L'essentiel à connaître
Les coniques sont les courbes obtenues par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution. Selon l'inclinaison du plan, on obtient une ellipse (plan fermé), une parabole (plan parallèle à une génératrice) ou une hyperbole (plan coupant les deux nappes du cône). Elles sont définies par une propriété métrique liée à un foyer $F$ et une directrice $D$, ou par une définition bifocale pour l'ellipse et l'hyperbole.
L'excentricité $e$ est le paramètre clé qui caractérise la forme de la conique. Si $e=0$, c'est un cercle. Si $0 < e < 1$, c'est une ellipse. Si $e=1$, c'est une parabole. Si $e > 1$, c'est une hyperbole. Chaque conique possèd'une équation réduite dans un repère bien choisi, facilitant l'étude de ses sommets, axes et asymptotes.
Définition : Une conique est l'ensemble des points $M$ tels que le rapport de la distance $MF$ à la distance à la directrice $d(M, D)$ soit constant et égal à $e$.
À retenir : L'ellipse est l'ensemble des points dont la somme des distances à deux foyers est constante ($MF + MF' = 2a$).
Les points clés
L'ellipse et l'hyperbole partagent des similitudes dans leurs équations réduites, mais diffèrent par un signe. L'équation $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ définit une ellipse, tandis que $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ définit une hyperbole. L'hyperbole possède deux asymptotes d'équations $y = \pm \frac{b}{a}x$, ce qui n'est pas le cas de l'ellipse qui est une courbe bornée.
La parabole est un cas limite unique. Elle ne possède qu'un seul foyer et une seule directrice. Son équation réduite type est $y^2 = 2px$. Elle intervient partout en physique, notamment pour modéliser les trajectoires de projectiles sous l'effet de la gravité (en l'absence de frottements) ou pour la concentration des ondes dans les antennes paraboliques.
Équation : L'excentricité d'une ellipse est donnée par $e = \frac{c}{a}$ où $c$ est la distance centre-foyer et $a$ le demi-grand axe.
Piège classique : Confondre les axes de l'hyperbole. L'axe focal est celui qui porte le signe positif dans l'équation réduite.
Quiz : Teste tes connaissances
Question 1 : Quelle est l'excentricité d'une parabole ?
Réponse : B. La parabole est précisément le cas où la distance au foyer est égale à la distance à la directrice, donc le rapport $e$ vaut 1.
Question 2 : Pour quelle conique la somme des distances aux deux foyers est-elle constante ?
Réponse : A. C'est la définition "du jardinier" de l'ellipse. Pour l'hyperbole, c'est la différence des distances qui est constante.
Question 3 : L'équation $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ représente :
Réponse : C. La présence du signe "moins" entre les termes en $x^2$ et $y^2$ est caractéristique de l'hyperbole.
Question 4 : Quelles sont les équations des asymptotes de l'hyperbole $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ?
Réponse : D. Les asymptotes s'obtiennent en "annulant" le 1 dans l'équation réduite, ce qui mène à $y^2 = (b^2/a^2)x^2$.
Question 5 : Dans une ellipse, si $a=5$ et $b=3$, quelle est la distance focale $c$ ?
Réponse : B. Pour l'ellipse, on a la relation $a^2 = b^2 + c^2$. Donc $c^2 = 25 - 9 = 16$, d'où $c = 4$.
Question 6 : La directrice d'une parabole d'équation $y^2 = 2px$ a pour équation :
Réponse : A. Le sommet étant à l'origine, le foyer est à $(p/2, 0)$ et la directrice est la droite verticale symétrique par rapport au sommet.
Question 7 : Si on coupe un cône par un plan perpendiculaire à son axe, on obtient :
Réponse : C. Le cercle est une ellipse particulière où les deux foyers sont confondus avec le centre, ce qui arrive quand le plan est "horizontal".
Question 8 : L'excentricité d'une hyperbole équilatère (asymptotes perpendiculaires) vaut :
Réponse : B. Dans une hyperbole équilatère, $a=b$. La relation $c^2 = a^2 + b^2$ devient $c^2 = 2a^2$. Donc $e = c/a = \sqrt{2}$.
Question 9 : Quelle conique possède deux branches infinies séparées ?
Réponse : D. L'hyperbole est la seule conique composée de deux parties distinctes (les nappes) qui s'éloignent vers l'infini.
Question 10 : Un satellite suit une orbite fermée autour d'une planète. Sa trajectoire est :
Réponse : A. Selon la première loi de Kepler, les orbites des corps célestes liés sont des ellipses dont l'astre attracteur occupe l'un des foyers.
Question 11 : Le point de la conique le plus proche du foyer (pour une parabole ou ellipse) s'appelle :
Réponse : C. Les sommets sont les points d'intersection de la conique avec son axe focal. C'est là que la distance au foyer est extrémale.
Question 12 : Que devient une ellipse si son excentricité $e$ tend vers 1 ?
Réponse : B. Quand $e$ s'approche de 1, l'ellipse devient de plus en plus "écrasée". À la limite $e=1$, la trajectoire s'ouvre et devient parabolique.
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