L'essentiel à connaître
Une transformation envoie chaque point $M$ du plan sur un point $M'$, son image. Translation, symétries et rotation déplacent une figure sans la déformer : ce sont des isométries, qui conservent les longueurs, les angles et les aires. L'homothétie de rapport $k$, elle, multiplie les longueurs par $|k|$ : avec $k = -3$, un segment de $2\text{ cm}$ devient un segment de $6\text{ cm}$. Chaque transformation se reconnaît à ses données et à la place de l'image.
| Transformation | Données | Image $M'$ du point $M$ |
|---|---|---|
| Translation | un vecteur $\vec{u}$ | $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$ |
| Symétrie centrale | un centre $I$ | $I$ est le milieu de $[MM']$ |
| Symétrie axiale | un axe $d$ | $d$ est la médiatrice de $[MM']$ (la perpendiculaire en son milieu) |
| Rotation | un centre $O$, un angle, un sens | $OM' = OM$, et l'angle $\widehat{MOM'}$ est celui de la rotation |
| Homothétie | un centre $O$, un rapport $k \neq 0$ | $\overrightarrow{OM'} = k\,\overrightarrow{OM}$ |
Pour l'homothétie, $M'$ est donc sur la droite $(OM)$ : du côté de $M$ si $k > 0$, de l'autre côté de $O$ si $k < 0$. Avec $k = -1$, c'est la symétrie de centre $O$, qui est aussi la rotation de centre $O$ et d'angle $180^\circ$. Un point fixe (ou invariant) est un point égal à son image. Une rotation, une symétrie centrale ou une homothétie qui bouge au moins un point n'en a qu'un : son centre. Une symétrie axiale fixe tout son axe, une translation de vecteur non nul ne fixe aucun point.
Le programme de mathématiques de seconde fait des vecteurs un outil pour démontrer et calculer en géométrie, jusqu'à la caractérisation du milieu d'un segment. Dans un repère, ces définitions deviennent des calculs.
Formule : si $M(x\,;\,y)$ et $\vec{u}(a\,;\,b)$, la translation de vecteur $\vec{u}$ envoie $M$ sur $M'(x+a\,;\,y+b)$. Le symétrique de $M$ par rapport à $I$ est $M'(2x_I - x\,;\,2y_I - y)$, puisque $I$ est le milieu de $[MM']$. L'homothétie de centre l'origine $O$ et de rapport $k$ envoie $M$ sur $M'(kx\,;\,ky)$. Enfin, la translation de vecteur $\vec{u}$ suivie de celle de vecteur $\vec{v}$ est la translation de vecteur $\vec{u} + \vec{v}$.
Toutes ces transformations conservent l'alignement, le parallélisme et la mesure des angles : l'image a la même forme que la figure. Une seule retourne la figure comme un miroir, la symétrie axiale : si tu lis $A$, $B$, $C$ dans le sens des aiguilles d'une montre, tu lis $A'$, $B'$, $C'$ dans l'autre sens. Une homothétie de rapport négatif met la figure tête en bas sans la retourner : c'est un demi-tour, agrandi ou réduit.
À retenir : par une homothétie de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $|k|$ et les aires par $k^2$, un nombre toujours positif. Pour retrouver un rapport positif, prends la racine carrée du quotient de l'aire de l'image par l'aire de départ.
Piège classique : si $ABCD$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, donc la translation qui envoie $A$ sur $B$ envoie $D$ sur $C$. Le vecteur $\overrightarrow{CD}$, lui, va dans l'autre sens.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Laquelle de ces transformations change les longueurs ?
Réponse : C. Une homothétie de rapport $2$ double chaque longueur. Les trois autres sont des isométries. La rotation d'angle $90^\circ$ fait tourner la figure d'un quart de tour, mais chaque segment garde sa longueur.
Question 2 : La symétrie de centre $O$ est la même transformation que :
Réponse : B. Un demi-tour autour de $O$ envoie $M$ sur le point $M'$ tel que $O$ soit le milieu de $[MM']$ : c'est la définition de la symétrie de centre $O$. Le quart de tour ne suffit pas, car $M'$ n'est alors pas aligné avec $M$ et $O$. Côté homothétie, c'est le rapport $-1$ qui convient, pas $1$.
Question 3 : Une rotation de centre $O$ et d'angle $60^\circ$ laisse fixe :
Réponse : D. Le centre est le seul point qui ne bouge pas. Les points d'un cercle de centre $O$ restent sur ce cercle, mais ils tournent de $60^\circ$ : aucun n'est égal à son image.
Question 4 : Dans un repère, $A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,-1)$. La translation qui envoie $A$ sur $B$ envoie $C(-2\,;\,0)$ sur le point :
Réponse : A. Le vecteur de la translation est $\overrightarrow{AB}(4-1\,;\,-1-3)$, soit $(3\,;\,-4)$, et $(-2+3\,;\,0-4) = (1\,;\,-4)$. La proposition B utilise $\overrightarrow{BA}$ : les coordonnées d'un vecteur se calculent « arrivée moins départ ».
Question 5 : Dans un repère, $I(2\,;\,1)$ et $M(5\,;\,-3)$. Le symétrique de $M$ par rapport au point $I$ est :
Réponse : B. $I$ est le milieu de $[MM']$, donc $x_{M'} = 2 \times 2 - 5 = -1$ et $y_{M'} = 2 \times 1 - (-3) = 5$. La proposition A calcule le milieu de $[IM]$ ; or $M'$ est de l'autre côté de $I$, à la même distance que $M$.
Question 6 : Laquelle de ces transformations retourne une figure, comme un miroir ?
Réponse : D. Seule la symétrie axiale inverse le sens de lecture des sommets : $A$, $B$, $C$ dans le sens des aiguilles d'une montre donnent $A'$, $B'$, $C'$ dans l'autre sens. L'homothétie de rapport $-2$ met la figure tête en bas, mais c'est un demi-tour agrandi : le sens de lecture ne change pas.
Question 7 : Une homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ conserve :
Réponse : C. L'homothétie agrandit sans déformer : chaque angle garde sa mesure, et l'image a la même forme. La proposition D oublie que la distance au centre est une longueur comme les autres : $OM' = 2\,OM$.
Question 8 : On applique la translation de vecteur $\vec{u}(2\,;\,-1)$, puis celle de vecteur $\vec{v}(-5\,;\,4)$. On obtient la translation de vecteur :
Réponse : A. Deux translations à la suite font une seule translation, de vecteur $\vec{u} + \vec{v} = (2 + (-5)\,;\,-1 + 4) = (-3\,;\,3)$. La proposition C vient d'une erreur de signe : $-1 + 4$ vaut $3$, pas $5$.
Question 9 : Dans un repère d'origine $O$, l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-3$ envoie $M(2\,;\,-1)$ sur le point :
Réponse : C. $\overrightarrow{OM'} = -3\,\overrightarrow{OM}$ donne $M'(-3 \times 2\,;\,-3 \times (-1))$, soit $(-6\,;\,3)$. La proposition A oublie le signe du rapport : avec $k < 0$, $M'$ passe de l'autre côté de $O$.
Question 10 : Une homothétie de rapport $k > 0$ transforme un logo d'aire $8\text{ cm}^2$ en un logo d'aire $72\text{ cm}^2$. Que vaut $k$ ?
Réponse : D. Les aires sont multipliées par $k^2$, donc $k^2 = \frac{72}{8} = 9$ et $k = 3$ puisque $k > 0$. Vérification : $8 \times 3^2 = 72$. La proposition A s'arrête au quotient des aires, qui vaut $k^2$ et non $k$.
Question 11 : $ABCD$ est un parallélogramme. La translation qui envoie $A$ sur $B$ envoie aussi :
Réponse : A. Dans le parallélogramme $ABCD$, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ : les côtés $[AB]$ et $[DC]$ sont parallèles, de même longueur et parcourus dans le même sens. La proposition B suit l'ordre des lettres, mais $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}$ : ce vecteur part dans l'autre sens.
Question 12 : Une homothétie de rapport $-2$ transforme une figure d'aire $5\text{ cm}^2$ en une figure d'aire :
Réponse : B. Les aires sont multipliées par $k^2 = (-2)^2 = 4$, donc l'aire image vaut $5 \times 4 = 20\text{ cm}^2$. La proposition A vient de $-2^2$ écrit sans parenthèses, qui vaut $-4$ : une aire n'est jamais négative.
Sources
Programme de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique (education.gouv.fr), partie « Géométrie », section « Vecteurs et problèmes de géométrie ».