. C'est une excellente gymnastique mentale pour visualiser la structure de l'ensemble des entiers naturels.
Définition : Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n'admet que deux diviseurs, 1 et lui-même. 1 n'est pas un nombre premier.
À retenir : La décomposition en facteurs premiers est unique à l'ordre des facteurs près. Elle permet de trouver facilement le PGCD et le PPCM de deux nombres.
Les points clés
Lorsqu'on travaille sur la divisibilité, il faut maîtriser les critères classiques (par 2, 3, 5, 9 et 11) qui font gagner un temps précieux lors des examens. Par exemple, un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3. Ces astuces facilitent la décomposition rapide de grands nombres sans avoir recours à une calculatrice.
Un piège fréquent consiste à oublier que les nombres négatifs peuvent être des diviseurs, mais que par convention, la notion de "nombre premier" ne s'applique qu'aux entiers naturels positifs. De plus, lors de l'utilisation du crible d'Ératosthène, il est inutile de tester les multiples d'un nombre n dont le carré est supérieur à la limite fixée, car ses multiples auront déjà été barrés par des facteurs plus petits.
Formule : Pour tester si n est premier, on vérifie sa divisibilité par tous les nombres premiers p tels que p au carré est inférieur ou égal à n.
Piège classique : Attention, le nombre 1 n'est jamais considéré comme premier car il ne possède qu'un seul diviseur, alors que la définition en exige deux.
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Question 1 : Lequel de ces nombres n'est pas un nombre premier ?
Réponse : C. Par définition, un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs. Le chiffre 1 n'en a qu'un seul (lui-même), il est donc exclu de la liste des nombres premiers. 2 est le seul nombre premier pair.
Question 2 : Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 60 ?
Réponse : B. Une décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers. Or 6, 10, 4 et 15 ne sont pas premiers. En décomposant étape par étape : 60 = 2 x 30 = 2 x 2 x 15 = 2² x 3 x 5.
Question 3 : Selon le crible d'Ératosthène, pour trouver les nombres premiers jusqu'à 100, quel est le dernier nombre dont on doit barrer les multiples ?
Réponse : D. On s'arrête dès que le carré du nombre premier est supérieur à la limite. Ici, 7² = 49 (on continue) et le premier suivant est 11. Comme 11² = 121, ce qui est supérieur à 100, on s'arrête à 7.
Question 4 : Un nombre est divisible par 9 si :
Réponse : A. C'est le critère de divisibilité par 9. Par exemple, pour 126 : 1+2+6 = 9, donc 126 est divisible par 9. Se terminer par 9 (comme 19) ne garantit absolument pas la divisibilité.
Question 5 : Combien y a-t-il de nombres premiers entre 1 et 10 ?
Réponse : B. Les nombres premiers entre 1 et 10 sont 2, 3, 5 et 7. 1 est exclu, et 4, 6, 8, 9, 10 sont composés (ils ont plus de deux diviseurs).
Question 6 : Si n divise a et b, alors n divise nécessairement :
Réponse : C. C'est une propriété fondamentale de la divisibilité. Si n divise a et b, il divise leur somme, leur différence et plus généralement n'importe quel multiple de l'un ajouté à un multiple de l'autre.
Question 7 : Quel est le PGCD de deux nombres premiers distincts p et q ?
Réponse : A. Deux nombres premiers distincts n'ont aucun diviseur commun autre que 1. On dit qu'ils sont premiers entre eux. Leur PGCD est donc toujours égal à 1.
Question 8 : Le nombre 143 est-il premier ?
Réponse : D. 143 n'est pas premier car 11 x 13 = 143. Un moyen rapide de voir la divisibilité par 11 : 1 - 4 + 3 = 0. Si le résultat est 0 ou un multiple de 11, le nombre est divisible par 11.
Question 9 : Quelle est la décomposition de 126 ?
Réponse : B. 126 est pair : 126 = 2 x 63. 63 est dans la table de 9 : 63 = 9 x 7. Comme 9 = 3², la décomposition finale est 2 x 3² x 7. L'option A contient 21 qui n'est pas premier.
Question 10 : Quel nombre premier est le seul à être consécutif d'un autre nombre premier ?
Réponse : C. Les seuls nombres premiers consécutifs sont 2 et 3. Pour tous les autres, l'un des deux nombres consécutifs serait pair et supérieur à 2, donc forcément composé.
Question 11 : Si le produit de deux nombres a * b est divisible par un nombre premier p, alors :
Réponse : A. C'est le lemme de Euclide. Cette propriété est spécifique aux nombres premiers. Par exemple, 6 divise 3 x 4 (12), mais 6 ne divise ni 3 ni 4, car 6 n'est pas premier.
Question 12 : Quel est le plus petit nombre premier supérieur à 30 ?
Réponse : C. 31 n'a pas de diviseurs évidents. 33 est divisible par 3 et 11. 39 est divisible par 3 (3+9=12). 31 est donc le premier nombre premier après 30.
Question 13 : Combien de diviseurs possède le nombre 12 ?
Réponse : D. Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Astuce : avec la décomposition 2² x 3¹, on calcule (2+1) x (1+1) = 3 x 2 = 6 diviseurs.
Question 14 : Que peut-on dire d'un nombre dont la décomposition est 2³ x 5³ ?
Réponse : B. 2³ x 5³ est égal à (2 x 5)³, soit 10³, ce qui donne 1000. Chaque paire (2;5) dans une décomposition ajoute un zéro à la fin du nombre.
Question 15 : Un nombre composé est un nombre qui :
Réponse : A. Par opposition aux nombres premiers, les nombres composés sont les entiers naturels n > 1 qui possèdent au moins un diviseur autre que 1 et eux-mêmes. 9 est composé bien qu'impair.
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