L'essentiel à connaître
Pour décomposer une fraction rationnelle $F=\frac{P}{Q}$ en éléments simples, tu la rends irréductible, tu sors sa partie entière, tu factorises $Q$, puis tu écris un terme par puissance de chaque facteur et tu calcules les coefficients. Exemple : $\frac{1}{X(X+1)}=\frac{1}{X}-\frac{1}{X+1}$. Le coefficient $1$ s'obtient en multipliant par $X$ puis en évaluant en $0$, le coefficient $-1$ en multipliant par $X+1$ puis en évaluant en $-1$.
La forme irréductible, c'est $\frac{P}{Q}$ sans facteur commun à $P$ et $Q$. C'est sur elle qu'on lit les pôles, racines de $Q$, et leur multiplicité, l'exposant de $X-\lambda$ dans la factorisation de $Q$. Si $\deg F=\deg P-\deg Q$ est positif ou nul, la partie entière est le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$ ; sinon elle est nulle.
Règle : un pôle $\lambda$ de multiplicité $m$ donne $\frac{a_1}{X-\lambda}+\dots+\frac{a_m}{(X-\lambda)^m}$, toutes les puissances de $1$ à $m$. Sur $\mathbb{R}$, les polynômes irréductibles (qu'on ne peut pas écrire comme produit de deux polynômes de degré au moins 1) sont ceux de degré 1 et ceux de degré 2 à discriminant négatif. Un tel facteur $X^2+pX+q$ de multiplicité $m$ donne $m$ termes $\frac{b_kX+c_k}{(X^2+pX+q)^k}$. Sur $\mathbb{C}$, tout polynôme se factorise en degré 1 (théorème de d'Alembert-Gauss) : seuls des termes $\frac{a}{(X-\lambda)^k}$ apparaissent.
Formule : si $\lambda$ est un pôle simple de $F=\frac{P}{Q}$ irréductible, le coefficient de $\frac{1}{X-\lambda}$ vaut $\frac{P(\lambda)}{Q'(\lambda)}$, comme le donne « multiplier par $X-\lambda$ puis évaluer en $\lambda$ ». Si $P$ est scindé (produit de facteurs de degré 1), de racines $x_k$ de multiplicités $m_k$, alors $\frac{P'}{P}=\sum_k\frac{m_k}{X-x_k}$.
Piège classique : pour un pôle double $\lambda$, multiplier par $(X-\lambda)^2$ puis évaluer en $\lambda$ ne donne que le coefficient de $\frac{1}{(X-\lambda)^2}$. Pour celui de $\frac{1}{X-\lambda}$, évalue $F$ en un point commode, ou prends la limite de $xF(x)$ en $+\infty$ : si $Q$ est scindé et $\deg F<0$, elle vaut la somme des coefficients des termes de puissance 1, donc $0$ dès que $\deg F\leqslant-2$.
Pour intégrer, tu passes de l'indéterminée $X$ à la variable $x$ : sur un intervalle où $x-\lambda$ ne s'annule pas, $\frac{1}{x-\lambda}$ a pour primitive $\ln|x-\lambda|$. Le programme de MPSI et MP2I (2021) donne l'existence et l'unicité de la décomposition sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$ sans démonstration, et l'applique au calcul de primitives et de dérivées $k$-ièmes.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses. Dans les propositions, $a$, $b$, $c$ et $d$ désignent des constantes réelles.
Question 1 : Quelle est la décomposition en éléments simples de $F=\frac{1}{X(X-1)}$ ?
Réponse : C. Multiplier par $X$ et évaluer en $0$ donne $-1$ ; multiplier par $X-1$ et évaluer en $1$ donne $1$. D'où $F=\frac{1}{X-1}-\frac{1}{X}$. La proposition A inverse les signes : réduite au même dénominateur, elle vaut $\frac{-1}{X(X-1)}$.
Question 2 : Quelle est la partie entière de $F=\frac{2X^2+1}{X^2-1}$ ?
Réponse : D. Le degré de $F$ vaut $0$, donc la partie entière est le quotient de la division euclidienne : $2X^2+1=2(X^2-1)+3$ donne $F=2+\frac{3}{X^2-1}$. Le $3$ de la proposition B est le reste de la division, pas le quotient.
Question 3 : Soit $P$ un polynôme réel de degré au plus $3$. Sous quelle forme cherches-tu la décomposition sur $\mathbb{R}$ de $\frac{P}{(X-2)^2(X^2+1)}$ ?
Réponse : B. Le degré est négatif, donc pas de partie entière. Le facteur $(X-2)^2$ demande les puissances $1$ et $2$ de $X-2$, et $X^2+1$, irréductible sur $\mathbb{R}$ (discriminant $-4$), reçoit un numérateur de degré 1. La proposition D oublie $\frac{1}{X-2}$ : il faut toutes les puissances jusqu'à la multiplicité.
Question 4 : Quel est le coefficient de $\frac{1}{X-1}$ dans la décomposition de $F=\frac{X+3}{X^3-X}$ ?
Réponse : D. $X^3-X=X(X-1)(X+1)$, donc $1$ est un pôle simple. Avec $P=X+3$ et $Q'=3X^2-1$, son coefficient vaut $\frac{P(1)}{Q'(1)}=\frac{4}{2}=2$. Le $4$ de la proposition A est $P(1)$ seul : il manque la division par $Q'(1)$.
Question 5 : Soit $F=\frac{X+2}{(X-1)^2(X+1)}$. Quel est le coefficient de $\frac{1}{(X-1)^2}$ dans sa décomposition ?
Réponse : A. On multiplie par $(X-1)^2$ : il reste $\frac{X+2}{X+1}$, qui vaut $\frac{3}{2}$ en $1$. La proposition B oublie le facteur $X+1$ resté au dénominateur, qui vaut $2$ en $1$.
Question 6 : Quelle est la décomposition sur $\mathbb{R}$ de $F=\frac{1}{X(X^2+1)}$ ?
Réponse : B. Le coefficient de $\frac{1}{X}$ vaut $1$ (multiplier par $X$, évaluer en $0$), puis $F-\frac{1}{X}=\frac{1-(X^2+1)}{X(X^2+1)}=-\frac{X}{X^2+1}$. La proposition A met une constante au-dessus de $X^2+1$ : réduite au même dénominateur, elle donne $\frac{X^2-X+1}{X(X^2+1)}$.
Question 7 : Quelle est la décomposition sur $\mathbb{C}$ de $F=\frac{1}{X^2+1}$ ?
Réponse : C. Sur $\mathbb{C}$, $X^2+1=(X-i)(X+i)$. Multiplier par $X-i$ et évaluer en $i$ donne $\frac{1}{2i}$ ; multiplier par $X+i$ et évaluer en $-i$ donne $-\frac{1}{2i}$. La proposition A recopie la décomposition de $\frac{1}{X^2-1}$ : ici, l'écart entre les pôles vaut $2i$, pas $2$.
Question 8 : Soit $P=(X-1)^2(X+2)$. Quelle est la décomposition en éléments simples de $\frac{P'}{P}$ ?
Réponse : A. $P$ est scindé, donc $\frac{P'}{P}=\sum_k\frac{m_k}{X-x_k}$, soit $\frac{2}{X-1}+\frac{1}{X+2}$. La proposition C met la multiplicité en exposant, alors qu'elle va au numérateur : $P'=3(X-1)(X+1)$ contient encore $X-1$, donc $1$ n'est qu'un pôle simple de $\frac{P'}{P}$.
Question 9 : Sur l'intervalle $]1\,;+\infty[$, quelle fonction est une primitive de $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$ ?
Réponse : D. On décompose : $\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$. Sur $]1\,;+\infty[$, $x-1$ et $x+1$ sont strictement positifs, d'où la primitive $\frac{1}{2}\big(\ln(x-1)-\ln(x+1)\big)$. La proposition C est tentante, mais la dérivée de $\ln(x^2-1)$ vaut $\frac{2x}{x^2-1}$.
Question 10 : Quelle est la décomposition sur $\mathbb{R}$ de $F=\frac{X^3}{(X^2+1)^2}$ ?
Réponse : A. $\deg F=3-4=-1$, donc pas de partie entière. On écrit $X^3=X(X^2+1)-X$, puis on divise par $(X^2+1)^2$. La proposition B est la décomposition de $\frac{X^3}{X^2+1}$ : elle oublie le carré du dénominateur.
Question 11 : Quels sont les pôles de $F=\frac{X^2-1}{X^3-X^2}$ ?
Réponse : C. Les pôles se lisent sur la forme irréductible : $F=\frac{(X-1)(X+1)}{X^2(X-1)}=\frac{X+1}{X^2}$, donc seul $0$ est un pôle, et il est double. La proposition A lit les pôles avant de simplifier : $1$ annule aussi le numérateur, ce n'est pas un pôle.
Question 12 : Soit encore $F=\frac{X+2}{(X-1)^2(X+1)}$. Quel est le coefficient de $\frac{1}{X-1}$ dans sa décomposition ?
Réponse : B. Multiplier par $X+1$ et évaluer en $-1$ donne $\frac{1}{4}$, coefficient de $\frac{1}{X+1}$. Comme $\deg F=-2$, $xF(x)$ tend vers $0$ en $+\infty$, et cette limite est la somme des coefficients de $\frac{1}{X-1}$ et de $\frac{1}{X+1}$ : le premier vaut donc $-\frac{1}{4}$. La proposition A est le coefficient de $\frac{1}{(X-1)^2}$, trouvé à la question 5.
Question 13 : Sous quelle forme cherches-tu la décomposition sur $\mathbb{R}$ de $F=\frac{1}{X^4+1}$ ?
Réponse : D. $X^4+1=(X^2+1)^2-2X^2=(X^2+\sqrt{2}X+1)(X^2-\sqrt{2}X+1)$, et chaque facteur, de discriminant $-2$, reçoit un numérateur de degré 1. La proposition A croit $X^4+1$ irréductible parce qu'il n'a pas de racine réelle : ce raisonnement ne vaut qu'en degré 2 ou 3. La B confond $X^4+1$ avec $(X^2+1)^2$.
Sources
Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I, ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation (2021), partie « Polynômes et fractions rationnelles » : texte officiel en PDF.