L'essentiel à connaître
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on peut passer de l'une à l'autre en multipliant (ou divisant) toujours par le même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité. Pour vérifier si un tableau représente une situation de proportionnalité, il suffit de diviser chaque nombre de la deuxième ligne par celui de la première ligne correspondante. Si le résultat est identique partout, les grandeurs sont proportionnelles.
La méthode la plus célèbre pour trouver une valeur manquante est le produit en croix (ou règle de trois). Elle repose sur l'égalité des produits en diagonale. Dans une situation de proportionnalité, si $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$, alors $a \times x = b \times c$. C'est un outil universel qui s'applique aux échelles, aux pourcentages et aux conversions d'unités.
Définition : Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie les valeurs d'une grandeur pour obtenir celles de l'autre.
À retenir : Graphiquement, une situation de proportionnalité est représentée par une droite qui passe par l'origine du repère (le point zéro).
Les points clés
Les pourcentages sont une forme particulière de proportionnalité dont le dénominateur est toujours 100. Appliquer un pourcentage de $20\%$ revient à multiplier par $20$ puis diviser par $100$ (ou multiplier par $0,2$). Les échelles fonctionnent de la même manière : une échelle de $1/25000$ signifie que $1$ cm sur la carte représente $25000$ cm dans la réalité.
Le piège classique est de croire que toutes les situations croissantes sont proportionnelles. Par exemple, l'âge d'une personne et sa taille ne sont pas proportionnels : si tu doubles ton âge, tu ne doubles pas ta taille ! De même, le prix d'un forfait avec abonnement fixe n'est pas proportionnel à la consommation, car il ne démarre pas à zéro.
Formule : Produit en croix : $x = \frac{b \times c}{a}$
Piège classique : Ne pas vérifier toutes les colonnes d'un tableau. Parfois, la proportionnalité est vraie pour les deux premières colonnes, mais fausse pour la troisième.
Quiz : Teste tes connaissances
Question 1 : Si 3 kg de pommes coûtent 6 €, combien coûtent 5 kg ?
Réponse : B. Le prix au kilo est de $6 \div 3 = 2$ €/kg. Pour 5 kg, on fait $5 \times 2 = 10$ €. On peut aussi utiliser le produit en croix : $(5 \times 6) \div 3 = 10$.
Question 2 : Quel est le coefficient pour passer de la ligne 1 (valeurs : 2, 4, 10) à la ligne 2 (valeurs : 5, 10, 25) ?
Réponse : C. On divise un nombre de la ligne 2 par celui de la ligne 1 : $5 \div 2 = 2,5$. On vérifie avec les autres : $10 \div 4 = 2,5$ et $25 \div 10 = 2,5$.
Question 3 : Une voiture consomme 6L aux 100 km. Combien consomme-t-elle pour 250 km ?
Réponse : A. Pour 100 km, 6L. Pour 200 km, 12L. Pour 50 km (la moitié de 100), elle consomme 3L (la moitié de 6). Donc $12 + 3 = 15$ L.
Question 4 : Un graphique représente une situation de proportionnalité si :
Réponse : D. C'est la définition graphique. Si la droite ne passe pas par $0$, cela signifie qu'il y a une valeur initiale (comme un abonnement), donc ce n'est pas proportionnel.
Question 5 : Calcule la quatrième proportionnelle $x$ dans ce tableau : (2 | 7) et (6 | x).
Réponse : B. Produit en croix : $x = (6 \times 7) \div 2 = 42 \div 2 = 21$. On remarque aussi qu'on multiplie par 3 pour passer de 2 à 6, donc on fait pareil pour 7.
Question 6 : Sur une carte à l'échelle 1/100 000, 2 cm représentent :
Réponse : C. $2 \times 100 000 = 200 000$ cm. En convertissant en mètres, on enlève deux zéros ($2000$ m), puis en kilomètres ($2$ km).
Question 7 : $30\%$ de 50 correspond à :
Réponse : A. On calcule $(30 \times 50) \div 100$. Ou plus simple : $10\%$ de 50 c'est 5, donc $30\%$ c'est $3 \times 5 = 15$.
Question 8 : La vitesse est-elle proportionnelle au temps si elle est constante ?
Réponse : D. Si on roule à vitesse constante, en deux fois plus de temps on parcourt deux fois plus de distance. La formule $d = v \times t$ est une relation de proportionnalité.
Question 9 : Dans une recette pour 4 personnes, il faut 200g de farine. Combien pour 6 personnes ?
Réponse : B. Pour une personne, il faut $200 \div 4 = 50$ g. Pour 6 personnes, $6 \times 50 = 300$ g. Le coefficient est $50$.
Question 10 : Quel est le prix de 10 stylos si 3 stylos coûtent 4,50 € ?
Réponse : C. Un stylo coûte $4,50 \div 3 = 1,50$ €. Donc 10 stylos coûtent $10 \times 1,50 = 15$ €.
Question 11 : Si on double les dimensions d'un rectangle, son aire est :
Réponse : B. Attention ! Si les longueurs sont multipliées par $k$, l'aire est multipliée par $k^2$. Ici $2^2 = 4$. L'aire n'est pas proportionnelle à la longueur seule.
Question 12 : Un pantalon à 80 € subit une réduction de $25\%$. Quel est le montant de la réduction ?
Réponse : A. $25\%$ c'est le quart. Le quart de 80 est 20. La réduction est de 20 €, et le nouveau prix sera de 60 €.
Question 13 : Un robinet remplit 12 litres en 3 minutes. Combien de temps pour 60 litres ?
Réponse : D. Débit : $12 \div 3 = 4$ litres par minute. Pour 60 litres : $60 \div 4 = 15$ minutes. On multiplie le volume par 5, donc on multiplie le temps par 5.
Question 14 : Laquelle de ces situations est proportionnelle ?
Réponse : B. Chaque morceau de sucre a une masse identique. Zéro morceau pèse zéro gramme. C'est une proportionnalité parfaite.
Question 15 : Une maquette est à l'échelle 1/50. La hauteur réelle est 10m. Quelle est la hauteur de la maquette ?
Réponse : C. $10$ m $= 1000$ cm. On divise par 50 pour avoir la taille maquette : $1000 \div 50 = 20$ cm.
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