L'essentiel à connaître
Une équation de Bernoulli s'écrit $y' + a(x)y = b(x)y^n$, avec $n$ réel différent de $0$ et de $1$ : tu la rends linéaire en posant $z = y^{1-n}$. Par exemple, pour $y' + y = y^2$, on a $n = 2$, donc $z = \frac{1}{y}$ vérifie $z' - z = -1$, d'où $z = 1 + Ce^{x}$ et $y = \frac{1}{1 + Ce^{x}}$. Pour une équation de Riccati, $y' = a(x)y^2 + b(x)y + c(x)$, il te faut d'abord une solution particulière $y_1$ : en posant $y = y_1 + \frac{1}{z}$, tu obtiens une équation linéaire en $z$.
Dans les deux cas, tu retombes sur une équation linéaire du premier ordre $z' + \alpha(x)z = \beta(x)$, celle du programme de première année de MPSI et MP2I. Ses solutions s'écrivent $Ke^{-A(x)} + z_p$, où $A$ est une primitive de $\alpha$ et $z_p$ une solution particulière, trouvée à vue ou par variation de la constante. Avec $n = 0$ ou $n = 1$, l'équation de départ est déjà linéaire : ce n'est pas une Bernoulli.
Règle : sur un intervalle où $y$ ne s'annule pas (et reste positive si $n$ n'est pas entier), $z = y^{1-n}$ vérifie $z' + (1-n)a(x)z = (1-n)b(x)$. Pour le voir, divise l'équation par $y^n$ : $y^{-n}y' + a(x)y^{1-n} = b(x)$. Comme $z' = (1-n)y^{-n}y'$, cela donne $\frac{z'}{1-n} + a(x)z = b(x)$.
Une Riccati au sens strict a un terme en $y^2$ et un terme $c(x)$ non nul : sans $c(x)$, c'est une Bernoulli avec $n = 2$ ; sans terme en $y^2$, elle est linéaire. La solution particulière se cherche à vue, quand l'énoncé ne la donne pas : une constante $k$ convient si $a(x)k^2 + b(x)k + c(x) = 0$ pour tout $x$, sinon on essaie $x$ ou $\frac{1}{x}$.
Règle : si $y_1$ est solution, $u = y - y_1$ vérifie $u' = \left(2a(x)y_1(x) + b(x)\right)u + a(x)u^2$ : c'est une Bernoulli avec $n = 2$. Avec $z = \frac{1}{u}$, c'est-à-dire $y = y_1 + \frac{1}{z}$, tu arrives directement à la linéaire $z' = -\left(2a(x)y_1(x) + b(x)\right)z - a(x)$.
Piège classique : diviser par $y^n$ fait perdre la solution $y = 0$ quand $n > 0$ ; ajoute-la à la main. Revenir de $z$ à $y$ peut demander deux signes : pour $n = 3$, $y^2 = \frac{1}{z}$ donne $y = \pm\frac{1}{\sqrt{z}}$. Enfin, une solution peut exploser, c'est-à-dire tendre vers l'infini en un point fini : avec une condition initiale en $x_0$, garde le plus grand intervalle contenant $x_0$ où la formule est définie.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Laquelle de ces équations est une équation de Bernoulli non linéaire ?
Réponse : B. B a la forme $y' + a(x)y = b(x)y^n$ avec $n = 4$. Le piège est C : avec $n = 1$, elle s'écrit $y' + (x - x^3)y = 0$, qui est linéaire. En D, la puissance porte sur le mauvais terme : ce n'est pas la forme de Bernoulli.
Question 2 : Pour $y' + \frac{2}{x}y = x^2y^3$ sur $]0\,;+\infty[$, quel changement d'inconnue rend l'équation linéaire ?
Réponse : D. Ici $n = 3$, donc $z = y^{1-n} = y^{-2}$. Le piège est B : c'est $y^{n-1}$, l'exposant a le mauvais signe. A confond la nouvelle inconnue avec $y^{-n}$, le facteur qui apparaît quand on divise par $y^n$.
Question 3 : Laquelle de ces équations est une Riccati qui n'est ni linéaire ni de Bernoulli ?
Réponse : A. A a un terme en $y^2$, un terme en $y$ et un terme sans $y$, $c(x) = x^2$ : c'est une Riccati au sens strict. Le piège est B : sans terme $c(x)$, elle s'écrit $y' + y = xy^2$, une Bernoulli avec $n = 2$. C contient $y^3$ et D est linéaire.
Question 4 : Pour $y' + y = e^{x}y^2$, tu poses $z = \frac{1}{y}$. Quelle équation vérifie $z$ ?
Réponse : C. Avec $n = 2$, $1 - n = -1$ et la règle donne $z' - z = -e^{x}$. À la main : divise par $y^2$, $\frac{y'}{y^2} + \frac{1}{y} = e^{x}$, et comme $z' = -\frac{y'}{y^2}$, il vient $-z' + z = e^{x}$. Le piège est B : le facteur $1 - n$ multiplie aussi le second membre.
Question 5 : Pour $y' + \frac{y}{x} = \frac{1}{y}$ sur $]0\,;+\infty[$, quel changement d'inconnue rend l'équation linéaire ?
Réponse : A. Le second membre vaut $y^{-1}$ : c'est une Bernoulli avec $n = -1$, donc $z = y^{1-(-1)} = y^2$. Le piège est B : $z = \frac{1}{y}$ ne convient que pour $n = 2$. C vient d'une erreur de signe, $y^{n-1}$ au lieu de $y^{1-n}$.
Question 6 : Laquelle de ces fonctions constantes est solution de $y' = y^2 - 3y + 2$ ?
Réponse : D. Une constante $k$ a une dérivée nulle : elle est solution si et seulement si $k^2 - 3k + 2 = 0$, soit $k = 1$ ou $k = 2$. Le piège est B : $y = 0$ n'est solution que s'il n'y a pas de terme sans $y$, or ici il vaut $2$. Les valeurs $-1$ et $-2$ sont les racines de $k^2 + 3k + 2$, une erreur de signe.
Question 7 : Sur un intervalle de $]0\,;+\infty[$, les solutions de $y' + \frac{y}{x} = x^2y^2$ qui ne s'annulent pas sont de la forme ($C$ réel) :
Réponse : B. Avec $z = \frac{1}{y}$, on obtient $z' - \frac{z}{x} = -x^2$. L'équation homogène donne $z = Cx$, et $z_p = -\frac{x^3}{2}$ convient : $-\frac{3x^2}{2} + \frac{x^2}{2} = -x^2$. Le piège est A : il vient de $z' - \frac{z}{x} = x^2$, où le facteur $1 - n = -1$ a été oublié au second membre.
Question 8 : La fonction $y_1 = x$ est solution de $y' = y^2 - xy + 1$. Tu poses $y = x + \frac{1}{z}$. Quelle équation vérifie $z$ ?
Réponse : C. Ici $a = 1$, $b(x) = -x$ et $y_1 = x$, donc $2ay_1 + b = 2x - x = x$, et la règle donne $z' = -xz - 1$, soit $z' + xz = -1$. Le piège est D : il oublie $b(x)$ dans le coefficient de $z$, qui vaut $2ay_1 + b$ et pas seulement $2ay_1$.
Question 9 : Sur $]0\,;+\infty[$, $y_1 = \frac{1}{x}$ est solution de $y' = y^2 - \frac{2}{x^2}$, et $y = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$ mène à $z' + \frac{2}{x}z = -1$. Les autres solutions s'écrivent ($K$ réel) :
Réponse : D. L'équation homogène donne $\frac{k}{x^2}$, et $z_p = -\frac{x}{3}$ convient : $-\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -1$. Donc $z = \frac{K - x^3}{3x^2}$ avec $K = 3k$, et $\frac{1}{z} = \frac{3x^2}{K - x^3}$. Le piège est A : c'est $y_1 + z$, alors que le changement posé est $y = y_1 + \frac{1}{z}$.
Question 10 : Pour $y' + y = y^2$, tu as obtenu $y = \frac{1}{1 + Ce^{x}}$ en divisant par $y^2$. Quelle solution as-tu perdue en route ?
Réponse : A. La fonction nulle vérifie $0 + 0 = 0^2$, et la formule ne la donne pour aucun $C$, puisque $\frac{1}{1 + Ce^{x}}$ ne s'annule jamais. Le piège est B : $y = 1$ est bien solution, mais la formule la donne déjà avec $C = 0$. Ni $y = -1$ ni $y = e^{-x}$ ne vérifient l'équation.
Question 11 : Pour la même équation $y' + y = y^2$, la solution telle que $y(0) = 2$ est $y = \frac{2}{2 - e^{x}}$. Quel est le plus grand intervalle contenant $0$ sur lequel elle est solution ?
Réponse : C. Le dénominateur s'annule quand $e^{x} = 2$, soit en $x = \ln 2 \approx 0{,}69$ : la solution explose en ce point, et l'intervalle qui contient $0$ s'arrête là. Le piège est A, le réflexe des équations linéaires, dont les solutions vivent sur tout l'intervalle où $a$ et $b$ sont continues : une Bernoulli n'a pas cette garantie.
Question 12 : Pour $y' + y = y^3$, la fonction $z = \frac{1}{y^2}$ vérifie $z' - 2z = -2$, d'où $z = 1 + Ce^{2x}$. Quelles sont les solutions qui ne s'annulent pas ?
Réponse : B. De $y^2 = \frac{1}{z}$ on tire deux signes, et une solution qui ne s'annule pas garde son signe sur tout son intervalle. Le piège est A : il perd les solutions négatives, comme $y = -1$, qui vérifie bien $0 + (-1) = (-1)^3$. D prend $\sqrt{z}$ au lieu de $\frac{1}{\sqrt{z}}$.
Question 13 : Pour une Riccati $y' = a(x)y^2 + b(x)y + c(x)$ dont tu connais une solution $y_1$, tu poses $u = y - y_1$. Quelle équation vérifie $u$ ?
Réponse : D. En reportant $y = y_1 + u$, les termes en $y_1$ seul disparaissent avec $y_1'$, et il reste $u' = (2ay_1 + b)u + au^2$ : le terme en $u^2$ demeure, c'est une Bernoulli avec $n = 2$. Le piège est A : l'équation linéaire n'arrive qu'à l'étape suivante, avec $z = \frac{1}{u}$, ce qui revient à poser $y = y_1 + \frac{1}{z}$.
Sources
Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I, annexe 1, ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021, partie « Équations différentielles linéaires du premier ordre » : texte officiel en PDF.