L'essentiel à connaître
Une série $\sum u_n$ converge quand la suite de ses sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n$ a une limite finie, appelée somme de la série. Pour trancher, regarde d'abord le terme général $u_n$ : s'il ne tend pas vers $0$, la série diverge grossièrement, sans autre calcul. Sinon, compare-la à une série connue : $\frac{1}{n^2+1} \sim \frac{1}{n^2}$ (leur quotient tend vers $1$), les termes sont positifs, donc $\sum \frac{1}{n^2+1}$ converge comme $\sum \frac{1}{n^2}$.
Formule : La série géométrique de raison $q$, $\sum q^n$, converge si et seulement si $|q| < 1$, et alors $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$.
La série de Riemann $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^\alpha}$, avec $\alpha$ réel fixé, converge si et seulement si $\alpha > 1$. Pour $\alpha = 1$, c'est la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ : elle diverge.
Pour des termes positifs, tu as deux outils. La comparaison : si $0 \le u_n \le v_n$ et si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge. L'équivalence : si $u_n \sim v_n$, les deux séries ont la même nature, c'est-à-dire qu'elles convergent ou divergent ensemble. Pour $f$ positive et décroissante, comparer $f(n)$ à $\int_{n}^{n+1} f$ et à $\int_{n-1}^{n} f$ (la méthode des rectangles) encadre les sommes partielles : c'est ainsi qu'on obtient $\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \sim \ln N$.
Une série télescopique $\sum (a_{n+1} - a_n)$ a pour sommes partielles $S_N = a_{N+1} - a_0$ : elle converge si et seulement si la suite $(a_n)$ converge. Deux séries convergentes s'ajoutent : si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent, $\sum (u_n + v_n)$ converge aussi. Un terme élevé à une puissance qui dépend de $n$ s'étudie sous forme exponentielle, $a^b = e^{b \ln a}$, avec l'équivalent $\ln(1+x) \sim x$ en $0$.
Propriété : Si $\sum |u_n|$ converge, on dit que $\sum u_n$ converge absolument, et alors $\sum u_n$ converge. Réflexe utile : si $n^\alpha u_n \to 0$ pour un réel $\alpha > 1$, alors $|u_n| \le \frac{1}{n^\alpha}$ à partir d'un certain rang, donc $\sum u_n$ converge absolument.
Théorème des séries alternées : si la suite $(a_n)$ décroît vers $0$, alors $\sum (-1)^n a_n$ converge. Ainsi $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge sans converger absolument.
Piège classique : $u_n \to 0$ ne suffit jamais à prouver la convergence, la série harmonique le montre. Et comparaison comme équivalence ne valent que pour des termes positifs : quand le signe varie, passe par $|u_n|$ ou par les séries alternées.
Ces notions sont au programme de mathématiques de MPSI et MP2I publié en 2021 par le ministère de l'Enseignement supérieur, dans la partie « Procédés sommatoires discrets ».
Quiz : teste tes connaissances
Quinze questions, de la définition aux pièges de copie : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Par définition, la série $\sum u_n$ converge quand :
Réponse : B. Converger, pour une série, c'est avoir des sommes partielles $S_N$ qui tendent vers un réel, la somme de la série. Le piège A n'est qu'une condition nécessaire : $\frac{1}{n} \to 0$, et pourtant $\sum \frac{1}{n}$ diverge.
Question 2 : Que dire de la série $\sum \frac{n}{n+1}$ ?
Réponse : D. Le terme général tend vers $1$ et non vers $0$ : la série diverge sans autre calcul. Le piège B confond suite et série : $\left(\frac{n}{n+1}\right)$ converge, mais vers $1$, et c'est justement ce qui fait diverger la série.
Question 3 : Que vaut $\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n$ ?
Réponse : A. La raison $q = \frac{1}{3}$ vérifie $|q| < 1$, donc la somme vaut $\frac{1}{1-q} = \frac{3}{2}$. Le piège B, $\frac{1}{2}$, est la somme à partir de $n = 1$ : ici on part de $n = 0$, dont le terme vaut $1$.
Question 4 : Laquelle de ces séries, indexées à partir de $n = 1$, converge ?
Réponse : C. Comme $n\sqrt{n} = n^{3/2}$, c'est la série de Riemann d'exposant $\frac{3}{2} > 1$ : elle converge. Le piège B est le cas limite $\alpha = 1$, la série harmonique, qui diverge bien que son terme tende vers $0$.
Question 5 : Pour $n \ge 1$, $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$. Que vaut $S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+1)}$ ?
Réponse : A. Les termes se simplifient de proche en proche : il reste le premier, $1$, et le dernier, $-\frac{1}{N+1}$. Donc $S_N \to 1$ : la série converge et sa somme vaut $1$. Le piège B se repère en testant $N = 1$ : $S_1 = \frac{1}{2}$, pas $0$.
Question 6 : Quelle est la nature de $\sum_{n \ge 1} \frac{2n+1}{n^3+5}$ ?
Réponse : D. On garde les termes dominants : $\frac{2n+1}{n^3+5} \sim \frac{2n}{n^3} = \frac{2}{n^2}$, les termes sont positifs, et $\sum \frac{2}{n^2}$ converge (Riemann, $\alpha = 2$). Le piège C écrit une inégalité vraie mais inutile : être plus petit que le terme d'une série divergente ne prouve rien.
Question 7 : Que dire de $\sum_{n \ge 1} \frac{\cos n}{n^2}$ ?
Réponse : B. La comparaison s'applique à $|u_n|$, qui est positif : $\left|\frac{\cos n}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2}$ et $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, donc la série converge absolument, donc elle converge. Le piège A oublie cette sortie : un signe qui varie empêche de comparer $u_n$, pas $|u_n|$.
Question 8 : Que dire de $\sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^n}{n}$ ?
Réponse : C. La suite $\left(\frac{1}{n}\right)$ décroît vers $0$, donc le théorème des séries alternées donne la convergence. Mais $\sum \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum \frac{1}{n}$ diverge : la convergence n'est pas absolue. Le piège B confond les deux : que $\sum |u_n|$ diverge n'empêche pas $\sum u_n$ de converger.
Question 9 : Que dire de $\sum_{n \ge 1} \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$ ?
Réponse : D. On a $\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \ln(n+1) - \ln n$, donc la série est télescopique et $S_N = \ln(N+1)$, qui tend vers $+\infty$. Le piège B s'arrête à mi-chemin : une série télescopique $\sum (a_{n+1} - a_n)$ converge seulement si $(a_n)$ converge, et $\ln n$ tend vers $+\infty$.
Question 10 : Quelle est la nature de $\sum_{n \ge 1} \frac{\ln n}{n^2}$ ?
Réponse : B. On a $n^{3/2} \times \frac{\ln n}{n^2} = \frac{\ln n}{\sqrt{n}} \to 0$ (croissances comparées), donc $\frac{\ln n}{n^2} \le \frac{1}{n^{3/2}}$ à partir d'un certain rang, et $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ converge. Les pièges A et C traitent $\ln n$ comme une constante : or $\ln n \to +\infty$, donc $\frac{\ln n}{n^2}$ n'est pas équivalent à $\frac{1}{n^2}$, et même $\frac{\ln n}{n^2} > \frac{1}{n^2}$ dès $n \ge 3$.
Question 11 : En comparant à l'intégrale de $t \mapsto \frac{1}{t}$, que trouve-t-on pour $H_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n}$ ?
Réponse : A. Comme $t \mapsto \frac{1}{t}$ décroît, $\int_{n}^{n+1} \frac{dt}{t} \le \frac{1}{n}$, et $\frac{1}{n} \le \int_{n-1}^{n} \frac{dt}{t}$ pour $n \ge 2$ : on en tire $\ln(N+1) \le H_N \le 1 + \ln N$, donc $H_N \sim \ln N$. Le piège B se laisse tromper par la lenteur : $\ln N$ tend vers $+\infty$, même lentement, donc la série diverge.
Question 12 : On sait seulement que $\sum u_n$ converge. Quelle affirmation est juste ?
Réponse : C. La série $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge par le théorème des séries alternées, mais ses carrés donnent $\sum \frac{1}{n}$, qui diverge. Le piège D compare à $\sum |u_n|$, dont on ne sait rien : la convergence n'est pas supposée absolue.
Question 13 : Que dire de $\sum_{n \ge 2} \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^n$ ?
Réponse : B. On écrit $u_n = e^{n \ln\left(1 - \frac{2}{n+1}\right)}$ ; comme $\ln(1+x) \sim x$ en $0$, l'exposant est équivalent à $-\frac{2n}{n+1}$, qui tend vers $-2$. Donc $u_n \to e^{-2} \ne 0$. Le piège A traite la base comme une constante : $q^n \to 0$ pour une constante $0 \le q < 1$, mais ici la base tend vers $1$ pendant que l'exposant grandit.
Question 14 : Que dire de $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^{1+1/n}}$ ?
Réponse : A. On a $\frac{1}{n^{1+1/n}} = \frac{1}{n} \times \frac{1}{n^{1/n}}$ et $n^{1/n} = e^{\frac{\ln n}{n}} \to 1$ : le terme, positif, est équivalent à $\frac{1}{n}$, et la série diverge. Le piège B applique Riemann à un exposant qui bouge : la règle $\alpha > 1$ vaut pour $\alpha$ fixé, et ici l'exposant tend vers $1$.
Question 15 : Soit $v_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$ pour $n \ge 1$. On a $v_n \sim \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$. Que dire de $\sum v_n$ ?
Réponse : D. La série $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge et $\sum \frac{1}{n}$ diverge : si $\sum v_n$ convergeait, la différence $\sum \frac{1}{n}$ convergerait aussi. Le piège A sort l'équivalence de son domaine : elle ne garantit la même nature que pour des termes positifs, et ici le signe alterne.
Sources
Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I (2021), partie « Procédés sommatoires discrets ».