L'essentiel à connaître
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre : le coefficient de proportionnalité. Exemple : à 7 € la place de cinéma, 2 places coûtent $2 \times 7 = 14$ € et 5 places $5 \times 7 = 35$ €, donc le coefficient vaut 7. Pour tester un tableau, divise chaque nombre du bas par celui du haut : si tu trouves partout le même quotient (le résultat de la division), il y a proportionnalité.
Pour trouver une valeur manquante, passe par l'unité. Si 4 cahiers coûtent 10 €, un cahier coûte $10 \div 4 = 2{,}5$ €, et 6 cahiers coûtent $6 \times 2{,}5 = 15$ €. Avec des nombres moins commodes, le produit en croix fait le même travail.
Formule : si $a$ correspond à $b$ et $c$ correspond à $x$, alors $a \times x = b \times c$, donc $x = \dfrac{b \times c}{a}$. Avec les cahiers : $x = \dfrac{10 \times 6}{4} = 15$.
Sur un graphique, la proportionnalité se reconnaît à des points alignés sur une droite qui passe par l'origine du repère, le point $(0\,;\,0)$. Une droite qui ne passe pas par l'origine signale une valeur au départ, comme le prix d'un abonnement : pas de proportionnalité. Réflexe utile : si une grandeur double sans que l'autre double, ce n'est pas proportionnel.
Piège classique : deux grandeurs qui augmentent ensemble ne sont pas forcément proportionnelles. Quand le côté d'un carré double, son aire est multipliée par 4. Et dans un tableau, vérifie toutes les colonnes, pas seulement les deux premières.
De la 5e à la 3e, la proportionnalité revient dans les prix, les recettes, les cartes, les vitesses et les pourcentages (programme de mathématiques du cycle 4). À l'échelle $\frac{1}{50\,000}$, 1 cm sur la carte représente $50\,000$ cm en réalité, soit 500 m. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée ; à vitesse constante, la distance est proportionnelle à la durée : $d = v \times t$. Une heure compte 60 minutes : 30 min font $0{,}5$ h, 45 min font $0{,}75$ h.
À retenir : prendre $t\,\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\frac{t}{100}$. Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ ; baisser de $t\,\%$, à multiplier par $1 - \frac{t}{100}$. Pour savoir quel pourcentage représente une part, divise la part par le total, puis multiplie par 100.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions vont de la plus simple à la plus piégeuse : garde ta concentration pour les trois dernières.
Question 1 : Au marché, les pommes sont vendues au kilo : 3 kg coûtent 6 €. Combien coûtent 5 kg ?
Réponse : C. Un kilo coûte $6 \div 3 = 2$ €, donc 5 kg coûtent $5 \times 2 = 10$ €. La réponse A ajoute 2 € parce qu'on ajoute 2 kg ; or ces 2 kg coûtent 4 €.
Question 2 : Des pommes de terre : 2 kg coûtent 5 €, 4 kg coûtent 10 €, 10 kg coûtent 25 €. Par quel nombre multiplie-t-on la masse en kg pour obtenir le prix en € ?
Réponse : A. $5 \div 2 = 10 \div 4 = 25 \div 10 = 2{,}5$ : c'est le prix d'un kilo. La réponse B divise à l'envers ($2 \div 5 = 0{,}4$) : ce nombre ramène du prix à la masse.
Question 3 : Une recette de crêpes pour 4 personnes demande 300 g de farine. Combien en faut-il pour 6 personnes ?
Réponse : D. Pour une personne, il faut $300 \div 4 = 75$ g, donc pour six, $6 \times 75 = 450$ g. La réponse B calcule à l'envers ($300 \times 4 \div 6 = 200$) : avec plus de monde, il faut plus de farine, pas moins.
Question 4 : Laquelle de ces situations est une situation de proportionnalité ?
Réponse : B. Deux fois plus de cahiers coûtent deux fois plus cher : le coefficient est 2. Le taxi (A) est le piège : à cause de la somme fixe, deux fois plus de kilomètres ne coûtent pas deux fois plus cher.
Question 5 : Combien font $15\,\%$ de 80 € ?
Réponse : B. $80 \times \frac{15}{100} = 12$ €. La réponse A, 68 €, est le prix qui reste après une remise de $15\,\%$, pas la remise elle-même.
Question 6 : Sur un graphique, quel tracé correspond à une situation de proportionnalité ?
Réponse : D. Une situation de proportionnalité se représente par une droite, ou des points alignés, passant par l'origine du repère. Avec A, il y a une valeur au départ, comme un abonnement : ce n'est pas proportionnel.
Question 7 : Dans un tableau de proportionnalité, 6 correspond à 9, et 10 correspond à $x$. Combien vaut $x$ ?
Réponse : A. Produit en croix : $x = \frac{9 \times 10}{6} = 15$, et l'on vérifie que $9 \div 6 = 15 \div 10 = 1{,}5$. La réponse C ajoute 4 aux deux lignes (6 devient 10, 9 devient 13) ; or $13 \div 10 = 1{,}3$, pas $1{,}5$.
Question 8 : Une crêperie affiche 2 crêpes pour 6 €, 5 crêpes pour 15 € et 8 crêpes pour 26 €. Le prix est-il proportionnel au nombre de crêpes ?
Réponse : C. $6 \div 2 = 3$ et $15 \div 5 = 3$, mais $26 \div 8 = 3{,}25$ : un seul quotient différent suffit pour dire non. La réponse A s'arrête aux deux premières colonnes.
Question 9 : À l'élection des délégués, Inès obtient 6 voix sur 24. Quel pourcentage des voix a-t-elle obtenu ?
Réponse : A. $\frac{6}{24} = 0{,}25 = \frac{25}{100}$, soit $25\,\%$ des voix. La réponse B divise à l'envers ($24 \div 6 = 4$) : pour un pourcentage, le total va toujours en dessous.
Question 10 : Sur une carte à l'échelle $\frac{1}{25\,000}$, deux villages sont à 6 cm l'un de l'autre. Quelle est la distance réelle entre eux ?
Réponse : D. $6 \times 25\,000 = 150\,000$ cm, soit $1\,500$ m, soit $1{,}5$ km. La réponse B vient d'une conversion ratée : des centimètres aux kilomètres, on divise par $100\,000$, pas par $10\,000$.
Question 11 : Un jean coûte 80 €. En soldes, son prix baisse de $25\,\%$. Quel est son nouveau prix ?
Réponse : C. Baisser de $25\,\%$, c'est multiplier par $0{,}75$ : $80 \times 0{,}75 = 60$ €. La réponse A retire 25 € ; or la remise se calcule sur le prix, et vaut $80 \times 0{,}25 = 20$ €.
Question 12 : Trois amis mettent 2 h à ramasser les feuilles d'un jardin. À six, en travaillant chacun au même rythme, combien de temps leur faut-il ?
Réponse : B. Deux fois plus d'amis font le même travail en deux fois moins de temps : $2 \div 2 = 1$ h. La réponse A applique le produit en croix sans réfléchir : le temps n'est pas proportionnel au nombre d'amis, puisqu'il baisse quand l'équipe grandit.
Question 13 : Un cycliste parcourt 39 km en 1 h 30 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?
Réponse : D. 1 h 30 min, c'est une heure et demie, soit $1{,}5$ h, et $39 \div 1{,}5 = 26$ km/h. La réponse A prend 1 h 30 min pour $1{,}3$ h et calcule $39 \div 1{,}3 = 30$ : or 30 minutes font une demi-heure, pas trois dixièmes d'heure.
Question 14 : Un carré de 3 cm de côté a une aire de $9\ \text{cm}^2$. On double la longueur de son côté. Quelle est l'aire du nouveau carré ?
Réponse : A. Le nouveau côté mesure 6 cm, donc l'aire vaut $6 \times 6 = 36\ \text{cm}^2$, quatre fois plus qu'avant. La réponse B suppose l'aire proportionnelle au côté ; or l'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c \times c$, donc doubler le côté multiplie l'aire par $2 \times 2 = 4$.
Question 15 : Un sac coûte 50 €. Son prix augmente de $20\,\%$, puis ce nouveau prix baisse de $20\,\%$. Quel est le prix final ?
Réponse : C. Après la hausse, $50 \times 1{,}2 = 60$ € ; la baisse porte sur ces 60 € : $60 \times 0{,}8 = 48$ €. La réponse A croit que les deux pourcentages s'annulent ; mais la hausse ajoute 10 € et la baisse en retire 12 €, car elle part d'un prix plus élevé.
Sources
Programme de mathématiques pour le cycle 4 (5e, 4e, 3e), partie « Proportionnalité, fonctions », sur education.gouv.fr.