Quiz Espaces Vectoriels : Dimension et Sous-espaces

Réponse : C. La dimension d'un espace vectoriel est définie comme le nombre d'éléments dans une base. Une base est à la fois linéairement indépendante et génératrice, donc les options A et B sont incomplètes ou incorrectes. L'option D est proche mais pas la définition précise.

Réponse : A. L'espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ est l'ensemble des triplets de nombres réels. Il est engendré par les vecteurs de base {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, qui sont linéairement indépendants. Il y a donc 3 vecteurs dans cette base, ce qui signifie que la dimension de $\mathbb{R}^3$ est 3.

Réponse : B. C'est la définition formelle de l'indépendance linéaire. Si une combinaison linéaire de ces vecteurs est nulle, alors nécessairement tous les coefficients sont nuls. L'option A décrit une dépendance linéaire. L'option C décrit une famille génératrice. L'option D est une condition nécessaire pour une base, mais pas suffisante pour l'indépendance linéaire seule.

Réponse : D. Un sous-espace vectoriel est "plus petit" ou de même "taille" que l'espace vectoriel parent. Sa dimension ne peut donc pas être supérieure à celle de l'espace d'origine. Le cas $\text{dim}(F) = n$ se produit lorsque le sous-espace est l'espace entier. Le cas $\text{dim}(F) = 0$ correspond au sous-espace trivial ne contenant que le vecteur nul.

Réponse : A. C'est la définition complète et rigoureuse d'un sous-espace vectoriel. L'option B est une conséquence des propriétés de clôture. L'option C est une propriété de la dimension, pas une condition de définition. L'option D n'est pas nécessaire pour former un sous-espace (un sous-espace peut contenir des vecteurs linéairement dépendants).

Réponse : B. Vérifions : 1) Le vecteur nul (0,0,0) vérifie 0+0-0=0, donc il est dans W. 2) Soient $(x_1, y_1, z_1)$ et $(x_2, y_2, z_2)$ dans W. Alors $x_1+y_1-z_1=0$ et $x_2+y_2-z_2=0$. Leur somme $(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$ vérifie $(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-(z_1+z_2) = (x_1+y_1-z_1) + (x_2+y_2-z_2) = 0+0 = 0$. Donc W est clos par addition. 3) Soit $(x,y,z) \in W$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors $x+y-z=0$. Le vecteur $(\lambda x, \lambda y, \lambda z)$ vérifie $\lambda x + \lambda y - \lambda z = \lambda(x+y-z) = \lambda(0) = 0$. Donc W est clos par multiplication par un scalaire. W est bien un sous-espace vectoriel.

Réponse : C. Le sous-espace vectoriel trivial est celui qui ne contient que le vecteur nul. Il a une dimension de 0. L'option A décrit l'espace $V$ lui-même (qui est un sous-espace propre). Les options B et D décrivent des ensembles qui peuvent être plus grands ou égaux à $V$, mais pas spécifiquement le sous-espace trivial.

Réponse : D. Par définition, une base est une famille génératrice de cardinal minimum. Si une famille est génératrice et contient $m$ vecteurs, alors son cardinal $m$ doit être supérieur ou égal à la dimension $n$ de l'espace. Si $m=n$, la famille est une base. Si $m>n$, la famille est génératrice mais n'est pas une base (car elle est linéairement dépendante).

Réponse : B. L'intersection de deux sous-espaces vectoriels est toujours un sous-espace vectoriel. Il contient le vecteur nul, il est clos par addition car si un vecteur appartient aux deux sous-espaces, la somme des vecteurs de chacun appartient aussi aux deux sous-espaces, et il est clos par multiplication par un scalaire pour la même raison.

Réponse : C. Les vecteurs (1,1) et (2,2) sont linéairement dépendants car (2,2) = 2*(1,1). Pour qu'une famille soit une base, elle doit être à la fois linéairement indépendante et génératrice. Ici, elle est génératrice (elle engendre la droite $y=x$), mais pas indépendante, donc ce n'est pas une base de $\mathbb{R}^2$. Elle n'engendre pas tout $\mathbb{R}^2$.

Réponse : A. C'est précisément la définition du sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs. C'est le plus petit sous-espace vectoriel contenant tous ces vecteurs.

Réponse : D. Si un sous-espace vectoriel a la même dimension que l'espace vectoriel dont il fait partie, alors il ne peut être qu'égal à cet espace. Aucun sous-espace propre ne peut avoir la même dimension que l'espace parent.

Réponse : B. $W = \{(0, 0, z) \mid z \in \mathbb{R}\}$. Vérifions : 1) (0,0,0) est dans W. 2) $(0,0,z_1) + (0,0,z_2) = (0,0,z_1+z_2)$, qui est dans W. 3) $\lambda(0,0,z) = (0,0,\lambda z)$, qui est dans W. C'est un sous-espace vectoriel. Les vecteurs de W sont de la forme $(0,0,z) = z(0,0,1)$. La famille {(0,0,1)} est une base de W, car elle est non nulle et engendre W. Donc, la dimension de W est 1.

Réponse : A. Dans un espace vectoriel de dimension $n$, toute famille de $n$ vecteurs linéairement indépendants est automatiquement une base. De même, toute famille de $n$ vecteurs générateurs est aussi une base. Ce sont des propriétés fondamentales des espaces vectoriels de dimension finie.