L'essentiel à connaître
Pour travailler une conique comme une courbe, commence par la paramétrer. L'ellipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ est parcourue par $M(t) = (a\cos t\,;\,b\sin t)$ : par exemple, $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ par $M(t) = (4\cos t\,;\,3\sin t)$, puisque $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$. Pour l'hyperbole, c'est la relation $\operatorname{ch}^2 t - \operatorname{sh}^2 t = 1$ entre cosinus et sinus hyperboliques qui sert ; comme $\operatorname{ch} t \ge 1$, chaque branche a son paramétrage (Maths en Ligne, « Coniques », p. 4).
Formule : ellipse : $(a\cos t\,;\,b\sin t)$, $t \in [0\,;\,2\pi[$. Hyperbole $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ : $(a\operatorname{ch} t\,;\,b\operatorname{sh} t)$ pour la branche où $x > 0$, $(-a\operatorname{ch} t\,;\,b\operatorname{sh} t)$ pour l'autre, $t \in \mathbb{R}$. Parabole $y^2 = 2px$ : $\left(\frac{t^2}{2p}\,;\,t\right)$, $t \in \mathbb{R}$. Centre en $\Omega(\alpha\,;\,\beta)$ : ajoute $\alpha$ à l'abscisse et $\beta$ à l'ordonnée.
Piège classique : $t$ n'est pas, en général, l'angle polaire du point $M(t)$ : sur l'ellipse, les deux ne coïncident pour tout $t$ que si $a = b$, c'est-à-dire pour un cercle.
Pour la tangente en un point $M_0(x_0\,;\,y_0)$, deux outils. Avec un paramétrage, le vecteur dérivé $M'(t)$, s'il est non nul, dirige la tangente (Exo7, « Courbes paramétrées »). Avec une équation $f(x, y) = 0$, le gradient $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\,;\,\frac{\partial f}{\partial y}\right)$, s'il est non nul en $M_0$, est normal (orthogonal) à la tangente. Pour une ellipse, la droite $y = sx + m$ est tangente quand l'équation obtenue en remplaçant $y$ par $sx + m$ a une racine double.
Règle : la tangente en $M_0$ s'obtient en « dédoublant » l'équation réduite : $x^2$ devient $x_0 x$, $y^2$ devient $y_0 y$, et $2x$ devient $x + x_0$. Ellipse : $\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$. Hyperbole : $\frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = 1$. Parabole : $y_0 y = p(x + x_0)$.
Rappel : la conique de foyer $F$, de directrice $D$ et d'excentricité $e$ est l'ensemble des points $M$ tels que $MF = e\,MH$, où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $D$ (ellipse si $e < 1$, parabole si $e = 1$, hyperbole si $e > 1$). Pour retrouver son équation, écris $MF^2 = e^2\,MH^2$ en coordonnées, développe et regroupe les carrés. Pour une ellipse ou une hyperbole réduite, $e = \frac{c}{a}$, où $c$ est la distance du centre à un foyer : $c^2 = a^2 - b^2$ pour l'ellipse, $c^2 = a^2 + b^2$ pour l'hyperbole.
Quand l'équation contient un terme en $xy$, diagonalise la matrice symétrique $S = \begin{pmatrix} u & v \\ v & w \end{pmatrix}$ de sa partie $ux^2 + 2vxy + wy^2$ : le coefficient de $xy$ vaut $2v$. Ses vecteurs propres, orthogonaux, dirigent les axes de la conique ; dans la base orthonormée qu'ils forment, l'équation devient $\lambda X^2 + \mu Y^2 + \dots = 0$, où $\lambda$ et $\mu$ sont les valeurs propres. Dans $\lambda X^2 + \mu Y^2 = 1$ avec $\lambda, \mu > 0$, le demi-axe porté par $X$ vaut $\frac{1}{\sqrt{\lambda}}$ : la plus petite valeur propre donne le grand axe. Exemple : avec $x = \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$ et $y = \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$ (rotation d'angle $\frac{\pi}{4}$), $xy = k$, avec $k \neq 0$, devient $X^2 - Y^2 = 2k$, une hyperbole dont les asymptotes sont les axes du repère.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions vont du réflexe au calcul, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Quel paramétrage décrit l'ellipse $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1$ ?
Réponse : C. Avec $x = 5\cos t$ et $y = 2\sin t$, on trouve $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$, et $t$ fait un tour complet. Le piège A recopie les dénominateurs, alors que les demi-axes sont leurs racines carrées, $5$ et $2$.
Question 2 : Quel paramétrage décrit la branche de l'hyperbole $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ située du côté $x > 0$ ?
Réponse : A. On a $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = \operatorname{ch}^2 t - \operatorname{sh}^2 t = 1$ et $x = 2\operatorname{ch} t \ge 2$ : c'est la branche de droite. Le piège C échange $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$ : il décrit une branche de $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{4} = 1$, une autre hyperbole, d'axe focal vertical.
Question 3 : Quelle courbe décrit $M(t) = (1 + 2\cos t\,;\,-1 + \sin t)$, $t \in [0\,;\,2\pi[$ ?
Réponse : D. On isole $\cos t = \frac{x-1}{2}$ et $\sin t = y + 1$, puis $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ donne $\frac{(x-1)^2}{4} + (y+1)^2 = 1$ : centre $(1\,;\,-1)$, demi-axes $2$ et $1$. Le piège A inverse les signes du centre, qui se lit sur les constantes ajoutées à $2\cos t$ et à $\sin t$.
Question 4 : Lequel de ces vecteurs dirige la tangente à l'ellipse $M(t) = (3\cos t\,;\,2\sin t)$ au point de paramètre $t = \frac{\pi}{4}$ ?
Réponse : B. $M'(t) = (-3\sin t\,;\,2\cos t)$, donc $M'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\,;\,\sqrt{2}\right)$, colinéaire à $(-3\,;\,2)$. Le piège C est le gradient de $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} - 1$ en ce point, à un facteur près : il est normal à la tangente, pas directeur.
Question 5 : Quelle est l'équation de la conique de foyer $F(1\,;\,0)$, de directrice $D : x = -1$ et d'excentricité $e = 1$ ?
Réponse : A. Le projeté de $M(x\,;\,y)$ sur $D$ est $H(-1\,;\,y)$, et $MF^2 = MH^2$ s'écrit $(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2$, d'où $y^2 = 4x$ : une parabole de paramètre $p = 2$, la distance du foyer à la directrice. Le piège C vient d'une erreur de signe : $(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x$, et la parabole s'ouvre du côté du foyer.
Question 6 : Quelle est la tangente à l'ellipse $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ au point $A(2\,;\,1)$ ?
Réponse : D. Avec $f(x, y) = \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} - 1$, $\nabla f(A) = \left(\frac{1}{2}\,;\,1\right)$ est normal à la tangente : $\frac{1}{2}(x - 2) + (y - 1) = 0$, soit $x + 2y = 4$, ce que donne aussi le dédoublement $\frac{2x}{8} + \frac{y}{2} = 1$. Le piège A prend le gradient pour un vecteur directeur : il donne la normale en $A$.
Question 7 : Quelle est l'équation de la conique de foyer $F(1\,;\,0)$, de directrice $D : x = 4$ et d'excentricité $e = \frac{1}{2}$ ?
Réponse : C. $MF^2 = \frac{1}{4}MH^2$ donne $4\left[(x-1)^2 + y^2\right] = (x-4)^2$, soit $3x^2 + 4y^2 = 12$. Contrôle : $a = 2$, $c = \sqrt{4 - 3} = 1$, $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$. Le piège D oublie d'élever $e$ au carré : de $MF = e\,MH$ on tire $MF^2 = e^2\,MH^2$.
Question 8 : Pour quelles valeurs de $m$ la droite $y = x + m$ est-elle tangente à l'ellipse $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ ?
Réponse : B. En remplaçant $y$ par $x + m$ puis en multipliant par $4$ : $5x^2 + 8mx + 4m^2 - 4 = 0$. La droite est tangente quand cette équation a une racine double : $\Delta = 64m^2 - 20(4m^2 - 4) = 80 - 16m^2 = 0$, soit $m^2 = 5$. Le piège C oublie le $\frac{1}{4}$ : il donne les tangentes au cercle $x^2 + y^2 = 1$.
Question 9 : Que représente l'équation $5x^2 + 6xy + 5y^2 = 8$ ?
Réponse : D. Ici $S = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$, de valeurs propres $8$ et $2$. Dans une base orthonormée de vecteurs propres, $8X^2 + 2Y^2 = 8$, soit $X^2 + \frac{Y^2}{4} = 1$ : demi-axes $1$ et $2$. Le piège A met $6$ hors de la diagonale de $S$ au lieu de $3$ : le coefficient de $xy$ vaut $2v$, donc $v = 3$.
Question 10 : Sur l'ellipse $M(t) = (2\cos t\,;\,\sin t)$, quel paramètre $t \in \left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ donne le point situé sur la droite $y = x$ ?
Réponse : A. Le point est sur $y = x$ quand $2\cos t = \sin t$, soit $\tan t = 2$ : $t = \arctan 2 \approx 1{,}11$. Le piège B prend $t$ pour l'angle polaire : $M\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\sqrt{2}\,;\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ n'est pas sur la droite $y = x$.
Question 11 : Où sont les foyers de l'hyperbole $xy = 2$ ?
Réponse : B. Avec $x = \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$ et $y = \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$, l'équation devient $X^2 - Y^2 = 4$, soit $\frac{X^2}{4} - \frac{Y^2}{4} = 1$ : $a = b = 2$ et $c = \sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{2}$. Les foyers sont sur l'axe focal $y = x$, à la distance $2\sqrt{2}$ de l'origine : $(2\,;\,2)$ et $(-2\,;\,-2)$. Le piège C prend $c$, une distance, pour une coordonnée ; le piège A donne les sommets.
Question 12 : Quelle droite porte le grand axe de l'ellipse $3x^2 - 2xy + 3y^2 = 8$ ?
Réponse : C. $S = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ a pour valeurs propres $2$, de vecteur propre $(1\,;\,1)$, et $4$, de vecteur propre $(1\,;\,-1)$. L'équation réduite $2X^2 + 4Y^2 = 8$ s'écrit $\frac{X^2}{4} + \frac{Y^2}{2} = 1$ : le grand demi-axe, $2$, est porté par $(1\,;\,1)$, donc par la droite $y = x$. Le piège A suit le vecteur propre de la plus grande valeur propre, qui donne le petit axe.
Sources
Exo7, cours « Courbes paramétrées », partie 2 : la tangente en un point régulier est dirigée par le vecteur dérivé.
Jean-Marc Decauwert, « Coniques », Maths en Ligne, université Joseph-Fourier de Grenoble, 2011 : paramétrages (p. 4), hyperbole rapportée à ses asymptotes (p. 15-16), réduction des équations du second degré (p. 17-19).