L'essentiel à connaître
Le degré $[L:K]$ d'une extension $K \subset L$ est la dimension de $L$ vu comme espace vectoriel sur $K$ : $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$, avec la base $(1,i)$. Dans une tour $K \subset L \subset M$, les degrés se multiplient : $[M:K]=[M:L]\,[L:K]$ (théorème de la base télescopique). Dans une extension finie, le degré d'un corps intermédiaire divise donc le degré total.
Définition : $\alpha$ est algébrique sur $K$ s'il est racine d'un polynôme non nul de $K[X]$, transcendant sinon. Son polynôme minimal $\pi_\alpha$ est le polynôme unitaire (de coefficient dominant 1) de plus petit degré qui s'annule en $\alpha$ : c'est l'unique polynôme unitaire irréductible de $K[X]$ qui s'annule en $\alpha$.
Propriété : si $\alpha$ est algébrique, $K(\alpha)=K[\alpha]\simeq K[X]/(\pi_\alpha)$ et $[K(\alpha):K]=\deg \pi_\alpha$. Si $\alpha$ est transcendant, $K[\alpha]\simeq K[X]$ n'est pas un corps, $K(\alpha)\simeq K(X)$ (corps des fractions rationnelles) et le degré est infini.
Pour $P$ irréductible de degré $n$, un corps de rupture est une extension $K(\alpha)$ engendrée par une seule racine $\alpha$ de $P$ : il est isomorphe à $K[X]/(P)$, donc de degré $n$. Un corps de décomposition est engendré par toutes les racines, et $P$ y est scindé (produit de facteurs de degré 1). Les deux coïncident en degré 2, pas au-delà en général : $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ est un corps de rupture de $X^3-2$, mais il est inclus dans $\mathbb{R}$ et ne contient pas les deux racines non réelles.
Piège classique : « pas de racine dans $K$, donc irréductible » ne vaut qu'en degré 2 ou 3. Dès le degré 4, un polynôme sans racine peut être le produit de deux facteurs de degré 2.
Les nombres complexes algébriques sur $\mathbb{Q}$ forment un corps $\overline{\mathbb{Q}}$, dénombrable et algébriquement clos (tout polynôme non constant y a une racine). Il est de degré infini sur $\mathbb{Q}$ : le critère d'Eisenstein avec $p=2$ (2 divise tous les coefficients sauf le dominant, 4 ne divise pas le terme constant) montre que $X^n-2$ est irréductible, donc $\sqrt[n]{2}$ est de degré $n$. On admet que $\pi$ et $\mathrm{e}$ sont transcendants, comme dans le cours de R. Taillefer cité en bas.
Un corps fini a $p^n$ éléments, avec $p$ premier. Une extension de degré $d$ d'un corps à $q$ éléments en a $q^d$, et si $P$ est irréductible de degré $n$ sur $\mathbb{F}_p$, le quotient $\mathbb{F}_p[X]/(P)$ est un corps à $p^n$ éléments. Ces notions figurent au programme de l'agrégation externe de mathématiques, session 2027.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Que désigne le degré $[L:K]$ d'une extension $K \subset L$ ?
Réponse : C. C'est la définition : $(1,i)$ est une base de $\mathbb{C}$ sur $\mathbb{R}$, donc $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$. Le piège D dépend de l'élément choisi : sur $\mathbb{R}$, $i$ est de degré 2 mais $3$ est de degré 1.
Question 2 : Quel est le polynôme minimal de $1+\sqrt{2}$ sur $\mathbb{Q}$ ?
Réponse : A. Avec $\alpha=1+\sqrt{2}$, on a $(\alpha-1)^2=2$, soit $\alpha^2-2\alpha-1=0$. Ce polynôme unitaire de degré 2 n'a pas de racine rationnelle (ses racines sont $1\pm\sqrt{2}$), donc il est irréductible : c'est le polynôme minimal. Le polynôme C s'annule bien en $\alpha$, mais ses coefficients ne sont pas dans $\mathbb{Q}$.
Question 3 : Lequel de ces nombres n'est pas algébrique sur $\mathbb{Q}$ ?
Réponse : D. Si $\pi+1$ était algébrique, $\pi=(\pi+1)-1$ le serait aussi, puisque $\overline{\mathbb{Q}}$ est un corps : c'est exclu. L'écriture de B contient $\pi$, mais ce nombre est racine de $X^7-1$, donc algébrique. De même, $\cos\frac{2\pi}{5}$ est la demi-somme de deux racines de $X^5-1$, et $\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}$ est une somme de deux nombres algébriques.
Question 4 : On sait que $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3$. Quel argument prouve que $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ ?
Réponse : B. Si $\sqrt{2}$ y était, la tour $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ donnerait $3=[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]\times 2$, ce qui est impossible. Le piège A ne prouve rien : $\sqrt{2}=(\sqrt[4]{2})^2$ appartient à $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$, alors que $X^2-2$ et $X^4-2$ sont différents.
Question 5 : Quel est le degré de $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ sur $\mathbb{Q}$ ?
Réponse : B. Avec $\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}$, on a $\frac{1}{\alpha}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$, donc $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ sont dans $\mathbb{Q}(\alpha)$ : $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Ce corps est de degré $2\times2=4$, car $\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, et le polynôme minimal de $\alpha$ est $X^4-10X^2+1$. Le piège D compte $\sqrt{6}$ comme un troisième générateur, alors que $\sqrt{6}=\sqrt{2}\times\sqrt{3}$ est déjà dans le corps.
Question 6 : L'anneau quotient $\mathbb{Q}[X]/(X^2+1)$ est :
Réponse : D. $X^2+1$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ (degré 2, sans racine rationnelle), donc le quotient est un corps de rupture de $X^2+1$ : la classe de $X$ y joue le rôle de $i$, et ce corps est isomorphe à $\mathbb{Q}(i)$, de degré 2. Le piège B confond avec $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)\simeq\mathbb{C}$ : ici les coefficients sont rationnels, et $\mathbb{Q}(i)$ est dénombrable.
Question 7 : Le nombre $\pi$ est transcendant sur $\mathbb{Q}$. Le corps $\mathbb{Q}(\pi)$ est :
Réponse : A. Aucun polynôme non nul ne s'annule en $\pi$, donc l'évaluation $P\mapsto P(\pi)$ est injective : $\mathbb{Q}[\pi]\simeq\mathbb{Q}[X]$, et son corps des fractions $\mathbb{Q}(\pi)$ est isomorphe à $\mathbb{Q}(X)$, de degré infini. Le piège B applique $K(\alpha)=K[\alpha]$, qui n'est vrai que pour $\alpha$ algébrique : si $\frac{1}{\pi}$ était un polynôme $P(\pi)$, $\pi$ serait racine du polynôme non nul $XP(X)-1$.
Question 8 : Combien d'éléments a une extension $L$ de degré 3 du corps $\mathbb{F}_4$ à 4 éléments ?
Réponse : C. $L$ est un espace vectoriel de dimension 3 sur $\mathbb{F}_4$ : chaque élément a trois coordonnées, chacune prise parmi 4 valeurs, d'où $4^3=64$ éléments. C'est le corps $\mathbb{F}_{64}$, de degré 6 sur $\mathbb{F}_2$. Le piège A multiplie le nombre d'éléments par le degré, au lieu de l'élever à la puissance du degré.
Question 9 : Que peut-on dire de l'ensemble $\overline{\mathbb{Q}}$ des nombres algébriques ?
Réponse : D. Les polynômes à coefficients rationnels forment un ensemble dénombrable, et chacun n'a qu'un nombre fini de racines : $\overline{\mathbb{Q}}$ est dénombrable. Le piège B mélange « algébriquement clos » et « non dénombrable » : $\overline{\mathbb{Q}}$ partage la première propriété avec $\mathbb{C}$, pas la seconde. Et C est faux, car $\sqrt[n]{2}$ y est de degré $n$ pour tout $n$.
Question 10 : Le polynôme $X^4+4$ n'a aucune racine dans $\mathbb{Q}$. Si $\alpha$ est l'une de ses racines complexes, que vaut $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ ?
Réponse : B. $X^4+4=(X^2+2)^2-(2X)^2=(X^2-2X+2)(X^2+2X+2)$, et ses racines sont $\pm1\pm i$. Chacune est racine d'un facteur de degré 2 sans racine réelle, donc irréductible sur $\mathbb{Q}$ : $\alpha$ est de degré 2, et $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(i)$. Le piège A applique « pas de racine, donc irréductible », qui ne vaut qu'en degré 2 ou 3.
Question 11 : Quel est le degré sur $\mathbb{Q}$ d'un corps de décomposition de $X^3-2$ ?
Réponse : C. Les racines sont $\sqrt[3]{2}$, $j\sqrt[3]{2}$ et $j^2\sqrt[3]{2}$, avec $j=\mathrm{e}^{2i\pi/3}$, donc le corps de décomposition est $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},j)$. Au-dessus de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, de degré 3 et inclus dans $\mathbb{R}$, le nombre non réel $j$, racine de $X^2+X+1$, est de degré 2 : le total vaut $3\times2=6$. Le piège A s'arrête au corps de rupture, qui ne contient qu'une racine ; le piège B oublie que, sur $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, il ne reste qu'un facteur de degré 2, $X^2+\sqrt[3]{2}\,X+\sqrt[3]{4}$.
Question 12 : Lequel de ces anneaux est un corps à 4 éléments ?
Réponse : A. $X^2+X+1$ vaut 1 en 0 et en 1 : sans racine dans $\mathbb{F}_2$ et de degré 2, il est irréductible, et le quotient est un corps à $2^2=4$ éléments. Le piège B confond $\mathbb{F}_4$ et $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, qui n'est pas un corps puisque $2\times2=0$. Les deux autres ont des diviseurs de zéro : $X^2+1=(X+1)^2$ dans $\mathbb{F}_2[X]$, et $(1,0)\times(0,1)=(0,0)$.
Sources
- Programme de la session 2027 de l'agrégation externe de mathématiques, partie 3 « Anneaux, corps et polynômes » : devenirenseignant.gouv.fr.
- R. Taillefer, « Théorie des corps et algèbre bilinéaire », cours de master 1, université Clermont Auvergne, chapitres 1 à 3 : lmbp.uca.fr.