L'essentiel à connaître
La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteurs de n'importe laquelle de ses bases, une base étant une famille libre et génératrice. Pour prouver qu'une partie $F$ est un sous-espace vectoriel, vérifie que $0 \in F$ et que $\lambda u + v \in F$ pour tous $u, v \in F$ et tout scalaire $\lambda$. Exemple : dans $\mathbb{R}^3$, $F = \{(x,y,z) \mid z = 2x\}$ est l'ensemble des $x(1,0,2) + y(0,1,0)$, c'est-à-dire $\operatorname{Vect}((1,0,2),(0,1,0))$ : un plan vectoriel (sous-espace de dimension $2$), car ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une famille $(e_1, \dots, e_p)$ est libre si $\lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_p e_p = 0$ impose que tous les $\lambda_i$ soient nuls, et génératrice si tout vecteur de l'espace est combinaison linéaire de ses vecteurs. Avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, retiens $\dim \mathbb{K}^n = n$, $\dim \mathbb{K}_n[X] = n + 1$ pour les polynômes de degré au plus $n$, de base $(1, X, \dots, X^n)$, et $\dim \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) = np$.
À retenir : dans un espace $E$ de dimension $n$, une famille libre ou génératrice de $n$ vecteurs est une base, et toute famille de plus de $n$ vecteurs est liée. Un sous-espace $F$ de $E$ vérifie $\dim F \leq n$, avec égalité seulement si $F = E$.
On note $F + G = \{f + g \mid f \in F,\ g \in G\}$ la somme de $F$ et $G$. Ils sont supplémentaires, ce qu'on note $E = F \oplus G$, quand chaque vecteur de $E$ s'écrit d'une seule façon $f + g$. En dimension finie, il suffit de vérifier $F \cap G = \{0\}$ et $\dim F + \dim G = \dim E$. Tout sous-espace a un supplémentaire, en général pas unique.
Pour une application linéaire $u$ définie sur $E$ : $\operatorname{Ker} u = \{x \in E \mid u(x) = 0\}$ est le noyau, $\operatorname{Im} u = \{u(x) \mid x \in E\}$ l'image, et le rang $\operatorname{rg}(u)$ est la dimension de l'image. Une forme linéaire est une application linéaire de $E$ dans $\mathbb{K}$. Le noyau d'une forme linéaire non nulle s'appelle un hyperplan, et toute droite vectorielle (sous-espace de dimension $1$) non contenue dans un hyperplan en est un supplémentaire.
Formule : $\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)$ (formule de Grassmann) et, pour $E$ de dimension finie, $\dim E = \dim \operatorname{Ker} u + \operatorname{rg}(u)$ (théorème du rang). Une forme linéaire non nulle est de rang $1$, donc en dimension $n$ un hyperplan est de dimension $n - 1$.
Piège classique : la réunion de deux sous-espaces n'en est en général pas un, contrairement à leur intersection. Le complémentaire $E \setminus F$ ne contient pas $0$, ce n'est donc jamais un supplémentaire de $F$. Et le théorème du rang n'affirme pas $E = \operatorname{Ker} u \oplus \operatorname{Im} u$ : noyau et image peuvent se couper.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions restent dans le programme officiel de MPSI et de MP2I, et elles montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Quelle est la dimension de $\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$, l'espace des matrices réelles à $2$ lignes et $3$ colonnes ?
Réponse : C. Les $6$ matrices qui ont un coefficient égal à $1$ et tous les autres nuls forment une base, donc $\dim \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}) = 2 \times 3 = 6$. La réponse $5$ vient d'une addition à la place du produit.
Question 2 : Laquelle de ces parties de $\mathbb{R}^2$ est un sous-espace vectoriel ?
Réponse : A. La partie A contient $(0,0)$, et si $2x - y = 0$ et $2x' - y' = 0$, alors $2(\lambda x + x') - (\lambda y + y') = 0$ : c'est la droite $\operatorname{Vect}((1,2))$. La partie B ressemble à une droite, mais elle ne passe pas par l'origine, puisque $0 + 0 \neq 1$.
Question 3 : $E$ est un espace vectoriel de dimension $4$, et $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ est une famille génératrice de $E$. Que peux-tu en conclure ?
Réponse : D. En dimension $n$, une famille génératrice de $n$ vecteurs est une base : le nombre de vecteurs, égal à la dimension, garantit la liberté. La proposition B réclame donc une vérification inutile.
Question 4 : Quelle est la dimension de $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0\}$, et quelle base convient ?
Réponse : B. On tire $z = x + y$, donc $(x,y,z) = x(1,0,1) + y(0,1,1)$ : ces deux vecteurs non colinéaires engendrent $F$, d'où $\dim F = 2$. Le piège A prend le vecteur des coefficients de l'équation, qui n'est même pas dans $F$, car $1 + 1 - (-1) = 3 \neq 0$.
Question 5 : La famille $((1,0,1),(0,1,1),(1,1,2))$ est-elle une base de $\mathbb{R}^3$ ?
Réponse : A. $(1,0,1) + (0,1,1) - (1,1,2) = (0,0,0)$ : cette combinaison nulle à coefficients non nuls prouve que la famille est liée. La proposition B ne suffit pas : à partir de trois vecteurs, une famille sans deux vecteurs colinéaires peut être liée, comme ici.
Question 6 : Un sous-espace $F$ de $\mathbb{R}^3$ contient une famille libre de trois vecteurs. Que peux-tu en conclure ?
Réponse : C. Une famille libre de $F$ a au plus $\dim F$ vecteurs, donc $\dim F \geq 3$, et $F \subset \mathbb{R}^3$ donne $\dim F \leq 3$. Ainsi $\dim F = 3 = \dim \mathbb{R}^3$, et le cas d'égalité donne $F = \mathbb{R}^3$ : c'est ce que la proposition B oublie.
Question 7 : $P_1$ et $P_2$ sont deux plans vectoriels distincts de $\mathbb{R}^3$. Quelle est la dimension de $P_1 \cap P_2$ ?
Réponse : B. Distincts et de même dimension, les plans ne sont pas inclus l'un dans l'autre, donc $P_1 + P_2$ contient strictement $P_1$ : c'est $\mathbb{R}^3$. La formule de Grassmann donne $\dim(P_1 \cap P_2) = 2 + 2 - 3 = 1$, une droite. La réponse $0$ supposerait $\dim(P_1 + P_2) = 4$, impossible dans $\mathbb{R}^3$.
Question 8 : Soit $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0\}$. Pour quel vecteur $w$ la droite $\operatorname{Vect}(w)$ est-elle un supplémentaire de $F$ ?
Réponse : D. $F$ est le noyau de la forme linéaire non nulle $(x,y,z) \mapsto x + y - z$, donc un hyperplan, et une droite non contenue dans $F$ en est un supplémentaire. Or $1 + 1 - 1 = 1 \neq 0$, donc $(1,1,1) \notin F$. Les trois autres vecteurs vérifient l'équation, par exemple $2 - 1 - 1 = 0$ : leur droite est incluse dans $F$.
Question 9 : Soit $u : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $u(x,y,z) = (x + y, y + z)$. Quel est son noyau $\operatorname{Ker} u$ ?
Réponse : C. Le système $x + y = 0$, $y + z = 0$ donne $x = -y$ et $z = -y$, donc $(x,y,z) = -y(1,-1,1)$ et $\operatorname{Ker} u = \operatorname{Vect}((1,-1,1))$. La proposition B vient d'une erreur de signe : $u(-1,1,1) = (0,2)$, pas $(0,0)$.
Question 10 : Sur $\mathbb{R}_3[X]$, la forme linéaire $\varphi$ est définie par $\varphi(P) = P(1)$. Quelle est la dimension de $\operatorname{Ker} \varphi$ ?
Réponse : A. Le polynôme constant $1$ vérifie $\varphi(1) = 1$, donc $\varphi$ n'est pas nulle : son noyau est un hyperplan de $\mathbb{R}_3[X]$, de dimension $4 - 1 = 3$, par exemple de base $(X - 1, X^2 - 1, X^3 - 1)$. La réponse $2$ vient de l'erreur $\dim \mathbb{R}_3[X] = 3$, qui oublie le polynôme $1$ dans la base $(1, X, X^2, X^3)$.
Question 11 : Soit $u$ une application linéaire de $\mathbb{R}^5$ dans $\mathbb{R}^3$. Que peux-tu affirmer ?
Réponse : D. Le théorème du rang donne $5 = \dim \operatorname{Ker} u + \operatorname{rg}(u)$, et $\operatorname{rg}(u) \leq 3$ car $\operatorname{Im} u \subset \mathbb{R}^3$, d'où $\dim \operatorname{Ker} u \geq 2$ : $u$ n'est jamais injective. La réponse A suppose $u$ surjective, ce qui n'est pas forcé : l'application nulle a pour noyau $\mathbb{R}^5$ tout entier.
Question 12 : Dans $\mathbb{R}^2$, soit $F = \operatorname{Vect}((1,0))$ et $G = \operatorname{Vect}((0,1))$. La réunion $F \cup G$ est-elle un sous-espace vectoriel ?
Réponse : B. $(1,0)$ et $(0,1)$ sont dans $F \cup G$, mais pas leur somme $(1,1)$ : la stabilité par addition échoue. Le piège A vérifie deux conditions vraies et oublie l'addition. C'est l'intersection de deux sous-espaces qui en est toujours un, pas leur réunion.
Question 13 : Dans $\mathbb{R}^2$, combien la droite $F = \operatorname{Vect}((1,0))$ a-t-elle de supplémentaires ?
Réponse : D. Un supplémentaire $G$ de $F$ vérifie $\dim G = 2 - 1 = 1$ et $F \cap G = \{0\}$ : toute droite vectorielle différente de $F$ convient, par exemple $\operatorname{Vect}((1,1))$. Le piège A confond supplémentaire et perpendiculaire : $\operatorname{Vect}((0,1))$ n'est qu'un supplémentaire parmi une infinité. Quant à $\mathbb{R}^2 \setminus F$, il ne contient pas $(0,0)$.
Question 14 : Soit $u$ l'application linéaire de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ définie par $u(x,y) = (y,0)$. Que peux-tu dire de $\operatorname{Ker} u$ et de $\operatorname{Im} u$ ?
Réponse : A. $u(x,y) = (0,0)$ équivaut à $y = 0$, donc $\operatorname{Ker} u = \operatorname{Vect}((1,0))$, et l'écriture $u(x,y) = y(1,0)$ montre que $\operatorname{Im} u$ est la même droite. Le théorème du rang tient, $1 + 1 = 2$, mais le noyau et l'image sont égaux, donc pas supplémentaires : c'est le piège B.
Sources
Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, Classes préparatoires MPSI et MP2I, programme de mathématiques (2021), partie « Espaces vectoriels et applications linéaires ».