L'essentiel à connaître
Un espace métrique $(E,d)$ est complet quand toute suite de Cauchy (une suite dont les termes se resserrent) y a une limite. Exemple : $\mathbb{R}$ est complet, $\mathbb{Q}$ ne l'est pas, car les approximations décimales de $\sqrt{2}$ se resserrent sans limite rationnelle.
Définition : Une distance sur $E$ est une application $d : E\times E\to\mathbb{R}_+$ qui vérifie la séparation ($d(x,y)=0\iff x=y$), la symétrie ($d(x,y)=d(y,x)$) et l'inégalité triangulaire ($d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$). Une suite $(x_n)$ est de Cauchy si $\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall p,q\geq N,\ d(x_p,x_q)<\varepsilon$.
La boule ouverte $B(a,r)=\{x\in E\mid d(a,x)<r\}$ et la boule fermée $B_f(a,r)=\{x\in E\mid d(a,x)\leq r\}$ changent de forme avec la distance. L'adhérence $\overline{A}$ d'une partie $A$ est l'ensemble des limites de suites de points de $A$. Certains cours notent la boule fermée $\overline{B}(a,r)$ ; ici, la barre désigne toujours l'adhérence.
À retenir : Dans tout espace métrique, convergente $\Rightarrow$ de Cauchy $\Rightarrow$ bornée, et les réciproques sont fausses en général. Sont complets : $\mathbb{R}^n$ euclidien, tout espace compact, $C([0\,;\,1],\mathbb{R})$ muni de $d_\infty(f,g)=\sup_{[0\,;\,1]}|f-g|$. Une partie d'un espace complet est complète si et seulement si elle est fermée.
Piège classique : On a toujours $\overline{B(a,r)}\subset B_f(a,r)$, avec égalité dans un espace vectoriel normé, mais pas dans tout espace métrique. Une partie fermée et bornée est compacte dans $\mathbb{R}^n$, pas en général. Enfin, la complétude dépend de la distance, pas seulement de l'ensemble.
En prépa MP et MPI, le programme officiel de 2021 laisse hors programme les espaces métriques et les suites de Cauchy ; on les travaille en licence, par exemple au premier semestre de L3 à l'université Bourgogne Europe.
Quiz : teste tes connaissances
La difficulté monte au fil des questions, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Pour montrer que $d : E\times E\to\mathbb{R}_+$ est une distance, que vérifies-tu ?
Réponse : C. Ce sont les trois axiomes d'une distance, définie sur un ensemble quelconque. L'homogénéité $\|\lambda x\|=|\lambda|\,\|x\|$ des propositions A et D est un axiome de norme : elle suppose de multiplier un point par un réel.
Question 2 : Dans $\mathbb{R}^2$, on pose $d_\infty\big((x,y),(x',y')\big)=\max(|x-x'|,|y-y'|)$. Que vaut la boule ouverte $B\big((0,0),1\big)$ ?
Réponse : A. $\max(|x|,|y|)<1$ équivaut à $|x|<1$ et $|y|<1$ : c'est un carré ouvert. Le disque B est la boule de la distance euclidienne, pas celle de $d_\infty$.
Question 3 : Laquelle de ces applications est une distance sur $\mathbb{R}$ ?
Réponse : D. Comme $x\mapsto x^3$ est injective, $|x^3-y^3|=0$ force $x=y$ ; symétrie et inégalité triangulaire viennent de la valeur absolue appliquée à $x^3$, $y^3$ et $z^3$. Le piège A casse l'inégalité triangulaire : $d(0,2)=4$, alors que $d(0,1)+d(1,2)=2$ (même défaut pour C). B n'est pas séparante : $d(1,-1)=0$.
Question 4 : Sur un ensemble $E$ d'au moins deux points, la distance discrète vaut $d(x,y)=1$ si $x\neq y$, et $d(x,x)=0$. Que vaut la boule ouverte $B(a,1)$ ?
Réponse : B. $d(a,x)<1$ impose $d(a,x)=0$, donc $x=a$. Le piège A est la boule fermée : $B_f(a,1)=E$, car tout point est à distance au plus $1$ de $a$.
Question 5 : Quelle condition définit une suite de Cauchy $(x_n)$ ?
Réponse : D. Au-delà d'un rang qui dépend de $\varepsilon$, deux termes quelconques sont à moins de $\varepsilon$ l'un de l'autre. Le piège B ne compare que des termes consécutifs, ce qui ne suffit pas (question 14). En A, $N$ ne dépend pas de $\varepsilon$, et la suite devient constante.
Question 6 : Dans un espace métrique quelconque, une suite convergente est-elle de Cauchy ?
Réponse : B. Si $x_n\to\ell$, alors $d(x_p,x_q)\leq d(x_p,\ell)+d(\ell,x_q)$, et les deux termes sont petits dès que $p$ et $q$ sont grands. Le piège A inverse les rôles : la complétude sert à la réciproque, « de Cauchy implique convergente ».
Question 7 : Dans $\mathbb{Q}$ muni de $d(x,y)=|x-y|$, quelle suite est de Cauchy sans converger dans $\mathbb{Q}$ ? On note $\lfloor t\rfloor$ la partie entière de $t$.
Réponse : C. Ces valeurs approchées de $\sqrt{2}$ sont rationnelles et convergent vers $\sqrt{2}$ dans $\mathbb{R}$ : elles sont donc de Cauchy. Une limite dans $\mathbb{Q}$ serait aussi leur limite dans $\mathbb{R}$, donc $\sqrt{2}$, qui n'est pas rationnel. Le piège A est de Cauchy, mais converge vers $0\in\mathbb{Q}$.
Question 8 : Muni de la distance $d(x,y)=|x-y|$, lequel de ces ensembles est complet ?
Réponse : A. $[0\,;\,+\infty[$ est fermé dans $\mathbb{R}$, qui est complet. Le piège B rassure parce qu'il est borné, mais $\left(\frac{1}{n}\right)_{n\geq1}$ y est de Cauchy et sa limite $0$ n'y est pas ; même défaut pour C. D n'est pas fermé : il ne contient pas $\frac{\sqrt{2}}{2}$, limite de rationnels de $[0\,;\,1]$.
Question 9 : Dans $\mathbb{R}$, laquelle de ces affirmations est vraie ?
Réponse : D. Avec $\varepsilon=1$, tous les termes à partir du rang $N$ sont à une distance inférieure à $1$ de $x_N$, et il ne reste qu'un nombre fini de termes avant. Le piège A tombe sur $u_n=(-1)^n$ : bornée, mais deux termes consécutifs restent à distance $2$, ce qui ruine aussi C.
Question 10 : Pourquoi $C([0\,;\,1],\mathbb{R})$, muni de $d_\infty(f,g)=\sup_{x\in[0\,;\,1]}|f(x)-g(x)|$, est-il complet ? Soit $(f_n)$ une suite de Cauchy.
Réponse : C. Chaque $(f_n(x))$ est de Cauchy dans $\mathbb{R}$, donc converge vers un réel $f(x)$ ; la condition de Cauchy étant uniforme en $x$, la convergence l'est aussi, et une limite uniforme de fonctions continues est continue. Le piège B s'arrête à mi-chemin : la limite simple de $x\mapsto x^n$ sur $[0\,;\,1]$ est discontinue.
Question 11 : Pour un espace métrique $(E,d)$, laquelle de ces implications est vraie en général ?
Réponse : A. Une suite de Cauchy d'un compact a une sous-suite convergente, et elle converge alors vers la même limite. Le piège C est vrai dans $\mathbb{R}^n$, pas en général : pour la distance discrète, $\mathbb{N}$ est borné et complet (ses suites de Cauchy sont stationnaires), mais la suite $(n)$ n'a aucune sous-suite convergente.
Question 12 : L'ensemble des fonctions polynomiales sur $[0\,;\,1]$, muni de $d_\infty$, est-il complet ?
Réponse : B. Par Taylor-Lagrange, $\left|e^x-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\right|\leq\frac{e}{(n+1)!}$ sur $[0\,;\,1]$ : ces sommes convergent uniformément vers $\exp$, donc sont de Cauchy. Leur seule limite possible, $\exp$, n'est pas polynomiale : aucune de ses dérivées n'est nulle. Le piège A oublie qu'une partie d'un espace complet n'est complète que si elle est fermée.
Question 13 : Dans $\mathbb{Z}$ muni de $d(x,y)=|x-y|$, compare l'adhérence $\overline{B(0,1)}$ de la boule ouverte et la boule fermée $B_f(0,1)$.
Réponse : D. Dans $\mathbb{Z}$, $|x|<1$ donne $B(0,1)=\{0\}$, qui est fermé comme tout singleton : $\overline{B(0,1)}=\{0\}$. En revanche, $|x|\leq1$ donne $B_f(0,1)=\{-1,0,1\}$. Le piège A applique la règle $\overline{B(a,r)}=B_f(a,r)$, vraie dans un espace vectoriel normé, ce que $\mathbb{Z}$ n'est pas.
Question 14 : Dans $\mathbb{R}$, on pose $x_n=\ln n$ pour $n\geq1$. Cette suite est-elle de Cauchy ?
Réponse : C. Une suite de Cauchy est bornée (question 9), or $\ln n\to+\infty$. Le piège A ne regarde que deux termes consécutifs : leur écart tend bien vers $0$, mais $x_{2n}-x_n=\ln 2$ ne devient jamais petit.
Question 15 : Sur $\mathbb{R}$, la distance $\delta(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$ a les mêmes suites convergentes, avec les mêmes limites, que $|x-y|$. $(\mathbb{R},\delta)$ est-il complet ?
Réponse : A. $(\arctan n)$ converge vers $\frac{\pi}{2}$, donc $(n)$ est de Cauchy pour $\delta$ ; une limite réelle $\ell$ donnerait $\arctan\ell=\frac{\pi}{2}$, impossible. Le piège B oublie que $\delta$ et $|x-y|$ n'ont pas les mêmes suites de Cauchy : la complétude dépend de la distance.
Sources
Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques des classes préparatoires MP et MPI (2021), partie « Topologie des espaces vectoriels normés ».
Université Bourgogne Europe, programme de la licence de mathématiques, troisième année, cours « Topologie des espaces métriques ».